Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Європейський математичний кубокEMC-2023-007

Найбільша розділена підмножина двійкових послідовностей

Дано натуральне число nn. Нехай BnB_n — це множина всіх двійкових послідовностей завдовжки nn. Для двійкової послідовності s1s2…sns_1s_2\ldots s_n визначимо її зміну таким чином. Спершу порахуємо, зі скількох блоків послідовних однакових цифр складається ця послідовність. Позначимо цю кількість як bb. Тоді замінимо член послідовності sbs_b на число 1−sb1-s_b. Послідовність (a)(a) назвемо нащадком послідовності (b)(b), якщо aa можна отримати з підмножини bb за допомогою скінченної кількості змін. Підмножину множини BnB_n назвемо розділеною, якщо жодні два елементи цієї підмножини не мають спільного нащадка. Знайдіть найбільшу кількість елементів, яку може мати розділена підмножина множини BnB_n.
10–11 класиЗв’язність
Європейський математичний кубокEMC-2023-008

Ін'єктивність функції з умовою про повні квадрати

Нехай функція f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} така, що для всіх натуральних чисел xx та yy число f(x)+yf(x) + y є повним квадратом тоді й тільки тоді, коли число x+f(y)x + f(y) є повним квадратом. Доведіть, що ff — ін’єктивна функція. Примітка. Функцію f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} називають ін’єктивною, якщо для всіх пар (x,y)(x, y) різних натуральних чисел справджується умова f(x)≠f(y)f(x) \neq f(y).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-001

Складені числа з умовою подільності сусідніх дільників

Знайдіть усі складені натуральні числа n>1n > 1, які задовольняють таку умову: якщо d1,d2,…,dkd_1, d_2, \ldots, d_k — це всі натуральні дільники числа nn, причому 1=d1<d2<…<dk=n1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = n, то число di+1+di+2d_{i+1} + d_{i+2} ділиться націло на did_i для всіх 1⩽i⩽k−21 \leqslant i \leqslant k - 2.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-002

Нескінченні послідовності з многочленом і добутком членів

Для кожного натурального k⩾2k \geqslant 2 знайдіть усі нескінченні послідовності натуральних чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots, для яких існує многочлен вигляду P(x)=xk+ck−1xk−1+…+c1x+c0,P(x) = x^k + c_{k-1}x^{k-1} + \ldots + c_1x + c_0, де c0,c1,…,ck−1c_0, c_1, \ldots, c_{k-1} — цілі невід’ємні числа, такий що P(an)=an+1an+2…an+kP(a_n) = a_{n+1}a_{n+2}\ldots a_{n+k} для n⩾1n \geqslant 1.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-003

Різні додатні числа та цілі значення коренів сум

Нехай x1,x2,…,x2023x_1, x_2, \ldots, x_{2023} — це попарно різні додатні дійсні числа, такі що число an=(x1+x2+…+xn)(1x1+…+1xn)a_n = \sqrt{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n)\left(\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}\right)} є цілим для всіх n=1,2023‾n = \overline{1, 2023}. Доведіть, що a2023⩾3034a_{2023} \geqslant 3034.
10–11 класиНерівність Коші
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-004

Шлях ніндзя з найменшою кількістю сірих кружків

Дано натуральне число nn. Японський трикутник складається з 1+2+…+n1 + 2 + \ldots + n кружків, розташованих у формі рівностороннього трикутника так, що для кожного i=1,n‾i = \overline{1, n} ii-й рядок містить ii кружків та рівно один із них пофарбовано сірим кольором. Шляхом ніндзя в японському трикутнику назвемо довільну послідовність із nn кружків, яку отримано в такий спосіб: починаємо з єдиного кружка у верхньому рядку та послідовно спускаємося з нього до одного з двох кружків, що знаходяться одразу під даним, та закінчуємо кружком у нижньому рядку. На рис. 6.1 зображено приклад японського трикутника для n=6n = 6 разом із прикладом шляху ніндзя для цього трикутника, який містить два сірих кружки. Знайдіть залежно від nn найбільше натуральне kk таке, щоб у довільному японському трикутнику існував шлях ніндзя, який містить найменшу кількість kk сірих кружків.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-005

Перетин описаних кіл трикутників AA1A2, BB1B2 і CC1C2

Дано рівносторонній трикутник ABCABC. Точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 — внутрішні точки трикутника ABCABC такі, що BA1=A1CBA_1 = A_1C, CB1=B1ACB_1 = B_1A, AC1=C1BAC_1 = C_1B та ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C + \angle CB_1A + \angle AC_1B = 480^\circ. Нехай прямі BC1BC_1 та CB1CB_1 перетинаються в точці A2A_2, прямі CA1CA_1 та AC1AC_1 перетинаються в точці B2B_2, а прямі AB1AB_1 та BA1BA_1 перетинаються в точці C2C_2. Доведіть, що коли трикутник A1B1C1A_1B_1C_1 різносторонній, то перетином описаних кіл трикутників AA1A2AA_1A_2, BB1B2BB_1B_2 та CC1C2CC_1C_2 є рівно дві точки.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-006

Перетин прямих у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, у якому ∠BAD<∠ADC\angle BAD < \angle ADC. Нехай MM — середина дуги CDCD, що не містить AA. Припустимо, що всередині чотирикутника ABCDABCD існує точка PP така, що ∠ADB=∠CPD\angle ADB = \angle CPD і ∠ADP=∠PCB\angle ADP = \angle PCB. Доведіть, що прямі ADAD, PMPM, BCBC перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-008

Найменша кількість частин смужки для квадрата з подільністю

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Пол має прямокутну смужку 1×n21 \times n^{2}, що складається з n2n^{2} одиничних квадратиків, де i-йi^{\text{-й}} квадратик позначено числом ii для всіх 1⩽i⩽n21 \leqslant i \leqslant n^{2}. Він хоче розрізати смужку на кілька частин, кожна з яких складається з кількох послідовних одиничних квадратиків, а потім паралельним перенесенням (без поворотів і перегортань) скласти з цих частин квадрат n×nn \times n з такою властивістю: якщо одиничний квадратик в i-йi^{\text{-й}} рядку та j-йj^{\text{-й}} стовпчику позначено числом aija_{ij}, то aij−(i+j−1)a_{ij}-(i+j-1) ділиться на nn. Знайдіть найменшу кількість частин, на які Полу потрібно розрізати смужку, щоб це здійснити.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-010

Розбиття дошки на монотонні шляхи

Нехай NN — натуральне число, розглянемо клітинну дошку N×NN \times N. Шляхом вправо-вниз називається послідовність клітин дошки, в якій кожна клітина розташована або на одну клітину праворуч, або на одну клітину нижче від попередньої клітини в послідовності. Шляхом вправо-вгору називається послідовність клітин дошки, в якій кожна клітина розташована або на одну клітину праворуч, або на одну клітину вище від попередньої клітини в послідовності. Доведіть, що клітини дошки N×NN \times N не можна розбити на менше ніж NN шляхів вправо-вниз або вправо-вгору. Наприклад, таке розбиття дошки 5×55 \times 5 використовує 5 шляхів.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-011

Розфарбування ребер повного графа з гамільтоновою умовою

Архіпелаг Імомі складається з n⩾2n \geqslant 2 островів. Між кожною парою різних островів пролягає єдина поромна лінія, що працює в обох напрямках, і кожна поромна лінія обслуговується однією з kk компаній. Відомо, що якщо будь-яка одна з kk компаній закриє всі свої поромні лінії, то мандрівник, з якого б острова він не починав свій шлях, не зможе відвідати всі острови рівно по одному разу (зокрема, не повертаючись на острів, з якого він вирушив). Знайдіть найбільше можливе значення kk залежно від nn.
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-004

Перестановки з обмеженою сумою коренів

Нехай NN — додатне ціле число. Доведіть, що існують три перестановки a1,a2,…,aNa_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}; b1,b2,…,bNb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{N}; та c1,c2,…,cNc_{1}, c_{2}, \ldots, c_{N} чисел 1,2,…,N1,2, \ldots, N такі, що ∣ak+bk+ck−2N∣<2023\left|\sqrt{a_{k}}+\sqrt{b_{k}}+\sqrt{c_{k}}-2 \sqrt{N}\right|<2023 для кожного k=1,2,…,Nk=1,2, \ldots, N.
10–11 класиКонструкція за індукцією3 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-003

Найменший степінь многочлена для вершин правильного 2n-кутника

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число, а ff — многочлен з дійсними коефіцієнтами від 4n4n змінних. Припустимо, що для будь-яких 2n2n точок (x1,y1),…,(x2n,y2n)(x_1, y_1), \ldots, (x_{2n}, y_{2n}) на декартовій площині значення многочлена f(x1,y1,…,x2n,y2n)=0f(x_1, y_1, \ldots, x_{2n}, y_{2n}) = 0 тоді й тільки тоді, коли ці точки утворюють у деякому порядку вершини правильного 2n2n-кутника або всі збігаються. Знайдіть найменший можливий степінь многочлена ff. Примітка. Нагадаємо, що степінь многочлена дорівнює найбільшому зі степенів одночленів у його складі, тобто сумі показників степенів усіх змінних цього одночлена. Наприклад, степінь многочлена g(x,y)=4x3y4+yx+x−2g(x, y) = 4x^3y^4 + yx + x - 2 дорівнює 77, оскільки 7=3+47 = 3 + 4.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-003

Два кола, що перетинаються, пряма і дотичні

Кола Ω1\Omega_1 і Ω2\Omega_2 різних радіусів перетинаються у двох точках, позначимо одну з них через PP. Змінна пряма ℓ\ell, що проходить через точку PP, перетинає в точці X1X_1 дугу кола Ω1\Omega_1, яка лежить зовні кола Ω2\Omega_2, та перетинає в точці X2X_2 дугу Ω2\Omega_2, яка лежить зовні кола Ω1\Omega_1. Нехай RR — це така точка на відрізку X1X2X_1X_2, що X1P=RX2X_1P = RX_2. Дотична до кола Ω1\Omega_1, що проходить через точку X1X_1, перетинає дотичну до кола Ω2\Omega_2, проведену через точку X2X_2, у точці TT. Доведіть, що пряма RTRT дотикається до фіксованого кола, яке не залежить від вибору прямої ℓ\ell.
10–11 класиСиметрія
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-006

S-гарне слово з однаковою кількістю перестановок

Розглянемо 26 літер латинського алфавіту A,…,ZA, \ldots, Z. Словом назвемо будь-яку скінченну послідовність цих літер. Назвемо слово ss-гарним, якщо воно містить кожну з 26 літер цього алфавіту й кожна перестановка літер A,…,ZA, \ldots, Z трапляється в ньому як підпослідовність одну й ту саму кількість разів. Доведіть, що: а) гарне слово існує; б) будь-яке гарне слово містить принаймні 2022 літери. Примітка. Тут перестановка 26 літер π\pi трапляється як підпослідовність у слові s=s1s2s3…s = s_1 s_2 s_3 \ldots, якщо існують 26 таких індексів i1<i2<…<i26i_1 < i_2 < \ldots < i_{26}, що π=si1si2…si26\pi = s_{i_1} s_{i_2} \ldots s_{i_{26}}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-001

Ряд монет двох типів і перші n монет

Ощадбанк Осло випускає монети двох типів: алюмінієві (їх позначають як AA) та бронзові (їх позначають як BB). У Михайлини є nn алюмінієвих та nn бронзових монет, які деяким чином викладено в рядок. Ланцюжком назвемо будь-яку послідовну групу монет одного типу. Для фіксованого натурального числа k⩽2nk \leqslant 2n Михайлина повторює таку операцію: вона вибирає найдовший ланцюжок, що містить kk-ту монету зліва, і переміщує всі монети із цього ланцюжка до лівого краю рядка. Наприклад, процес для n=k=4n = k = 4, починаючи з рядка AABBBABA, мав би вигляд AABBBABA→BBBAAABA→AAABBBBA→BBBBAAAA.AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA. Знайдіть усі такі пари натуральних чисел (n,k)(n, k) з 1⩽k⩽2n1 \leqslant k \leqslant 2n, що для довільного можливого початкового розташування монет у рядок, у деякий момент перші nn монет будуть одного типу.
10–11 класиНапівінваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-002

Функції з єдиним y для нерівності

Нехай R+=(0,+∞)\mathbb{R}^{+} = (0, +\infty). Знайдіть усі такі функції f:R+→R+f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}, що для всіх чисел x∈R+x \in \mathbb{R}^{+} існує єдине число y∈R+y \in \mathbb{R}^{+}, для якого справджується нерівність xf(y)+yf(x)⩽2.xf(y) + yf(x) \leqslant 2.
10–11 класиНерівність Коші
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-003

Розставлення непарних простих чисел по колу

Задано натуральне число kk та скінченну множину SS, що складається з непарних простих чисел. Доведіть, що існує не більше ніж один спосіб (з точністю до поворотів та симетрій) розставити всі елементи множини SS по колу таким чином, щоб добуток довільних двох сусідніх чисел можна було подати у вигляді x2+x+kx^2 + x + k для деякого натурального числа xx.
10–11 класиМетод математичної індукції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-004

Чотири точки перетину в опуклому п’ятикутнику на колі

Дано опуклий п’ятикутник ABCDEABCDE, у якому BC=DEBC = DE. Нехай усередині п’ятикутника ABCDEABCDE знайшлася така точка TT, що TB=TDTB = TD, TC=TETC = TE та ∠ABT=∠TEA\angle ABT = \angle TEA. Нехай пряма ABAB перетинає прямі CDCD і CTCT у точках PP та QQ відповідно. Припустимо, що точки PP, BB, AA, QQ лежать на прямій ABAB у вказаному порядку. Нехай пряма AEAE перетинає прямі CDCD і DTDT у точках RR та SS відповідно. Припустимо, що точки RR, EE, AA, SS лежать на прямій AEAE в цьому порядку. Доведіть, що точки PP, SS, QQ, RR лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-005

Трійки зі степенем, факторіалом і простим числом

Знайдіть усі трійки (a,b,p)(a, b, p) натуральних чисел, де pp є простим числом і справджується рівність ap=b!+p.a^p = b! + p.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-006

Мінімальна кількість зльотів у байрактарському квадраті

Дано натуральне число nn. Дошку розміром n×nn \times n, у клітинках якої записано по одному числу, назвемо байрактарським квадратом, якщо вона містить усі натуральні числа від 11 до n2n^2. Дві різні клітинки вважатимемо сусідніми, якщо у них є спільна сторона. Назвемо клітинку днищем, якщо число в кожній сусідній до неї клітинці більше за число в цій клітинці. Назвемо зльотом таку послідовність з однієї чи більшої кількості клітинок, у якій: а) перша клітинка послідовності є днищем; б) кожна наступна клітинка послідовності є сусідньою до попередньої; в) числа в клітинках послідовності йдуть у порядку зростання. Знайдіть як функцію від nn мінімальну можливу кількість зльотів у байрактарському квадраті.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-006

Рухома точка, бісектриси і фіксована точка

У гострокутному трикутнику ABCA B C точка HH — основа висоти, проведеної з AA. Нехай PP — рухома точка така, що бісектриси kk і ℓ\ell кутів PBCP B C і PCBP C B відповідно перетинаються між собою на відрізку AHA H. Нехай kk і ACA C перетинаються в точці EE, нехай ℓ\ell і ABA B перетинаються в точці FF, а EFE F і AHA H перетинаються в точці QQ. Доведіть, що при зміні PP пряма PQP Q проходить через фіксовану точку.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-010

Породження цілочисельних наборів сумою та максимумом

Люсі спочатку записує на дошку ss цілочисельних 2022-наборів. Після цього вона може взяти будь-які два (не обов'язково різні) набори v=(v1,…,v2022)\mathbf{v} = (v_1, \ldots, v_{2022}) і w=(w1,…,w2022)\mathbf{w} = (w_1, \ldots, w_{2022}), які вона вже записала, і застосувати до них одну з таких операцій, щоб отримати новий набір: v+w=(v1+w1,…,v2022+w2022)v∨w=(max⁡(v1,w1),…,max⁡(v2022,w2022))\begin{aligned} & \mathbf{v} + \mathbf{w} = (v_1 + w_1, \ldots, v_{2022} + w_{2022}) \\ & \mathbf{v} \vee \mathbf{w} = (\max(v_1, w_1), \ldots, \max(v_{2022}, w_{2022})) \end{aligned} а потім записати цей набір на дошку. Виявляється, що в такий спосіб Люсі може за скінченну кількість кроків записати на дошку будь-який цілочисельний 2022-набір. Яке найменше можливе число ss наборів, які вона записала спочатку?
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-007

Колінеарність центра описаного кола та ортоцентра

Нехай ABCABC і A′B′C′A'B'C' — два трикутники, що мають спільне описане коло ω\omega і спільний ортоцентр HH. Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника, визначеного прямими AA′AA', BB′BB' і CC′CC'. Доведіть, що HH, центр кола ω\omega і центр кола Ω\Omega колінеарні.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-002

Темп зростання рекурентних послідовностей

Для натурального числа nn називаємо nn-послідовністю послідовність (a0,…,an)(a_{0}, \ldots, a_{n}) з невід'ємних цілих чисел, яка задовольняє таку умову: якщо ii і jj — невід'ємні цілі числа, для яких i+j⩽ni+j \leqslant n, то ai+aj⩽na_{i}+a_{j} \leqslant n і aai+aj=ai+ja_{a_{i}+a_{j}}=a_{i+j}. Нехай f(n)f(n) — кількість nn-послідовностей. Доведіть, що існують додатні дійсні числа c1,c2c_{1}, c_{2} і λ\lambda такі, що c1λn<f(n)<c2λnc_{1} \lambda^{n}<f(n)<c_{2} \lambda^{n} для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.