Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-001

Прямокутний трикутник і перетин прямих BD, FX, ME

Задано прямокутний трикутник BFCBFC із прямим кутом BB. Нехай AA — точка на прямій FCFC така, що FA=FBFA = FB, а точка FF лежить між точками AA і CC. Точку DD вибрано так, що DA=DCDA = DC і ACAC — бісектриса кута DABDAB. Точку EE вибрано так, що EA=EDEA = ED і ADAD — бісектриса кута EACEAC. Нехай точка MM — середина FCFC, а точка XX така, що AMXEAMXE — паралелограм (у якому AM∥XEAM \parallel XE та AE∥MXAE \parallel MX). Доведіть, що прямі BDBD, FXFX і MEME перетинаються в одній точці.
10–11 класиСиметрія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-002

Заповнення дошки n × n літерами І, М, О

Знайдіть усі натуральні nn, для яких у кожну клітинку дошки розміром n×nn \times n можна помістити одну з літер — І, М або О — так, що: - у кожному рядку та в кожному стовпчику буде розташована рівно третина літер І, рівно третина літер М та рівно третина літер О; - у кожній діагоналі, кількість клітинок якої ділиться на три, буде розташована рівно третина літер І, рівно третина літер М та рівно третина літер О. Зауваження. Якщо рядки та стовпчики таблиці n×nn \times n занумеровано числами від 11 до nn природним чином, то кожній клітинці відповідає пара натуральних чисел (i,j)(i, j), для яких 1⩽i, j⩽n1 \leqslant i,\ j \leqslant n. При n>1n > 1 таблиця має 4n−24n - 2 діагоналі двох типів. Діагональ першого типу складається з усіх клітинок (i,j)(i, j), для яких i+ji + j є константою, а діагональ другого типу — з усіх клітинок (i,j)(i, j), для яких i−ji - j є константою.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-003

Вписаний цілочисельний многокутник і подільність подвоєної площі

Нехай P=A1A2…AkP = A_1A_2\ldots A_k — опуклий многокутник на декартовій площині. Вершини A1,A2,…,AkA_1, A_2, \ldots, A_k мають цілі координати й лежать на одному колі. Нехай SS — площа многокутника PP. Непарне натуральне число nn таке, що квадрати довжин сторін PP є цілими числами, які діляться на nn. Доведіть, що 2S2S є цілим числом, яке ділиться на nn.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-004

Найменше b для тендітної множини значень P

Множину натуральних чисел називають тендітною, якщо вона містить не менше двох елементів і кожен елемент цієї множини має спільний простий дільник з принаймні одним іншим елементом цієї множини. Нехай P(n)=n2+n+1P(n) = n^2 + n + 1. Для якого найменшого натурального числа bb існує ціле невід'ємне число aa таке, що множина {P(a+1); P(a+2); …; P(a+b)}\{P(a+1);\ P(a+2);\ \ldots;\ P(a+b)\} є тендітною.
10–11 класиНСД та НСК
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-005

Найменша кількість витертих множників рівняння без дійсних коренів

Рівняння (x−1)(x−2)…(x−2016)=(x−1)(x−2)…(x−2016),(x - 1)(x - 2) \ldots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \ldots (x - 2016), ліва і права частини якого містять по 20162016 лінійних множників, записано на дошці. Знайдіть найменше можливе значення kk, при якому можна витерти з дошки рівно kk із цих 40324032 лінійних множників так, щоб хоча б один множник залишиться в кожній частині рівняння, а рівняння, що залишиться, не матиме дійсних коренів.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-006

Жабеня на відрізках, що попарно перетинаються

На площині задано n⩾2n \geqslant 2 відрізків таким чином, що довільні два з них перетинаються у внутрішній точці та жодні три не перетинаються в одній точці. Дід Панас має вибрати кінець кожного відрізка та посадити в нього жабеня очима в напрямку другого кінця. Після цього він плескає в долоні n−1n - 1 раз. Щоразу, коли він плескає, кожне жабеня одразу перестрибує в наступну точку перетину свого відрізка. Жабенята ніколи не змінюють напрямку стрибків. Дід Панас хоче розсадити їх таким чином, щоб жодна пара жабенят не опинилася в одній точці перетину в жодний момент часу. Доведіть, що дід Панас: а) може завжди так зробити, коли nn — непарне число; б) не зможе цього зробити, коли nn — парне число.
10–11 класиПарність і непарність
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-003

Конкурентність прямих у рівнобедреній п'ятикутній конструкції

В опуклому п'ятикутнику ABCDEA B C D E нехай FF — точка на діагоналі ACA C така, що ∠FBC=90∘\angle F B C = 90^{\circ}. Припустимо, що трикутники ABFA B F, ACDA C D і ADEA D E — подібні рівнобедрені трикутники, причому ∠FAB=∠FBA=∠DAC=∠DCA=∠EAD=∠EDA.\angle F A B = \angle F B A = \angle D A C = \angle D C A = \angle E A D = \angle E D A. Нехай MM — середина відрізка CFC F. Точку XX вибрано так, що AMXEA M X E — паралелограм. Доведіть, що прямі BDB D, EME M і FXF X перетинаються в одній точці.
10–11 класиПоворотна гомотетія3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-004

Перетин на описаному колі через перпендикуляри

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом Γ\Gamma та інцентром II. Нехай MM — середина сторони BCBC. Позначимо через DD основу перпендикуляра з II на сторону BCBC. Пряма через II, перпендикулярна до прямої AIAI, перетинає сторони ABAB і ACAC у точках FF та EE відповідно. Припустімо, що описане коло трикутника AEFAEF перетинає Γ\Gamma у точці XX, відмінній від AA. Доведіть, що прямі XDXD і AMAM перетинаються на колі Γ\Gamma.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-005

Центр описаного кола рівновіддалений від основи висоти і середини

Нехай DD — основа перпендикуляра з AA на пряму Ейлера (пряму, що проходить через центр описаного кола та ортоцентр) гострокутного різностороннього трикутника ABCA B C. Коло ω\omega з центром SS проходить через AA і DD, і воно перетинає сторони ABA B і ACA C у точках XX і YY відповідно. Нехай PP — основа висоти з AA на сторону BCB C, а MM — середина сторони BCB C. Доведіть, що центр описаного кола трикутника XSYX S Y рівновіддалений від PP і MM.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-006

Відбиття центрів зовнівписаних кіл та пряма центрів трикутника

Нехай II — інцентр нерівностороннього трикутника ABCABC, IAI_{A} — центр зовнівписаного кола, що відповідає AA, IA′I_{A}' — образ точки IAI_{A} при симетрії відносно BCBC, а lAl_{A} — образ прямої AIA′A I_{A}' при симетрії відносно AIA I. Точки IB,IB′I_{B}, I_{B}' і пряму lBl_{B} означимо аналогічно. Нехай PP — точка перетину прямих lAl_{A} і lBl_{B}. a. Доведіть, що PP лежить на прямій OIOI, де OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. б. Нехай одна з дотичних, проведених з PP до вписаного кола трикутника ABCABC, перетинає описане коло в точках XX і YY. Покажіть, що ∠XIY=120∘\angle X I Y = 120^{\circ}.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-007

Нерівність з ортоцентром бісектрисного трикутника

Нехай A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1} — точки на сторонах BCBC, CACA і ABAB гострокутного трикутника ABCABC відповідно, такі, що AA1AA_{1}, BB1BB_{1} і CC1CC_{1} — внутрішні бісектриси трикутника ABCABC. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, а HH — ортоцентр трикутника A1B1C1A_{1}B_{1}C_{1}. Доведіть, що AH+BH+CH⩾AI+BI+CI.AH + BH + CH \geqslant AI + BI + CI.
10–11 класиПоворот
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-013

Многочлени непарного степеня з раціональними степеневими відношеннями

Знайдіть усі многочлени P(x)P(x) непарного степеня dd з цілими коефіцієнтами, які мають таку властивість: для кожного натурального числа nn існують nn натуральних чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} таких, що 12<P(xi)P(xj)<2\frac{1}{2}<\frac{P\left(x_{i}\right)}{P\left(x_{j}\right)}<2 і P(xi)P(xj)\frac{P\left(x_{i}\right)}{P\left(x_{j}\right)} є dd-м степенем раціонального числа для кожної пари індексів ii і jj, де 1⩽i,j⩽n1 \leqslant i, j \leqslant n.
10–11 класиТеорема Діріхле про арифметичні п…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2016-004

Мінімальна кількість мостів для 1680 островів

Король Георг вирішив з’єднати мостами 1680 островів свого королівства. На жаль, після того, як усі мости буде збудовано, повстанці зруйнують два мости, але не два мости з одного острова. Яку найменшу кількість мостів має збудувати король, щоб гарантувати, що після руйнування повстанцями двох мостів між будь-якими двома з 1680 островів усе ще можна буде подорожувати мостами?
10–11 класиЗв’язність
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2015-006

Умова рівності відрізків HG і GP' у трикутнику

Нехай HH — ортоцентр, а GG — центроїд гострокутного трикутника ABCABC (AB≠AC)(AB \ne AC). Пряма AGAG перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках AA та PP. Нехай точка P′P' симетрична точці PP відносно прямої BCBC. Доведіть, що ∠CAB=60∘\angle CAB = 60^\circ тоді і лише тоді, коли HG=GP′HG = GP'.
10–11 класиСиметрія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-001

Збалансовані та ексцентричні множини з n точок

Скінченну множину точок SS назвемо збалансованою, якщо для будь-яких різних точок AA та BB із множини SS знайдеться така точка CC із множини SS, що AC=BCAC = BC. Множину SS називатимемо ексцентричною, якщо для будь-яких трьох різних точок AA, BB та CC із множини SS не існує такої точки PP із множини SS, що PA=PB=PCPA = PB = PC. а) Доведіть, що для будь-якого цілого n⩾3n \geqslant 3 існує збалансована множина, що складається з nn точок. б) Знайдіть усі цілі n⩾3n \geqslant 3, для яких існує збалансована ексцентрична множина, що складається з nn точок.
10–11 класиГеометричні приклади і контрприкл…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-002

Трійки з виразами ab - c — степені двійки

Знайдіть усі такі трійки натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c), що кожне із чисел ab−c, bc−a, ca−bab - c,\ bc - a,\ ca - b є степенем двійки. Примітка. Степенем двійки називають число вигляду 2n2^n, де nn — ціле невід’ємне число.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-003

Описані кола трикутників KQH і FKM

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB>ACAB > AC, Γ\Gamma — описане коло, а точка HH — ортоцентр цього трикутника. Нехай точка FF — основа висоти, що проведена з вершини AA, а точка MM — середина сторони BCBC. Нехай QQ — точка на колі Γ\Gamma така, що ∠HQA=90∘\angle HQA = 90^\circ, KK — точка на колі Γ\Gamma така, що ∠HKQ=90∘\angle HKQ = 90^\circ. Нехай точки AA, BB, CC, KK та QQ різні та лежать на колі Γ\Gamma у наведеному порядку. Доведіть, що описані кола трикутників KQHKQH та FKMFKM дотикаються одне до одного.
10–11 класиКола, що дотикаються
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-004

Перетин прямих FK і GL та пряма AO

Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC, а точка OO — його центр. Коло Γ\Gamma із центром AA перетинає відрізок BCBC у точках DD і EE так, що точки BB, DD, EE і CC — усі різні та лежать на прямій BCBC у наведеному порядку. Нехай FF і GG — точки перетину кіл Γ\Gamma та Ω\Omega, при цьому точки AA, FF, BB, CC і GG лежать на колі Ω\Omega у наведеному порядку. Нехай KK — друга точка перетину описаного кола трикутника BDFBDF та відрізка ABAB, а LL — друга точка перетину описаного кола трикутника CGECGE та відрізка ACAC. Нехай прямі FKFK і GLGL різні та перетинаються в точці XX. Доведіть, що точка XX лежить на прямій AOAO.
10–11 класиСиметрія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-005

Функціональне рівняння з сумою та добутком аргументів

Знайдіть усі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що задовольняють рівність f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x) для довільних дійсних чисел xx і yy.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-006

Цілочисельна послідовність з різними сумами і обмеженими відхиленнями

Послідовність цілих чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots задовольняє такі умови: 1⩽aj⩽2015для всіх j⩾1;1 \leqslant a_j \leqslant 2015 \quad \text{для всіх } j \geqslant 1; k+ak≠l+alдля всіх 1⩽k<l.k + a_k \ne l + a_l \quad \text{для всіх } 1 \leqslant k < l. Доведіть, що існують два натуральних числа bb та NN таких, що ∣∑j=m+1n(aj−b)∣⩽10072\left|\displaystyle\sum_{j=m+1}^{n} (a_j - b)\right| \leqslant 1007^2 для всіх цілих чисел mm і nn, що задовольняють умову n>m⩾Nn > m \geqslant N.
10–11 класиОрієнтовані графи
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-001

Функціональне рівняння з непарними значеннями на цілих числах

Нехай 2Z+12 \mathbb{Z} + 1 позначає множину непарних цілих чисел. Знайдіть усі функції f:Z→2Z+1f: \mathbb{Z} \rightarrow 2 \mathbb{Z} + 1, які задовольняють f(x + f(x) + y) + f(x - f(x) - y) = f(x + y) + f(x - y) \tag{1} для всіх x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}.
10–11 класиПеріодичні функції
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-008

Періодична послідовність різниць функції

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел. Розглянемо функцію f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}. Для будь-яких m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0} пишемо fn(m)=f(f(…f⏟n(m)…))f^{n}(m)=\underbrace{f(f(\ldots f}_{n}(m) \ldots)). Припустимо, що ff має такі дві властивості: (i) Якщо m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0}, то fn(m)−mn∈Z>0\frac{f^{n}(m)-m}{n} \in \mathbb{Z}_{>0}; (ii) Множина Z>0\{f(n)∣n∈Z>0}\mathbb{Z}_{>0} \backslash\left\{f(n) \mid n \in \mathbb{Z}_{>0}\right\} скінченна. Доведіть, що послідовність f(1)−1,f(2)−2,f(3)−3,…f(1)-1, f(2)-2, f(3)-3, \ldots є періодичною.
10–11 класиАрифметична прогресія
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-002

Блок-подібні многочлени фіксованого степеня

Нехай nn — фіксоване ціле число таке, що n⩾2n \geqslant 2. Будемо казати, що два многочлени PP і QQ з дійсними коефіцієнтами є блок-подібними, якщо для кожного i∈{1,2,…,n}i \in\{1,2, \ldots, n\} послідовності P(2015i),P(2015i−1),…,P(2015i−2014) і Q(2015i),Q(2015i−1),…,Q(2015i−2014)\begin{aligned} & P(2015 i), P(2015 i-1), \ldots, P(2015 i-2014) \quad \text{ і } \\ & Q(2015 i), Q(2015 i-1), \ldots, Q(2015 i-2014) \end{aligned} є перестановками одна одної. a. Доведіть, що існують різні блок-подібні многочлени степеня n+1n+1. b. Доведіть, що не існує різних блок-подібних многочленів степеня nn.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-006

Єдині подання непарною сумою в множині

Нехай SS — непорожня множина натуральних чисел. Будемо казати, що натуральне число nn є чистим, якщо воно має єдине подання у вигляді суми непарної кількості різних елементів множини SS. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел, які не є чистими.
10–11 класиПарність і непарність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-007

Розбиття графа з малою кількістю непарних циклів

У компанії людей деякі пари є ворогами. Група людей називається недружньою, якщо кількість її членів непарна і становить принаймні 33, і всіх її членів можна розсадити навколо круглого столу так, щоб будь-які двоє сусідів були ворогами. Відомо, що недружніх груп не більше ніж 20152015. Доведіть, що компанію можна розбити на 1111 частин так, щоб жодні двоє ворогів не опинилися в одній частині.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.