Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-009

Обмеження на НСД для цілозначної функції

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел. Для довільного натурального числа kk функцію f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} називають kk-доброю, якщо НСД(f(m)+n,f(n)+m)⩽k\text{НСД}(f(m)+n, f(n)+m) \leqslant k для всіх m≠nm \neq n. Знайдіть усі kk, для яких існує kk-добра функція.
10–11 класиКитайська теорема про остачі2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-010

Строго зростаючі функції з обмеженням на великі прості дільники

Для кожного натурального числа nn з розкладом на прості множники n=∏i=1kpiαin=\prod_{i=1}^{k} p_{i}^{\alpha_{i}} визначимо ℧(n)=∑i:pi>10100αi\mho(n)=\sum_{i: p_{i}>10^{100}} \alpha_{i} Тобто ℧(n)\mho(n) — це кількість простих дільників числа nn, більших за 1010010^{100}, порахованих з кратністю. Знайдіть усі строго зростаючі функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} такі, що ℧(f(a)−f(b))⩽℧(a−b) для всіх цілих a і b таких, що a>b.\mho(f(a)-f(b)) \leqslant \mho(a-b) \quad \text{ для всіх цілих } a \text{ і } b \text{ таких, що } a>b .
10–11 класиМіркування за модулем
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2015-003

Перестановки томами енциклопедії за допомогою операцій зі стосом

Енциклопедія складається з 20002000 пронумерованих томів. Томи складено в стопку по порядку, причому номер 11 — зверху, а 20002000 — знизу. Зі стопкою можна виконувати дві операції: (i) Для парного nn можна взяти верхні nn томів і покласти їх у низ стопки, не змінюючи порядку. (ii) Для непарного nn можна взяти верхні nn томів, обернути їхній порядок і знову покласти їх на верх стопки. Скільки різних перестановок томів можна отримати, неодноразово застосовуючи ці дві операції?
10–11 класиПерестановки3 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2015-003

Числа k+1, …, k+n та отримання числа n!

На дошці написано кілька раціональних чисел. За одну операцію дозволено вибрати два числа aa, bb, стерти їх і замість них написати одне із чисел: a+b, a−b, b−a, a×b, a/b (якщо b≠0), b/a (якщо a≠0).a+b,\ a-b,\ b-a,\ a \times b,\ a/b\ (\text{якщо } b \neq 0),\ b/a\ (\text{якщо } a \neq 0). Доведіть, що для кожного n>100n > 100 існує тільки скінченна множина k⩾0k \geqslant 0, для яких, якщо виконати n−1n-1 операцію починаючи із чисел k+1, k+2, …, k+n,k+1,\ k+2,\ \ldots,\ k+n, можна отримати число n!n!.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2015-006

Прямокутник з однією точкою в одиничному квадраті

Дано натуральне число nn. Знайдіть найбільше дійсне число μ\mu, що задовольняє таку умову: для довільної множини CC, що складається із 4n4n точок, які лежать строго всередині одиничного квадрата UU, знайдеться прямокутник TT, що лежить в UU, та такий, що: - сторони TT паралельні сторонам UU; - існує рівно одна точка множини CC, що лежить строго всередині TT; - площа TT не менша μ\mu.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-045

Двійкова послідовність із повторюваним блоком

У двобічно нескінченній послідовності ana_n, де n∈Zn \in \mathbb{Z}, кожен член ana_n дорівнює або 00, або 11. Доведіть, що існують числа pp і q>1q > 1 такі, що ap+k=ap+q+ka_{p+k} = a_{p+q+k} для k=0,1,…,q−1k = 0, 1, \dots, q-1.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-004

Цілі n з існуванням чисел з нерівностями

Знайдіть усі цілі числа n>2n > 2, для яких існують цілі числа x1,x2,…,xn−1x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, що задовольняють умову: якщо 0<i<n0 < i < n, 0<j<n0 < j < n, i≠ji \neq j та 2i+j2i + j ділиться на nn, то xi<xjx_i < x_j.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-006

Функціональне рівняння з квадратом і добутком

Знайдіть усі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що задовольняють співвідношення f(y2+2xf(y)+f2(x))=(y+f(x))(x+f(y))f\left(y^2+2xf(y)+f^2(x)\right)=(y+f(x))(x+f(y)) для довільних дійсних чисел xx, yy.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-001

Нескінченна зростаюча послідовність і її середнє арифметичне

Нехай a0<a1<a2<…a_0 < a_1 < a_2 < \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел. Доведіть, що існує єдине натуральне число nn таке, що an<a0+a1+…+ann⩽an+1.a_n < \frac{a_0 + a_1 + \ldots + a_n}{n} \leqslant a_{n+1}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-002

Мирні тури та порожній квадрат k × k

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Дано шахівницю розміром n×nn \times n, яка складається з n2n^2 одиничних клітинок. Розміщення nn тур у клітинках дошки називають мирним, якщо в кожному горизонтальному та кожному вертикальному ряду стоїть рівно по одній турі. Знайдіть найбільше натуральне kk таке, що для кожного мирного розміщення nn тур знайдеться клітчастий квадрат розміром k×kk \times k, у жодній із k2k^2 клітинок якого немає тури.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-003

Чотирикутник з двома прямими кутами та дотична до кола

Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD, у якому ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC = \angle CDA = 90^\circ. Точка HH — основа перпендикуляра, опущеного з точки AA на пряму BDBD. Точки SS і TT вибрали на відрізках ABAB і ADAD відповідно таким чином, що точка HH знаходиться всередині трикутника SCTSCT і виконуються рівності ∠CHS−∠CSB=90∘,∠THC−∠DTC=90∘.\angle CHS - \angle CSB = 90^\circ, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^\circ. Доведіть, що пряма BDBD дотикається до кола, описаного навколо трикутника TSHTSH.
10–11 класиІнверсія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-004

Перетин прямих BM і CN на описаному колі

Точки PP і QQ вибрали на стороні BCBC гострокутного трикутника ABCABC так, що ∠PAB=∠BCA\angle PAB = \angle BCA і ∠CAQ=∠ABC\angle CAQ = \angle ABC. Точки MM і NN вибрали на променях APAP і AQAQ відповідно таким чином, що точка PP — середина відрізка AMAM, а точка QQ — середина відрізка ANAN. Доведіть, що прямі BMBM і CNCN перетинаються на колі, описаному навколо трикутника ABCABC.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-005

Монети з номіналами 1/n та розбиття на групи

Банк Кейптауна випустив монети номіналом 1n\frac{1}{n} для кожного натурального nn. Задано скінченний набір таких монет, сума номіналів яких не перевищує 99+1299+\frac{1}{2} (номінали монет не обов’язково різні). Доведіть, що всі монети можна розбити на 100100 або меншу кількість груп так, що сума номіналів монет у кожній групі не перевищуватиме 11.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-006

Сині прямі загального положення та межі обмежених частин

Будемо казати, що прямі на площині є прямими загального положення, якщо жодні дві з них не паралельні, а жодні три з них не проходять через одну точку. Довільні декілька прямих загального положення розбивають площину на частини. Обмеженими частинами розбиття будемо називати ті з них, які мають скінченну площу. Доведіть, що для достатньо великих значень nn справджується таке твердження: у кожній множині з nn прямих загального положення на площині можна пофарбувати не менше n\sqrt{n} прямих у синій колір так, щоб межа кожної обмеженої частини розбиття не була повністю синьою. Примітка. За доведення твердження задачі, у якому n\sqrt{n} замінено на cnc\sqrt{n}, бали нараховують залежно від константи cc.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-001

Функції з умовою f(f(n))² = n² + 4 f(n)

Знайдіть усі функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} такі, що n2+4f(n)=f(f(n))2n^{2}+4 f(n)=f(f(n))^{2} для всіх n∈Zn \in \mathbb{Z}.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-009

Примітивні прості дільники кубічної послідовності

Нехай c⩾1c \geqslant 1 — ціле число. Визначимо послідовність натуральних чисел рівностями a1=ca_{1}=c і an+1=an3−4c⋅an2+5c2⋅an+ca_{n+1}=a_{n}^{3}-4 c \cdot a_{n}^{2}+5 c^{2} \cdot a_{n}+c для всіх n⩾1n \geqslant 1. Доведіть, що для кожного цілого n⩾2n \geqslant 2 існує просте число pp, яке ділить ana_{n}, але не ділить жодного з чисел a1,…,an−1a_{1}, \ldots, a_{n-1}.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-004

Колінеарність у трикутнику з інцентром

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом Ω\Omega та інцентром II. Нехай пряма, що проходить через II і перпендикулярна до прямої CICI, перетинає відрізок BCBC і дугу BCBC (яка не містить AA) кола Ω\Omega в точках UU і VV відповідно. Нехай пряма, що проходить через UU і паралельна прямій AIAI, перетинає AVAV у точці XX, а пряма, що проходить через VV і паралельна прямій AIAI, перетинає ABAB у точці YY. Нехай WW і ZZ — середини відрізків AXAX і BCBC відповідно. Доведіть, що якщо точки II, XX і YY лежать на одній прямій, то точки II, WW і ZZ також лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-010

Відстані до найближчого цілого і степені простих чисел

Для кожного дійсного числа xx позначимо через ∥x∥\|x\| відстань між xx і найближчим цілим числом. Доведіть, що для кожної пари (a,b)(a, b) натуральних чисел існують непарне просте число pp і натуральне число kk, для яких виконується: ∥apk∥+∥bpk∥+∥a+bpk∥=1.\left\|\frac{a}{p^{k}}\right\|+\left\|\frac{b}{p^{k}}\right\|+\left\|\frac{a+b}{p^{k}}\right\|=1 .
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-001

Добуток k множників вигляду 1 + 1/m

Доведіть, що для будь-якої пари натуральних чисел kk і nn існують kk (не обов'язково різних) натуральних чисел m1m_1, m2m_2, …\ldots, mkm_k таких, що виконується рівність 1+2k−1n=(1+1m1)⋅(1+1m2)⋅…⋅(1+1mk).1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{m_k}\right).
10–11 класиМетод математичної індукції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-002

Найменша кількість прямих для розділення чорних і сірих точок

Колумбійською конфігурацією будемо називати такий набір з 40274027 точок на площині, що жодні три з них не лежать на одній прямій, при цьому 20132013 з них пофарбовано в чорний колір, а решту 20142014 — у сірий. Розглянемо набір прямих, що розділяють площину на декілька областей. Назвемо цей набір прямих гарним для даної колумбійської конфігурації точок, якщо виконуються такі умови: - жодна пряма не проходить через жодну точку конфігурації; - жодна область розбиття не містить точок обох кольорів. Знайдіть найменше можливе значення kk таке, що для довільної колумбійської конфігурації з 40274027 точок існує гарний набір з kk прямих.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-003

Точки дотику зовнівписаних кіл і описані кола

Нехай зовнівписане коло трикутника ABCABC, що лежить навпроти вершини AA, дотикається до сторони BCBC у точці A1A_1. Точки B1B_1 на стороні ACAC і C1C_1 на стороні ABAB визначаються аналогічним чином з використанням зовнівписаних кіл, що лежать навпроти вершин BB і CC відповідно. Відомо, що центр описаного кола трикутника A1B1C1A_1B_1C_1 лежить на колі, описаному навколо трикутника ABCABC. Доведіть, що трикутник ABCABC прямокутний.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-004

Пряма через ортоцентр і кінці діаметрів

Нехай HH — точка перетину висот гострокутного трикутника ABCABC. Нехай WW — довільна точка на відрізку BCBC, що відмінна від точок BB та CC. Позначимо через MM і NN основи висот трикутника ABCABC, що проведені з вершин BB і CC відповідно. Нехай w1w_1 — описане коло трикутника BWNBWN, а XX — така точка на w1w_1, що WXWX — діаметр кола w1w_1. Аналогічно нехай w2w_2 — описане коло трикутника CWMCWM та YY — така точка на w2w_2, що WYWY — діаметр кола w2w_2. Доведіть, що точки XX, YY і HH лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-005

Функція на додатних раціональних числах з нерівностями

Позначимо через Q+\mathbb{Q}^+ множину всіх додатних раціональних чисел. Нехай f ⁣:Q+→Rf\colon \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{R} — функція, що задовольняє такі умови: - для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^+ виконується нерівність f(x) f(y)⩾f(xy)f(x)\,f(y) \geqslant f(xy); - для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^+ виконується нерівність f(x)+f(y)⩽f(x+y)f(x) + f(y) \leqslant f(x+y); - існує раціональне число a>1a > 1 таке, що f(a)=af(a) = a. Доведіть, що f(x)=xf(x) = x для всіх x∈Q+x \in \mathbb{Q}^+.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-006

Чудові позначення точок кола числами від 0 до n

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — ціле число. Розглянемо коло і n+1n + 1 точку на ньому, що ділять його на рівні дуги. Розглянемо всі способи позначити ці точки числами 0,1,…,n0, 1, \ldots, n так, що кожне число використовується рівно один раз. Два способи, що відрізняються поворотом, вважаються однаковими. Спосіб позначення назвемо чудовим, якщо для довільних чотирьох міток a<b<c<da < b < c < d таких, що a+d=b+ca + d = b + c, хорда, що сполучає вершини з мітками aa і dd, не перетинає хорду, що сполучає точки з мітками bb і cc. Нехай MM — кількість чудових способів позначення. Нехай NN — кількість упорядкованих пар (x,y)(x, y) натуральних чисел, що задовольняють умови x+y⩽nx + y \leqslant n і (x,y)=1(x, y) = 1. Доведіть, що M=N+1.M = N + 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-002

Періодична послідовність з обмеженням на суму

Нехай nn — натуральне число, і розглянемо послідовність a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} з натуральних чисел. Продовжимо її періодично до нескінченної послідовності a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots, визначивши an+i=aia_{n+i}=a_{i} для всіх i⩾1i \geqslant 1. Якщо a1⩽a2⩽⋯⩽an⩽a1+na_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \cdots \leqslant a_{n} \leqslant a_{1}+n і aai⩽n+i−1 для i=1,2,…,na_{a_{i}} \leqslant n+i-1 \quad \text{ для } i=1,2, \ldots, n доведіть, що a1+⋯+an⩽n2.a_{1}+\cdots+a_{n} \leqslant n^{2} .
10–11 класиПідрахунок двома способами3 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.