Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-003

Функціональне рівняння на невід'ємних цілих числах

Нехай Z⩾0\mathbb{Z}_{\geqslant 0} — множина всіх невід'ємних цілих чисел. Знайдіть усі функції f:Z⩾0→Z⩾0f: \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\geqslant 0}, які задовольняють співвідношення f(f(f(n)))=f(n+1)+1f(f(f(n)))=f(n+1)+1 для всіх n∈Z⩾0n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-016

Відмінні пари та сума дільників

Нехай ν\nu — ірраціональне додатне число, а mm — натуральне число. Пару (a,b)(a, b) натуральних чисел називають хорошою, якщо a⌈bν⌉−b⌊aν⌋=ma\lceil b \nu\rceil-b\lfloor a \nu\rfloor=m Хорошу пару (a,b)(a, b) називають відмінною, якщо жодна з пар (a−b,b)(a-b, b) і (a,b−a)(a, b-a) не є хорошою. (Як звичайно, через ⌊x⌋\lfloor x\rfloor і ⌈x⌉\lceil x\rceil позначаємо цілі числа такі, що x−1<⌊x⌋⩽xx-1<\lfloor x\rfloor \leqslant x і x⩽⌈x⌉<x+1x \leqslant\lceil x\rceil<x+1.) Доведіть, що кількість відмінних пар дорівнює сумі додатних дільників числа mm.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-003

Вгадування числа запитаннями про множини з брехнею

Алла та Богдан грають у гру під назвою «Ти ж мене підманула». У правилах гри фігурують два натуральних числа kk й nn, відомих до початку гри обом гравцям. Гра проходить так. Спершу Алла вибирає два натуральних числа xx та NN, які задовольняють умову 1⩽x⩽N1 \leqslant x \leqslant N. Вона повідомляє Богдану число NN, але значення xx тримає в таємниці. Богдан намагається дізнатися щось про число xx у такий спосіб: він називає довільну множину SS натуральних чисел (можливо, уже названу раніше) та питає Аллу, чи належить число xx щойно названій множині. Богдан може змінювати множину SS (і повторювати запитання) як завгодно багато разів. На кожне поставлене Богданом запитання Алла повинна відразу ж відповісти «так» або «ні». При цьому вона може брехати як завгодно багато разів за єдиної умови: серед відповідей Алли на довільне k+1k+1 послідовне запитання хоча б одна відповідь має бути правдивою. Після того як Богдан поставить Аллі стільки запитань, скільки йому потрібно, він повинен назвати деяку множину XX, що містить не більше за nn натуральних чисел. Якщо x∈Xx \in X, то Богдан перемагає, інакше він програє. Доведіть такі твердження: а) Якщо n⩾2kn \geqslant 2^k, то Богдан може забезпечити собі перемогу. б) Для довільного достатньо великого kk знайдеться таке ціле число n⩾1,99kn \geqslant 1{,}99^k, при якому Богдан не зможе забезпечити собі перемогу.
10–11 класиІнші інваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-004

Цілочислові функції з рівністю для трійок з нульовою сумою

Знайдіть усі такі функції f:Z→Zf:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, для яких при довільних цілих значеннях aa, bb, cc, що задовольняють умову a+b+c=0a+b+c=0, справджується рівність f2(a)+f2(b)+f2(c)=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).f^2(a)+f^2(b)+f^2(c)=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-002

Нерівність для добутку степенів 1 + aᵢ

Задано натуральне число n⩾3n \geqslant 3 та додатні дійсні числа a2,a3,…,ana_2, a_3, \ldots, a_n, причому відомо, що a2⋅a3⋅…⋅an=1a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n=1. Доведіть нерівність (1+a2)2(1+a3)3⋅…⋅(1+an)n>nn.(1+a_2)^2 (1+a_3)^3 \cdot \ldots \cdot (1+a_n)^n>n^n.
10–11 класиНерівність Коші
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-006

Натуральні n з двома сумами, що дорівнюють одиниці

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існують такі цілі невід'ємні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що 12a1+12a2+…+12an=13a1+23a2+…+n3an=1.\frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\ldots+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\ldots+\frac{n}{3^{a_n}}=1.
10–11 класиПарність та непарність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-001

Точки дотику зовнівписаного кола та перетини на BC

Нехай точка JJ — центр зовнівписаного кола трикутника ABCABC, яке дотикається до сторони BCBC трикутника. Позначимо точку дотику кола до сторони BCBC через MM, а до прямих ABAB та ACAC — через KK та LL відповідно. Прямі LMLM і BJBJ перетинаються в точці FF, а прямі KMKM і CJCJ перетинаються в точці GG. Нехай SS — точка перетину прямих AFAF та BCBC, а TT — точка перетину прямих AGAG та BCBC. Доведіть, що точка MM ділить відрізок STST навпіл.
10–11 класиЗовнівписане коло
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-005

Висота прямокутного трикутника і точки K і L

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник із прямим кутом CC, а DD — основа висоти, опущеної з вершини CC на гіпотенузу. На висоті CDCD деяким чином позначили внутрішню точку XX, на відрізку AXAX позначили точку KK так, що BK=BCBK = BC, а на відрізку BXBX позначили точку LL, для якої AL=ACAL = AC. Нехай MM — точка перетину прямих ALAL і BKBK. Доведіть, що MK=MLMK = ML.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-010

Мінімальна кількість монет для гри з коробками по колу

Гравці AA і BB грають у гру з N≥2012N \geq 2012 монетами та 20122012 коробками, розташованими по колу. Спочатку AA розкладає монети по коробках так, щоб у кожній коробці була принаймні 11 монета. Потім вони роблять ходи в порядку B,A,B,A,…B, A, B, A, \ldots за такими правилами: - Кожним своїм ходом BB перекладає по 11 монеті з кожної коробки до сусідньої коробки. - Кожним своїм ходом AA вибирає кілька монет, які не були задіяні в попередньому ході BB і лежать у різних коробках. Кожну вибрану монету вона перекладає до сусідньої коробки. Мета гравчині AA — забезпечити принаймні по 11 монеті в кожній коробці після кожного її ходу, незалежно від того, як грає BB і скільки ходів буде зроблено. Знайдіть найменше NN, за якого вона може досягти успіху.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-005

Рівність відстаней до центра описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник з центром описаного кола OO та інцентром II. Точки DD, EE і FF на сторонах BCBC, CACA і ABAB відповідно такі, що BD+BF=CABD + BF = CA і CD+CE=ABCD + CE = AB. Описані кола трикутників BFDBFD і CDECDE перетинаються в точці P≠DP \neq D. Доведіть, що OP=OIOP = OI.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-001

Замкненість метаполіномів відносно множення

Функцію f:Rk→Rf: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R} називаємо метаполіномом, якщо для деяких натуральних чисел mm і nn вона подається у вигляді f(x1,…,xk)=max⁡i=1,…,mmin⁡j=1,…,nPi,j(x1,…,xk)f\left(x_1, \ldots, x_k\right)=\max_{i=1, \ldots, m} \min_{j=1, \ldots, n} P_{i, j}\left(x_1, \ldots, x_k\right) де Pi,jP_{i, j} — многочлени від кількох змінних. Доведіть, що добуток двох метаполіномів також є метаполіномом.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-006

Описані чотирикутники з паралельними сторонами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник з непаралельними сторонами BCBC і ADAD. Припустимо, що існує точка EE на стороні BCBC така, що чотирикутники ABEDABED і AECDAECD є описаними. Доведіть, що існує точка FF на стороні ADAD така, що чотирикутники ABCFABCF і BCDFBCDF є описаними, тоді й лише тоді, коли сторона ABAB паралельна стороні CDCD.
10–11 класиВписане коло
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-016

Зображення остач сумою квадрата й п'ятого степеня

Доведіть, що для кожного простого p>100p > 100 і кожного цілого rr існують такі цілі числа aa і bb, що pp ділить a2+b5−ra^{2} + b^{5} - r.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-028

Стабільні знакозмінні кортежі

Назвемо n-набір (a1,…,an)(a_1, \dots, a_n) дійсних чисел стабільним, якщо суми a1+a2+⋯+aka_1 + a_2 + \dots + a_k, де 0<k≤n0 < k \le n, а також суми an+an−1+⋯+an−ka_n + a_{n-1} + \dots + a_{n-k}, де 0≤k<n0 \le k < n, або всі від'ємні, або всі невід'ємні. Нехай kk — довільне натуральне число. Розглянемо всі стабільні (2k+1)(2k+1)-набори, що складаються з дійсних чисел, які почергово від'ємні та невід'ємні. Знайдіть найменшу можливу кількість стабільних піднаборів з більш ніж одного елемента, що можуть міститися в такому наборі. (Піднабором (a1,…,an)(a_1, \dots, a_n) називається будь-який набір (ai,…,aj)(a_i, \dots, a_j), 1≤i≤j≤n1 \le i \le j \le n, з елементів, послідовних у вихідному наборі.)
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-035

Мінімальна кількість задач із попарним перетином

Математичний конкурс проводиться на 88 різних рівнях складності. Оргкомітет має підготувати по 55 задач для кожного рівня. Одна й та сама задача може використовуватися для більш ніж одного рівня, але будь-які два рівні можуть мати не більше однієї спільної задачі. Яка найменша кількість задач достатня організаторам?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-001

Максимальна кількість пар дільників суми чотирьох чисел

Для множини A={a1,a2,a3,a4}A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}, яка складається з чотирьох попарно різних натуральних чисел, позначимо через sAs_A суму a1+a2+a3+a4a_1 + a_2 + a_3 + a_4. Через nAn_A позначимо кількість пар індексів (i,j)(i, j), 1⩽i<j⩽41 \leqslant i < j \leqslant 4, таких що sA⋮(ai+aj)s_A \vdots (a_i + a_j). Знайдіть усі множини AA, що складаються з чотирьох попарно різних натуральних чисел, для яких nAn_A набуває максимально можливого значення.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-002

Млин і кожна точка центром безліч разів

Нехай SS — скінченна множина точок на площині, яка складається принаймні з двох точок. Відомо, що жодні три точки множини SS не лежать на одній прямій. Млином назвемо такий процес. Спочатку вибираємо пряму ll, на якій лежить рівно одна точка P∈SP \in S. Пряма ll обертається за годинниковою стрілкою навколо центра PP, доки вона не пройде через іншу точку QQ множини SS. У цей момент точка QQ стає новим центром, і пряма продовжує обертатись за рухом годинникової стрілки навколо точки QQ, доки вона знову не пройде через точку множини SS. Цей процес триває нескінченно, при цьому кожного разу центром стає чергова точка з множини SS. Доведіть, що можна вибрати точку PP множини SS та деяку пряму ll, що проходить через PP, так, що для млина, який починатиметься з прямої ll, кожна точка множини SS буде центром безліч разів.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-003

Функціональна нерівність і значення при недодатних x

Нехай функція f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} така, що для довільних x∈Rx \in \mathbb{R}, y∈Ry \in \mathbb{R} вона задовольняє умову f(x+y)⩽yf(x)+f(f(x)).f(x + y) \leqslant yf(x) + f\bigl(f(x)\bigr). Доведіть, що f(x)=0f(x) = 0 для всіх x⩽0x \leqslant 0.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-004

Степені двійки на шальках терезів без переваги справа

Задано натуральне число nn. Маємо шалькові терези та nn гир, ваги яких дорівнюють 20,21,…,2n−12^0, 2^1, \ldots, 2^{n - 1}. Усі гирі послідовно викладають на терези за nn кроків. На першому кроці вибирають довільну гирю та викладають її на ліву шальку терезів. На кожному наступному кроці вибирають одну з гир, що залишились, і додають або на ліву, або на праву шальку терезів. Знайдіть кількість способів виконати ці nn кроків таким чином, щоби права шалька терезів жодного разу не переважила ліву.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-005

Функція з цілих у натуральні та подільність значень

Нехай f:Z→Nf : \mathbb{Z} \to \mathbb{N} — деяка функція. Відомо, що для довільних цілих mm і nn різниця f(m)−f(n)f(m) - f(n) ділиться на f(m−n)f(m - n). Доведіть, що для довільних цілих mm і nn таких, що f(m)⩽f(n)f(m) \leqslant f(n), число f(n)f(n) ділиться на f(m)f(m).
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-006

Дотична до описаного кола та її відбиття від сторін

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а Γ\Gamma — описане навколо нього коло. Нехай пряма ll — деяка дотична до кола Γ\Gamma і lal_a, lbl_b та lcl_c — прямі, які симетричні прямій ll відносно прямих BCBC, CACA та ABAB відповідно. Доведіть, що коло, описане навколо трикутника, що утворений прямими lal_a, lbl_b та lcl_c, дотикається до кола Γ\Gamma.
10–11 класиКола, що дотикаються
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-010

Подільність, що робить многочлен сталим

Нехай P(x)P(x) і Q(x)Q(x) — два многочлени з цілими коефіцієнтами, такі, що жоден несталий многочлен з раціональними коефіцієнтами не ділить одночасно P(x)P(x) і Q(x)Q(x). Припустимо, що для кожного натурального числа nn цілі числа P(n)P(n) і Q(n)Q(n) додатні, і 2Q(n)−12^{Q(n)}-1 ділить 3P(n)−13^{P(n)}-1. Доведіть, що Q(x)Q(x) — сталий многочлен.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-008

Найбільше однорідне перекриття при покритті сітки

На квадратній дошці з 20112011 на 20112011 клітинок розміщено скінченну кількість серветок, кожна з яких покриває квадрат 5252 на 5252 клітинок. У кожну клітинку записуємо кількість серветок, що її покривають, і фіксуємо максимальну кількість kk клітинок, які містять одне й те саме ненульове число. Серед усіх можливих розташувань серветок знайдіть найбільше можливе значення kk.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-005

Дотичний шестикутник з рівними відстанями

Нехай ABCDEFA B C D E F — опуклий шестикутник, усі сторони якого дотикаються до кола ω\omega з центром OO. Припустимо, що описане коло трикутника ACEA C E концентричне з колом ω\omega. Нехай JJ — основа перпендикуляра з BB на пряму CDC D. Припустимо, що перпендикуляр з BB до прямої DFD F перетинає пряму EOE O в точці KK. Нехай LL — основа перпендикуляра з KK на пряму DED E. Доведіть, що DJ=DLD J=D L.
10–11 класиПоворот2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-012

Степені перестановки за модулем числа Ферма

Нехай kk — натуральне число і n=2k+1n=2^{k}+1. Доведіть, що nn є простим числом тоді й лише тоді, коли виконується таке: існує перестановка a1,…,an−1a_{1}, \ldots, a_{n-1} чисел 1,2,…,n−11,2, \ldots, n-1 і послідовність цілих чисел g1,g2,…,gn−1g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n-1} такі, що nn ділить giai−ai+1g_{i}^{a_{i}}-a_{i+1} для кожного i∈{1,2,…,n−1}i \in\{1,2, \ldots, n-1\}, де покладемо an=a1a_{n}=a_{1}.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.