Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-001

Шість точок кіл через ортоцентр на сторонах трикутника

Нехай HH – точка перетину висот гострокутного трикутника ABCABC. Коло з центром у середині сторони BCBC проходить через точку HH та перетинає пряму BCBC у точках A1A_1 та A2A_2. Аналогічно, коло з центром у середині сторони CACA проходить через точку HH та перетинає пряму CACA у точках B1B_1 та B2B_2, коло з центром у середині сторони ABAB проходить через точку HH та перетинає пряму ABAB у точках C1C_1 та C2C_2. Доведіть, що точки A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-002

Сума квадратів дробів при xyz = 1

а) Доведіть, що нерівність x2(x−1)2+y2(y−1)2+z2(z−1)2≥1\frac{x^2}{(x-1)^2} + \frac{y^2}{(y-1)^2} + \frac{z^2}{(z-1)^2} \ge 1 виконується для усіх відмінних від 11 дійсних чисел x,y,zx, y, z таких, що xyz=1xyz = 1. б) Доведіть, що вказана нерівність обертається на рівність для нескінченої кількості трійок відмінних від 11 раціональних чисел x,y,zx, y, z таких, що xyz=1xyz = 1.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-003

Нескінченно багато n із великим простим дільником n²+1

Доведіть, що існує нескінченно багато таких натуральних чисел nn, що число n2+1n^2 + 1 має простий дільник, більший за 2n+2n2n + \sqrt{2n}.
10–11 класиТеорема Евкліда про нескінченніст…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-004

Функціональне рівняння з рівністю добутків wx = yz

Знайдіть усі функції f:(0,+∞)↦(0,+∞)f : (0, +\infty) \mapsto (0, +\infty) (тобто функції, що визначені на множині усіх додатних чисел та приймають додатні значення) такі, що (f(w))2+(f(x))2f(y2)+f(z2)=w2+x2y2+z2\frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f\left(y^2\right) + f\left(z^2\right)} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} для довільних додатних w,x,y,zw, x, y, z які задовольняють рівність wx=yzwx = yz.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-005

Послідовності перемикань 2n ламп і відношення кількостей

Нехай nn та kk – такі натуральні числа, що k≥nk \ge n, а число k−nk-n парне. Є 2n2n ламп, які занумеровані числами 1,2,…,2n1, 2, \ldots, 2n, кожна з яких може знаходитись у одному з двох станів: увімк. (увімкнена) або вимк. (вимкнена). Спочатку всі лампи були вимкнені. Розглядаються впорядковані послідовності кроків: на кожному кроці рівно одна лампа змінює свій стан на протилежний (з увімк. на вимк. або з вимк. на увімк.). Позначимо через NN число таких послідовностей з kk кроків, що приводять до стану: усі лампи з 11-ї по nn-ту увімкнені, а усі лампи з (n+1)(n+1)-ї по (2n)(2n)-у вимкнені. Позначимо через MM число таких послідовностей з kk кроків, що приводять до стану: усі лампи з 11-ї по nn-ту увімкнені, усі лампи з (n+1)(n+1)-ї по (2n)(2n)-у вимкнені, але при цьому жодна з ламп з (n+1)(n+1)-ї по (2n)(2n)-у жодного разу не змінювала свого стану. Знайдіть значення відношення NM\dfrac{N}{M}.
10–11 класиБієкції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-006

Спільні зовнішні дотичні вписаних кіл трикутників ABC і ADC

Нехай ABCDABCD – опуклий чотирикутник, у якому BA≠BCBA \ne BC. Позначимо кола, що вписані в трикутники ABCABC та ADCADC, через ω1\omega_1 та ω2\omega_2 відповідно. Припустимо, що існує коло ω\omega, яке дотикається до продовження відрізка BABA за точку AA, продовження відрізка BCBC за точку CC, і також дотикається до прямих ADAD та CDCD. Доведіть, що спільні зовнішні дотичні до кіл ω1\omega_1 та ω2\omega_2 перетинаються на колі ω\omega.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-010

Ґратчаста кліка з фіксованою площею трикутника

На координатній площині розглянемо множину SS всіх точок із цілими координатами. Для натурального числа kk дві різні точки A,B∈SA, B \in S називатимемо kk-друзями, якщо існує така точка C∈SC \in S, що площа трикутника ABCA B C дорівнює kk. Множину T⊂ST \subset S називатимемо kk-клікою, якщо будь-які дві точки з TT є kk-друзями. Знайдіть найменше натуральне число kk, для якого існує kk-кліка з більш ніж 200 елементів.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-001

Рекурсивно задана функція на кратних 3

Для цілого mm позначимо через t(m)t(m) єдине число з {1,2,3}\{1,2,3\} таке, що m+t(m)m+t(m) кратне 33. Функція f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} задовольняє f(−1)=0f(-1)=0, f(0)=1f(0)=1, f(1)=−1f(1)=-1 і f(2n+m)=f(2n−t(m))−f(m) для всіх цілих m,n≥0 при 2n>m.f\left(2^{n}+m\right)=f\left(2^{n}-t(m)\right)-f(m) \quad \text{ для всіх цілих } m, n \geq 0 \text{ при } 2^{n}>m. Доведіть, що f(3p)≥0f(3p) \geq 0 виконується для всіх цілих p≥0p \geq 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-003

Функціональне рівняння з пропущеним значенням

Нехай f:R→Nf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N} — функція, яка задовольняє f(x+1f(y))=f(y+1f(x)) для всіх x,y∈Rf\left(x+\frac{1}{f(y)}\right)=f\left(y+\frac{1}{f(x)}\right) \quad \text{ для всіх } x, y \in \mathbb{R} Доведіть, що існує натуральне число, яке не є значенням функції ff.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-007

Точка з рівними сумами кутів у чотирикутнику

Дано опуклий чотирикутник ABCDA B C D. Доведіть, що існує точка PP всередині чотирикутника така, що \angle P A B+\angle P D C=\angle P B C+\angle P A D=\angle P C D+\angle P B A=\angle P D A+\angle P C B=90^{\circ} \tag{1} тоді і тільки тоді, коли діагоналі ACA C і BDB D перпендикулярні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-004

Симетрична нерівність для чотирьох дійсних чисел

Доведіть, що для будь-яких чотирьох додатних дійсних чисел aa, bb, cc, dd виконується нерівність (a−b)(a−c)a+b+c+(b−c)(b−d)b+c+d+(c−d)(c−a)c+d+a+(d−a)(d−b)d+a+b≥0\frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b} \geq 0 Знайдіть усі випадки рівності.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2007-001

Неспадна послідовність і відхилення від заданих чисел

Задані дійсні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. Для кожного ii (1≤i≤n1 \le i \le n) визначимо di=max⁡1≤j≤iaj−min⁡i≤j≤najd_i = \max\limits_{1 \le j \le i} a_j - \min\limits_{i \le j \le n} a_j і нехай d=max⁡1≤i≤ndid = \max\limits_{1 \le i \le n} d_i. а) Довести, що для довільних дійсних чисел x1≤x2≤…≤xnx_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n виконується нерівність: max⁡1≤i≤n∣xi−ai∣≥d2.(∗)\max\limits_{1 \le i \le n} | x_i - a_i | \ge \frac{d}{2}. \qquad (*) б) Показати, що існують дійсні числа x1≤x2≤…≤xnx_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n, для яких нерівність () обертається в рівність.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2007-002

Паралелограм, вписаний чотирикутник і бісектриса кута

Розглянемо такі 5 точок A,B,C,D,EA, B, C, D, E, що ABCDABCD – паралелограм, а BCDEBCDE – вписаний чотирикутник. Нехай пряма ll, яка проходить через точку AA, перетинає відрізок DCDC в точці FF, яка не є його кінцем, а також перетинає пряму BCBC в точці GG. Довести, що якщо EF=EG=ECEF = EG = EC, то ll є бісектрисою кута ∠DAB\angle DAB.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2007-003

Розсадження учасників у дві кімнати з рівними кліками

Деякі учасники змагання товаришують один з одним, причому, якщо A товаришує з B, то й B товаришує з A. Назвемо групу учасників клікою, якщо кожні двоє з неї товаришують. (Одна людина – це теж кліка.) Назвемо кількість людей у кліці її розміром. Відомо, що найбільший розмір кліки, що складається з учасників змагання, є парним числом. Доведіть, що можливо розсадити усіх учасників у дві кімнати таким чином, щоб найбільший розмір кліки в одній кімнаті дорівнював найбільшому розміру кліки в іншій кімнаті.
10–11 класиПарність і непарність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2007-004

Трикутники на бісектрисі і серединних перпендикулярах

В трикутнику ABCABC бісектриса кута ∠BCA\angle BCA перетинає описане навколо △ABC\triangle ABC коло, серединний перпендикуляр до BCBC та серединний перпендикуляр до ACAC відповідно в точках R,P,QR, P, Q (R≠CR \ne C). Нехай KK – середина BCBC, LL – середина ACAC. Довести, що трикутники RPKRPK і RQLRQL мають однакову площу.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2007-005

Дільник 4ab − 1 і рівність a = b

Нехай a,ba, b – натуральні числа. Показати, що якщо (4a2−1)2\left(4a^2 - 1\right)^2 ділиться на (4ab−1)(4ab - 1), то a=ba = b.
10–11 класиСтрибки Вієта
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2007-006

Найменша кількість площин, що покривають точки множини S

Нехай nn – натуральне число. Розглянемо множину: S={(x,y,z)∣x,y,z∈{0,1,…,n}, x+y+z>0},S = \left\{(x, y, z) \mid x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\},\ x + y + z > 0\right\}, яка складається з ((n+1)3−1)\left((n+1)^3 - 1\right) точок тривимірного простору. Знайдіть найменшу можливу кількість площин, об'єднання яких містить усі точки з SS, проте не містить точку (0,0,0)(0,0,0).
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-018

Двійковий показник різниці біноміальних коефіцієнтів

Для кожного цілого k≥2k \geq 2, доведіть, що 23k2^{3k} ділить число (2k+12k)−(2k2k−1)\binom{2^{k+1}}{2^{k}} - \binom{2^{k}}{2^{k-1}}
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-019

Сюр'єктивна функція з подільністю на прості числа

Знайдіть усі сюр'єктивні функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} такі, що для будь-яких m,n∈Nm, n \in \mathbb{N} і кожного простого числа pp число f(m+n)f(m+n) ділиться на pp тоді й лише тоді, коли f(m)+f(n)f(m)+f(n) ділиться на pp. (N\mathbb{N} — множина всіх натуральних чисел.)
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-013

Одноколірний прямокутник у пофарбованих смугах

У декартовій координатній площині означимо смугу Sn={(x,y)∣n≤x<n+1}S_{n}=\{(x, y) \mid n \leq x<n+1\} для кожного цілого nn. Припустимо, що кожна смуга SnS_{n} пофарбована або в червоний, або в синій колір, і нехай aa і bb — два різні натуральні числа. Доведіть, що існує прямокутник зі сторонами aa і bb такий, що його вершини мають однаковий колір.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-020

Дільник виду 8kn-1 числа (4k²-1)²

Нехай kk — натуральне число. Доведіть, що число (4k2−1)2\left(4 k^{2}-1\right)^{2} має додатний дільник вигляду 8kn−18 k n-1 тоді й лише тоді, коли kk парне.
10–11 класиСтрибки Вієта
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-007

Мінімальне відношення для суми площ чотирикутника

Знайдіть найменше додатне дійсне число kk з такою властивістю. Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, а точки A1,B1,C1A_{1}, B_{1}, C_{1} і D1D_{1} лежать на сторонах AB,BCAB, BC, CDCD і DADA відповідно. Розглянемо площі трикутників AA1D1,BB1A1,CC1B1AA_{1}D_{1}, BB_{1}A_{1}, CC_{1}B_{1} і DD1C1DD_{1}C_{1}; нехай SS — сума двох найменших з них, а S1S_{1} — площа чотирикутника A1B1C1D1A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Тоді завжди виконується kS1≥Sk S_{1} \geq S.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-014

Перетинні сім'ї підмножин понад оцінку

Нехай α<3−52\alpha < \frac{3 - \sqrt{5}}{2} — додатне дійсне число. Доведіть, що існують натуральні числа nn і p>α⋅2np > \alpha \cdot 2^{n}, для яких можна вибрати 2p2p попарно різних підмножин S1,…,Sp,T1,…,TpS_{1}, \ldots, S_{p}, T_{1}, \ldots, T_{p} множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} таких, що Si∩Tj≠∅S_{i} \cap T_{j} \neq \varnothing для всіх 1≤i,j≤p1 \leq i, j \leq p.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-008

Дотик вписаних кіл і колінеарність у чотирикутнику

Точка PP лежить на стороні ABAB опуклого чотирикутника ABCDABCD. Нехай ω\omega — вписане коло трикутника CPDCPD, а II — його інцентр. Припустімо, що ω\omega дотикається до вписаних кіл трикутників APDAPD і BPCBPC в точках KK і LL відповідно. Нехай прямі ACAC і BDBD перетинаються в точці EE, а прямі AKAK і BLBL перетинаються в точці FF. Доведіть, що точки EE, II і FF лежать на одній прямій.
10–11 класиГомотерія і подібність
Балтійський шляхBW-2006-016

Послідовність із подільністю сум сусідніх елементів

Чи існує послідовність a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots натуральних чисел така, що сума будь-яких nn послідовних елементів ділиться на n2n^{2} для кожного натурального числа nn?
10–11 класиКитайська теорема про остачі

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.