Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2006-001

Центр вписаного кола і точка з рівністю кутів

Точка II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Усередині цього трикутника вибрано таку точку PP, що ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB\angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB. Доведіть, що AP≥AIAP \ge AI, причому рівність досягається тоді й тільки тоді, коли точка PP співпадає з II.
10–11 класиТеорема про тризуб
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2006-002

Найбільше рівнобедрених трикутників з добрими сторонами в 2006-кутнику

Діагональ правильного 2006-кутника PP називається добрим відрізком, якщо її кінці поділяють межу PP на дві частини, кожна з яких містить непарну кількість сторін. Сторони PP також вважаються добрими відрізками. Нехай PP розбивається на трикутники 2003 діагоналями, жодні дві з яких не мають спільних точок усередині PP. Яку найбільшу кількість рівнобедрених трикутників, кожен з яких має дві добрі сторони, може містити таке розбиття?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2006-003

Найменша стала в нерівності з a, b і c

Визначте найменше дійсне число MM таке, що нерівність ∣ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)∣≤M(a2+b2+c2)2\left|ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)\right| \le M(a^2 + b^2 + c^2)^2 виконується для будь-яких дійсних чисел aa, bb і cc.
10–11 класиНерівність Коші
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2006-004

Пари цілих чисел із квадратом виразу зі степенями двійки

Знайдіть усі пари цілих чисел xx і yy, для яких справджується рівність 1+2x+22x+1=y21 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2006-005

Ітерація многочлена та цілі t з Q(t) = t

Нехай P(x)P(x) — многочлен степеня n>1n > 1 з цілими коефіцієнтами, kk — довільне натуральне число. Розглянемо многочлен Q(x)=P(P(…P(P(x))…))Q(x) = P(P(\ldots P(P(x)) \ldots)) (тут PP застосовується kk разів). Доведіть, що існує не більше від nn цілих чисел tt таких, що Q(t)=tQ(t) = t.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2006-006

Найбільші трикутники на сторонах опуклого многокутника

Кожній стороні bb опуклого многокутника PP поставлено у відповідність найбільшу з площ трикутників, які містяться в PP і одна із сторін яких співпадає з bb. Доведіть, що сума площ, які відповідають усім сторонам многокутника PP, не менша від його подвоєної площі.
10–11 класиІнші нерівності в геометрії
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-005

Лінійні нерівності для сум Фібоначчі

Послідовність c0,c1,…,cn,…c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{n}, \ldots задано умовами c0=1c_{0}=1, c1=0c_{1}=0 і cn+2=cn+1+cnc_{n+2}=c_{n+1}+c_{n} для n≥0n \geq 0. Розглянемо множину SS впорядкованих пар (x,y)(x, y), для яких існує скінченна множина JJ натуральних чисел така, що x=∑j∈Jcjx=\sum_{j \in J} c_{j}, y=∑j∈Jcj−1y=\sum_{j \in J} c_{j-1}. Доведіть, що існують дійсні числа α\alpha, β\beta і mm, MM з такою властивістю: впорядкована пара невід'ємних цілих чисел (x,y)(x, y) задовольняє нерівність m<αx+βy<Mm<\alpha x+\beta y<M тоді й лише тоді, коли (x,y)∈S(x, y) \in S. N. B. Сума за елементами порожньої множини вважається рівною 00.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-016

Існування симетричних турнірів

(n,k)(n, k)-турніром називається змагання з nn учасниками, що проводиться в kk турах, таке, що: (i) Кожен учасник грає в кожному турі, і будь-які два учасники зустрічаються не більше одного разу. (ii) Якщо учасник AA зустрічається з учасником BB у турі ii, учасник CC зустрічається з учасником DD у турі ii, а учасник AA зустрічається з учасником CC у турі jj, то учасник BB зустрічається з учасником DD у турі jj. Визначте всі пари (n,k)(n, k), для яких існує (n,k)(n, k)-турнір.
10–11 класиЗв’язність
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-022

Локальні чемпіони у лінійних діофантових вагах

Нехай a>b>1a > b > 1 — взаємно прості натуральні числа. Визначимо вагу цілого числа cc, позначену через w(c)w(c), як найменше можливе значення ∣x∣+∣y∣|x| + |y|, взяте за всіма парами цілих чисел xx і yy такими, що ax+by=c.a x + b y = c. Ціле число cc називається локальним чемпіоном, якщо w(c)≥w(c±a)w(c) \geq w(c \pm a) і w(c)≥w(c±b)w(c) \geq w(c \pm b). Знайдіть усіх локальних чемпіонів та визначте їх кількість.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-008

Конкурентність прямих у конфігурації дотичних кіл

Кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} з центрами O1O_{1} і O2O_{2} зовні дотикаються в точці DD і внутрішньо дотикаються до кола ω\omega в точках EE і FF відповідно. Пряма tt — спільна дотична до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} в точці DD. Нехай ABAB — діаметр кола ω\omega, перпендикулярний до прямої tt, причому AA, EE і O1O_{1} лежать по один бік від прямої tt. Доведіть, що прямі AO1A O_{1}, BO2B O_{2}, EFEF і tt перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-017

Замощення дірявого трикутника ромбами

Дірявий трикутник — це спрямований вгору рівносторонній трикутник зі стороною nn, з якого вирізано nn спрямованих вгору одиничних трикутних отворів. Ромб — це одиничний ромб з кутами 60∘60^{\circ}-120∘120^{\circ}. Доведіть, що дірявий трикутник TT можна замостити ромбами тоді й лише тоді, коли виконується така умова: кожен спрямований вгору рівносторонній трикутник зі стороною kk у TT містить не більше ніж kk отворів, при 1≤k≤n1 \leq k \leq n.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-018

Антиподні пари на опуклому многограннику

Розглянемо опуклий многогранник без паралельних ребер і без ребра, паралельного до будь-якої грані, крім двох граней, прилеглих до нього. Назвемо пару точок многогранника антиподною, якщо існують дві паралельні площини, що проходять через ці точки і такі, що многогранник міститься між цими площинами. Нехай AA — кількість антиподних пар вершин, а BB — кількість антиподних пар середин ребер. Визначте різницю A−BA-B через кількості вершин, ребер і граней.
10–11 класиПланарні графи2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-010

Нерівність сторін чотирикутника з дотичними колами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Коло, що проходить через точки AA і DD, і коло, що проходить через точки BB і CC, дотикаються зовні в точці PP всередині чотирикутника. Припустимо, що ∠PAB+∠PDC≤90∘ і ∠PBA+∠PCD≤90∘.\angle PAB + \angle PDC \leq 90^{\circ} \quad \text{ і } \quad \angle PBA + \angle PCD \leq 90^{\circ}. Доведіть, що AB+CD≥BC+ADAB + CD \geq BC + AD.
10–11 класиКола, що дотикаються
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-011

Площі трикутників на сторонах многокутника

Кожній стороні aa опуклого многокутника ставимо у відповідність максимальну площу трикутника, що міститься в многокутнику і має aa однією зі своїх сторін. Доведіть, що сума площ, поставлених у відповідність усім сторонам многокутника, не менша за подвоєну площу многокутника.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ2 розв’язки
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2005-001

Спільна точка прямих для шестикутника в рівносторонньому трикутнику

На сторонах рівностороннього трикутника ABCABC відмічено шість точок: A1,A2A_1, A_2 на BCBC, B1,B2B_1, B_2 на CACA і C1,C2C_1, C_2 на ABAB. Ці точки є вершинами опуклого шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1 A_2 B_1 B_2 C_1 C_2, сторони якого мають однакову довжину. Доведіть, що прямі A1B2A_1 B_2, B1C2B_1 C_2 та C1A2C_1 A_2 перетинаються в одній точці.
10–11 класиВекторний метод
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2005-002

Різні остачі послідовності та кожне ціле число

Нехай a1,a2,…a_1, a_2, \ldots — послідовність цілих чисел, яка містить безліч як додатних, так і від'ємних членів. Відомо, що для кожного натурального nn числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n дають nn різних остач від ділення на nn. Доведіть, що кожне ціле число зустрічається в цій послідовності рівно один раз.
10–11 класиМетод математичної індукції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2005-003

Сума дробів з пʼятими степенями при xyz ≥ 1

Нехай x,y,zx, y, z — такі додатні числа, що xyz≥1xyz \ge 1. Доведіть, що x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^5 - x^2}{x^5 + y^2 + z^2} + \frac{y^5 - y^2}{x^2 + y^5 + z^2} + \frac{z^5 - z^2}{x^2 + y^2 + z^5} \ge 0.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2005-004

Натуральні числа, взаємно прості з послідовністю

Знайдіть усі натуральні числа, які є взаємно простими з усіма членами нескінченної послідовності an=2n+3n+6n−1a_n = 2^n + 3^n + 6^n - 1, n≥1n \ge 1.
10–11 класиМала теорема Ферма
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2005-005

Чотирикутник з рівними сторонами та кола трикутників PQR

Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD, сторони BCBC і ADAD якого є рівними, але непаралельними. Нехай EE і FF — такі внутрішні точки на сторонах BCBC і ADAD відповідно, що BE=DFBE = DF. Відомо, що прямі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP, прямі BDBD і EFEF перетинаються в точці QQ, прямі EFEF і ACAC перетинаються в точці RR. Розглянемо трикутники PQRPQR, які утворені для всіх таких точок EE і FF. Доведіть, що кола, описані навколо всіх цих трикутників, мають спільну точку, відмінну від точки PP.
10–11 класиПоворот
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2005-006

Шість задач і учасники, що розв'язали по п'ять задач

Учасникам математичної олімпіади було запропоновано 6 задач. Виявилося, що будь-які дві задачі розв'язали більше від 2/52/5 від загальної кількості учасників, але жоден учасник не розв'язав усі 6 задач. Доведіть, що знайдуться принаймні два учасники, кожен з яких розв'язав рівно 5 задач.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2004-001

Спільна точка кіл BMR і CNR на BC

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB≠ACAB \ne AC. Коло з діаметром BCBC перетинає сторони ABAB і ACAC в точках MM і NN відповідно. Позначимо через OO середину сторони BCBC. Бісектриси кутів BACBAC і MONMON перетинаються в точці RR. Доведіть, що описані кола трикутників BMRBMR і CNRCNR мають спільну точку, яка лежить на стороні BCBC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2004-002

Многочлени з умовою ab+bc+ca=0

Знайдіть усі многочлени P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами, які задовольняють рівність P(a−b)+P(b−c)+P(c−a)=2P(a+b+c)P(a - b) + P(b - c) + P(c - a) = 2P(a + b + c) для всіх дійсних чисел aa, bb і cc таких, що ab+bc+ca=0ab + bc + ca = 0.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2004-003

Прямокутник m × n, розрізаний на гачки

Назвемо гачком шестиклітинкову фігурку, яку зображено на рисунку, а також будь-яку фігурку, яку можна отримати з неї за допомогою поворотів та перевертань. Знайдіть усі такі пари натуральних чисел mm і nn, для яких клітчастий прямокутник розміром m×nm \times n розрізується по лініях сітки на декілька фігурок, кожна з яких є гачком.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2004-004

Умова на суму чисел та довжини сторін трикутника

Нехай n≥3n \ge 3 — натуральне число, і нехай t1,t2,…,tnt_1, t_2, \ldots, t_n — такі додатні дійсні числа, що (t1+t2+…+tn)(1t1+1t2+…+1tn)<n2+1.(t_1 + t_2 + \ldots + t_n)\left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \ldots + \frac{1}{t_n}\right) < n^2 + 1. Доведіть, що ti,tj,tkt_i, t_j, t_k є довжинами сторін трикутника для всіх i,j,ki, j, k таких, що 1≤i<j<k≤n1 \le i < j < k \le n.
10–11 класиНерівність Коші
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2004-005

Опуклий чотирикутник і рівність відрізків AP і CP

В опуклому чотирикутнику ABCDABCD діагональ BDBD не є бісектрисою ані кута ABCABC, ані кута CDACDA. Усередині чотирикутника ABCDABCD відмічено таку точку PP, що ∠PBC=∠DBA\angle PBC = \angle DBA і ∠PDC=∠BDA\angle PDC = \angle BDA. Доведіть, що чотирикутник ABCDABCD є вписаним тоді й тільки тоді, коли AP=CPAP = CP.
10–11 класиПоворотна гомотетія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.