Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-084

Кути BPD і AQC на діагоналях трапеції

Дана трапеція ABCDABCD з основами BCBC та ADAD. На діагоналях ACAC та BDBD відмічено точки PP та QQ відповідно так, що ACAC — бісектриса кута BPDBPD, а BDBD — бісектриса кута AQCAQC. Доведіть, що ∠BPD=∠AQC\angle BPD = \angle AQC.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-092

Кут XZY для точки D на стороні BC

На стороні BCBC гострокутного трикутника ABCABC вибрано довільну точку DD. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, а ZZ — точка цього кола, що діаметрально протилежна точці AA. Нехай XX, YY — такі точки на відрізках BOBO, COCO відповідно, для яких виконується умова ∠BXD+∠ABC=180∘=∠CYD+∠ACB.\angle BXD+\angle ABC=180^\circ=\angle CYD+\angle ACB. Доведіть, що градусна міра кута XZYXZY не залежить від вибору точки DD.
9 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-107

Точка K у чотирикутнику з кутами 120° і 60°

В опуклому чотирикутнику ABCDABCD з кутами ABCABC та BCDBCD, що дорівнюють 120∘120^\circ, OO — точка перетину діагоналей, MM — середина сторони BCBC, KK — точка перетину прямих MOMO та ADAD. Відомо, що ∠BKC=60∘\angle BKC = 60^\circ. Доведіть, що ∠BKA=∠CKD=60∘\angle BKA = \angle CKD = 60^\circ.
11 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-030

Вписане коло, дотична та прямий кут

Вписане в трикутник ABCABC коло ω\omega дотикається до його сторін BCBC, CACA та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Пряма, що проходить через точку AA та не проходить через точку DD, перетинає дугу EFEF у точці TT. Дотична до кола ω\omega у точці TT перетинає EFEF у точці PP, а пряма, що проходить через точку PP паралельно ABAB, перетинає ATAT у точці HH. Доведіть, що ∠HEF=90∘\angle HEF = 90^\circ.
11 класПроєктивна геометрія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-107

Рівність дотичних до описаних кіл з середини висоти

Вписане коло гострокутного трикутника ABCABC дотикається до сторін BABA та ACAC у точках KK і LL відповідно. Висота AHAH перетинає бісектриси кутів BB і CC у точках PP і QQ відповідно. Описані кола трикутників KPBKPB і LQCLQC позначимо через w1w_1 та w2w_2. Доведіть, що коли середина висоти AHAH лежить зовні кіл w1w_1 та w2w_2, то дотичні до кіл w1w_1 та w2w_2, що проведені із цієї середини, є рівними.
11 класРадикальна вісь
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-11-12-029

Перетин прямих B0C0 і B1C1 в трикутнику з бісектрисами

У трикутнику ABCABC проведено бісектриси BB0BB_0 та CC0CC_0. Продовження цих бісектрис перетинають коло, описане навколо трикутника ABCABC, у точках B1B_1 та C1C_1 відповідно. Прямі B0C0B_0C_0 та B1C1B_1C_1 перетинаються в точці XX. Нехай також I=BB0∩CC0I = BB_0 \cap CC_0. Покажіть, що X≠IX \neq I, та доведіть, що XI∥BCXI \parallel BC.
11 класПроєктивна геометрія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-11-12-025

Кути BAT і BB'Q та відрізки SQ і RB'

Точку PP вибрано всередині трикутника ABCABC таким чином, що ∠CAP=∠BCP\angle CAP = \angle BCP. Нехай B′=BP∩ACB' = BP \cap AC, C′=CP∩ABC' = CP \cap AB, а QQ — відмінна від AA точка перетину прямої APAP з колом, описаним навколо трикутника ABCABC. Нехай також R=B′Q∩CPR = B'Q \cap CP і S=B′Q∩lS = B'Q \cap l, де ll — пряма, яка проходить через точку PP і паралельна до ACAC. Точка T=B′C′∩QBT = B'C' \cap QB лежить з іншого боку від прямої ABAB, ніж точка CC. Коло, описане навколо трикутника PB′C′PB'C', удруге перетинає пряму APAP в точці, яка лежить усередині трикутника ABCABC. Доведіть, що ∠BAT=∠BB′Q⇔SQ=RB′,\angle BAT = \angle BB'Q \Leftrightarrow SQ = RB', тобто що кути BATBAT і BB′QBB'Q рівні між собою тоді й лише тоді, коли рівними є відрізки SQSQ та RB′RB'.
11 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-118

Паралельні діаметри двох кіл і пряма XY

Кола ω1\omega_1 та ω2\omega_2 перетинаються в точках PP та QQ. Нехай ABAB і CDCD — паралельні діаметри кіл ω1\omega_1 та ω2\omega_2 відповідно. При цьому жодна з точок AA, BB, CC, DD не збігається ні з PP, ні з QQ, і точки лежать на колах у такому порядку: AA, BB, PP, QQ на колі ω1\omega_1 та CC, DD, PP, QQ на колі ω2\omega_2. Прямі APAP та BQBQ перетинаються в точці XX, а прямі CPCP та DQDQ — у точці YY, X≠YX \neq Y. Доведіть, що всі прямі XYXY для різних варіантів вибору діаметрів ABAB та CDCD проходять через одну й ту саму точку або всі є паралельними.
11 класПоворотна гомотетія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-09-10-093

Точка всередині трикутника та центри вписаних кіл

Точка PP належить трикутнику ABCABC. Центри кіл, вписаних у трикутники PBCPBC, PACPAC, PABPAB, позначимо через IAI_A, IBI_B, ICI_C відповідно. Позначимо через IPI_P центр кола, вписаного в трикутник IAIBICI_A I_B I_C. Доведіть, що для точки PP, яка задовольняє умову IP=PI_P = P, виконуються рівності: AP−BP=AC−BC,BP−CP=BA−CA,CP−AP=CB−AB.AP - BP = AC - BC, \quad BP - CP = BA - CA, \quad CP - AP = CB - AB.
10 класСиметрія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-08-09-030

Дотичні до кола та ромб MNPQ

Нехай PAPA і PBPB – дотичні до кола ww з точки PP. Нехай M,NM, N – середини відрізків AP,ABAP, AB відповідно. Продовження MNMN перетинає ww в точці CC, де NN лежить між CC і MM. PCPC перетинає ww в точці DD, а продовження NDND перетинає PBPB в точці QQ. Доведіть, що MNPQMNPQ – ромб.
10 класСтепінь точки відносно кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-08-09-033

Нерівність з виразами 1 + a² і рівність

Для довільних невід'ємних чисел a,b,ca, b, c довести нерівність: (1+a2)(1+b2)(1+c2)(1+a)(1+b)(1+c)≥1+abc2.\frac{\left(1 + a^2\right)\left(1 + b^2\right)\left(1 + c^2\right)}{(1 + a)(1 + b)(1 + c)} \ge \frac{1 + abc}{2}. При яких значеннях змінних досягається рівність?
10 класНерівність Коші
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-094

Рівність многочленів для натуральних x, y, z, t

Знайдіть усі многочлени P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами, для яких виконується наступна умова: для довільних попарно нерівних натуральних x,y,z,tx, y, z, t таких, що x2+y2+z2=2t2x^2 + y^2 + z^2 = 2t^2 та НСД(x,y,z,t)=1(x, y, z, t) = 1, і при цьому має місце рівність: 2P2(t)+2P(xy+yz+zx)=P2(x+y+z).2P^2(t) + 2P(xy + yz + zx) = P^2(x + y + z).
11 класВластивості коефіцієнтів многочле…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-090

Кола в паралелограмі та відношення площ трикутників

На більшій діагоналі ACAC та на стороні DCDC паралелограма ABCDABCD, як на діаметрах, побудовані кола k1k_1 та k2k_2 відповідно. Коло k1k_1 перетинає пряму ABAB в точці EE. Коло k2k_2 перетинає пряму ACAC в точках CC і OO, а пряму ADAD – в точці FF. Відомо, що AO=aAO = a, FO=bFO = b і кут ∠BAC=45∘\angle BAC = 45^\circ. Знайдіть відношення площ трикутників AOEAOE та COFCOF.
10 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-047

Середина відрізка BH і точки на прямій A2C2

Нехай HH – точка перетину висот гострокутного трикутника ABCABC, точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1, – середини сторін BC,CABC, CA і ABAB відповідно. Нехай A2A_2 та C2C_2 – такі точки, що A2A⊥ACA_2A \perp AC і A2C1⊥ABA_2C_1 \perp AB, C2C⊥ACC_2C \perp AC і C2A1⊥BCC_2A_1 \perp BC. Доведіть такі твердження: а) середина відрізка BHBH лежить на прямій A2C2A_2C_2 б) нехай пряма BB1BB_1 перетинає коло, описане навколо трикутника A1B1C1A_1B_1C_1, в точках B1B_1 і B3B_3, тоді точка B3B_3 лежить на прямій A2C2A_2C_2
10 класРадикальна вісь
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-063

Дотик прямої BC до кола QHR у трикутнику

Трикутник ABCABC гострокутний, MM – середина сторони BCBC, точка PP обрана на стороні AMAM таким чином, що MB=MPMB = MP. Точка HH – основа перпендикуляра, опущеного з точки PP на пряму BCBC. З точки HH опускаються перпендикуляри на прямі PBPB і PCPC, які перетинають відповідно прямі ABAB і ACAC в точках QQ і RR. Доведіть, що пряма BCBC дотикається кола, описаного навколо трикутника QHRQHR в точці HH.
11 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-04-05-064

Рівність кутів BWD і ADW у чотирикутнику

У опуклому чотирикутнику ABCDABCD BC=CDBC=CD і ∠CBA+∠DAB>180∘\angle CBA+\angle DAB>180^\circ. Відмінні від вершин чотирикутника точки WW і QQ лежать на сторонах BCBC і DCDC відповідно, причому AD=QDAD=QD і прямі WQWQ та ADAD є паралельними. Відомо, що точка MM перетину відрізків AQAQ і BDBD є рівновіддаленою від прямих ADAD і BCBC. Доведіть, що ∠BWD=∠ADW\angle BWD=\angle ADW.
8 класБісектриса кута
Київський турнір математичних боївKMB-24-25-131

Рівність DG = EH та перетин на бісектрисі

Нехай DD та EE — точки на сторонах BCBC та ACAC відповідно трикутника ABCABC. Описане коло трикутника CEDCED та пряма, що проходить через CC і паралельна ABAB, перетинаються вдруге в точці F≠CF \neq C. Нехай пряма FDFD перетинає відрізок ABAB у точці GG, та нехай HH — така точка на прямій ABAB, що ∠HDA=∠GEB\angle HDA = \angle GEB, та точки розташовані на цій прямій у такому порядку: H−A−BH - A - B. Відомо, що DG=EHDG = EH, доведіть, що відрізки ADAD та BEBE перетинаються на бісектрисі трикутника ACBACB.
10–11 класиТеорема Чеви
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-134

Точка на дузі BC, інцентр і рівність кутів

Точка II — інцентр трикутника ABCABC, XX — така точка на дузі BCBC описаного кола трикутника ABCABC, для якої справджується така умова: якщо EE та FF — основи перпендикулярів із точки XX на BIBI та CICI відповідно, MM — середина відрізка EFEF, то MB=MCMB = MC. Нехай DD — основа перпендикуляра з точки II на сторону BCBC, доведіть, що ∠BAD=∠CAX\angle BAD = \angle CAX.
10–11 класиІнверсія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-139

Рівність відношень на дотичних і ортоцентр трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, точка PP розташована на висоті AXAX. Прямі BPBP та CPCP перетинають сторони ACAC та ABAB у точках DD та EE відповідно. Дотичні, проведені з точок DD та EE до описаного кола трикутника BPCBPC, мають точки дотику KK та LL відповідно, що розташовані всередині трикутника ABCABC. Пряма KDKD перетинає описане коло трикутника AKCAKC удруге в точці MM, а пряма LELE перетинає описане коло трикутника ALBALB удруге в точці NN. Доведіть, що KDMD=LENE⇔P\dfrac{KD}{MD} = \dfrac{LE}{NE} \Leftrightarrow P — ортоцентр трикутника ABCABC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-110

Медіана трикутника та рівність відрізків RN і SN

На медіані CMCM гострокутного трикутника ABCABC позначено точку NN так, що MN⋅MC=14AB2MN \cdot MC = \dfrac{1}{4}AB^2. Прямі ANAN та BNBN удруге перетинають описане коло трикутника ABCABC у точках PP та QQ відповідно. Нехай RR — точка відрізка PQPQ, найближча до QQ із таких, що ∠NRC=∠BNC\angle NRC = \angle BNC, та нехай SS — точка відрізка PQPQ, найближча до PP із таких, що ∠NSC=∠ANC\angle NSC = \angle ANC. Доведіть, що RN=SNRN = SN.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-150

Спільна хорда кіл і пряма, паралельна стороні

Трикутник ABCABC вписаний у коло ω\omega, на його сторонах ABAB, BCBC та ACAC вибрали точки KK, LL та MM відповідно таким чином, що AM⋅BL=CM⋅CLAM \cdot BL = CM \cdot CL. Промінь LKLK перетинає пряму ACAC у точці PP. Спільна хорда описаного кола трикутника KMPKMP та кола ω\omega перетинає відрізок AMAM у точці SS. Доведіть, що SK∥BCSK \parallel BC.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-118

Двоколірне коло довжини n і його дільник

Задано натуральне число nn і коло завдовжки nn. Числа 00, 11, …\ldots, n−1n - 1 записані по колу на рівних відстанях у вказаному порядку за рухом годинної стрілки. Кожне із цих чисел є жовтим або синім, при цьому кожного кольору є принаймні одне ненульове число. Нехай множина S⊂{0,1,…,n−1}S \subset \{0, 1, \ldots, n - 1\}, для якої ∣S∣⩾2|S| \geqslant 2, має такі властивості: якщо дуга (x,y)(x, y) за рухом годинної стрілки така, що її кінці різного кольору, а довжина дуги належить множині SS, то y∈Sy \in S. Доведіть, що існує дільник dd числа nn такий, що числа xx, yy мають однаковий колір, якщо довжина дуги (x,y)(x, y) ділиться націло на dd, а дільник dd не ділить ні xx, ні yy.
10–11 класиНСД та НСК
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-086

Пряма HQ і описане коло трикутника FHK

Нехай точка HH — ортоцентр гострокутного різностороннього трикутника ABCABC, F≠AF \ne A — точка на описаному колі трикутника ABCABC, для якої ∠AFH=90∘\angle AFH = 90^\circ. Точка KK симетрична точці HH відносно точки BB, точка PP така, що ∠PHB=∠PBC=90∘\angle PHB = \angle PBC = 90^\circ, і точка QQ — основа перпендикуляра, опущеного з точки BB на пряму CPCP. Доведіть, що пряма HQHQ дотикається до описаного кола трикутника FHKFHK.
9 класДотична кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-121

Числа n, для яких 2n² ділить aⁿ − 1

Знайдіть усі натуральні числа nn, при яких число 2n22n^2 ділить число an−1a^n-1, де aa — довільне натуральне число.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-129

Рівнобедрений трикутник і точки M, N на бічних сторонах

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною в точці AA та висотою ADAD. Пряма, що проходить через точку DD, перетинає прямі ABAB та ACAC у точках KK та LL відповідно. Нехай точка E≠DE \ne D на стороні BCBC і точка PP на промені AEAE лежать так, що AP>AEAP > AE та ∠KPL=90∘−12∠KAL\angle KPL = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle KAL. Описане коло трикутника PDEPDE перетинає прямі PKPK і PLPL удруге в точках XX та YY відповідно, DX∩AB=MDX \cap AB = M, DY∩AC=NDY \cap AC = N. Доведіть, що точки PP, MM, AA, NN циклічні.
10–11 класиПроєктивна геометрія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.