Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Відбіркові тести на IMOTST-2025-013

Найкоротший шлях через паралельну пряму та трикутник

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник такий, що ∣AB∣+∣BC∣=4∣AC∣|AB| + |BC| = 4|AC| і ∣AB∣<∣BC∣|AB| < |BC|. Нехай DD — точка перетину бісектриси ∠ABC\angle ABC зі стороною ACAC. Точки PP і QQ лежать на відрізку BDBD так, що ∣BP∣=2∣DQ∣|BP| = 2|DQ|. Нехай ℓ\ell — пряма, що проходить через PP паралельно стороні ACAC. Пряма, що проходить через QQ перпендикулярно до відрізка BDBD, перетинає відрізки ABAB і BCBC відповідно в XX і YY. Припустимо, що XX і YY лежать по інший бік від прямої ℓ\ell, ніж BB. Мураха починає свою подорож з XX і рухається звідти до точки на стороні ACAC, потім до точки на прямій ℓ\ell, потім знову повертається до (можливо, іншої) точки на стороні ACAC і, нарешті, до YY. Доведіть, що довжина найкоротшого можливого шляху мурахи дорівнює 4∣XY∣4|XY|.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2025-014

Спадно зростаюча послідовність і різниці

Будемо казати, що послідовність a1,…,ana_1, \dots, a_n дійсних чисел є спадно зростаючою, якщо для всіх 1<i<n1 < i < n виконується 0<ai+1−ai<ai−ai−10 < a_{i+1} - a_i < a_i - a_{i-1}. Знайдіть для кожного натурального числа mm найменше натуральне число kk, для якого існує спадно зростаюча послідовність довжини kk така, що 1 можна записати принаймні mm різними способами як різницю двох елементів aia_i та aja_j цієї послідовності.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-016

Симетрія і подібність у трикутнику

Усередині гострокутного трикутника ABCABC, який не є рівнобедреним, є три різні точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 такі, що AB1:CB1=AB:CBAB_1 : CB_1 = AB : CB і AC1:BC1=AC:BCAC_1 : BC_1 = AC : BC. Нехай A2A_2 — точка, симетрична точці A1A_1 відносно прямої BCBC, нехай B2B_2 — точка, симетрична точці B1B_1 відносно прямої ACAC, а C2C_2 — точка, симетрична точці C1C_1 відносно прямої ABAB. Тоді виконуються всі такі умови: ∙\bullet Чотири точки A,A2,B,C2A, A_2, B, C_2 лежать на одному колі. ∙\bullet Чотири точки A,A2,B2,CA, A_2, B_2, C лежать на одному колі. ∙\bullet Чотири точки B,B2,C,C2B, B_2, C, C_2 лежать на одному колі. ∙\bullet Жодна з трьох точок A2,B2,C2A_2, B_2, C_2 не лежить на описаному колі трикутника ABCABC. Доведіть, що трикутник A1B1C1A_1B_1C_1 і трикутник A2B2C2A_2B_2C_2 подібні.
10–11 класиІнверсія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-011

Вписаний п'ятикутник із симетріями відносно сторін

П'ятикутник ABCDE вписано в коло Ω\Omega, причому AC=ADAC = AD і BC∥DEBC \parallel DE. Візьмемо точку PP на дузі CDCD кола Ω\Omega, яка не містить AA. Нехай P1,P2,P3,P4P_1, P_2, P_3, P_4 і P5P_5 — точки, симетричні точці PP відносно прямих AB,BC,CD,DEAB, BC, CD, DE і EAEA відповідно. Коли PC:PD=P1P2:P4P5=2:3PC : PD = P_1P_2 : P_4P_5 = 2 : 3 і CD:P2P4=42:11CD : P_2P_4 = 4\sqrt{2} : 11, знайдіть значення P1P3P1P5\frac{P_1P_3}{P_1P_5}.
10–11 класиСиметрія
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2024-005

Розселення кроликів на цілочисельній прямій

Підземна нора складається з нескінченної послідовності кімнат, занумерованих цілими числами …,−3,−2,−1,0,1,2,3,…\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots. Спочатку деякі з кімнат зайняті одним або кількома кроликами. Кожен кролик хоче бути сам. Тому, якщо в одній кімнаті (скажімо, в кімнаті mm) є двоє або більше кроликів, то половина кроликів (з округленням униз) втече до кімнати m−1m-1, а половина (також з округленням униз) — до кімнати m+1m+1. Раз на хвилину це відбувається одночасно в усіх кімнатах, де є двоє або більше кроликів. Наприклад, якщо спочатку всі кімнати порожні, крім 5 кроликів у кімнаті №12 і 2 кроликів у кімнаті №13, то через хвилину в кімнатах №11–№14 буде відповідно 2, 2, 2 і 1 кролики, а всі інші кімнати будуть порожні. Тепер припустимо, що спочатку в кімнаті kk є k+1k+1 кроликів для кожного k=0,1,2,…,9,10k=0,1,2, \ldots, 9,10, а всі інші кімнати порожні. a. Доведіть, що зрештою кролики перестануть рухатися. b. Визначте, які кімнати будуть зайняті, коли це станеться.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2024-001

Перемикання пентоміно на дошці n×n

Маємо дошку розміром n×nn \times n, де n≥3n \ge 3, кожне поле якої можна розфарбувати в білий або чорний колір окремо. Кожним ходом ми змінюємо колір п'яти обраних полів, що утворюють наступну фігуру пентоміно (її дозволено повертати). На початку всі поля білі. Визначте, для яких nn можливо зробити всі поля чорними за скінченну кількість ходів.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2024-005

Побудова ортоцентра паралельною лінійкою

Спочатку на площині позначено три неколінеарні точки AA, BB і CC. Ви маєте олівець і двобічну лінійку шириною 1. З їх допомогою ви можете виконувати такі операції: - Позначити довільну точку на площині. - Позначити довільну точку на вже проведеній прямій. - Якщо позначено дві точки P1P_1 і P2P_2, провести пряму, що сполучає P1P_1 і P2P_2. - Якщо проведено дві непаралельні прямі ℓ1\ell_1 і ℓ2\ell_2, позначити перетин прямих ℓ1\ell_1 і ℓ2\ell_2. - Якщо проведено пряму ℓ\ell, провести пряму, паралельну до ℓ\ell, що знаходиться на відстані 1 від ℓ\ell (зауважте, що можна провести дві такі прямі). Доведіть, що за допомогою цих операцій можна позначити ортоцентр трикутника ABCA B C.
10–11 класиЗадачі на побудову (алгоритмічна…2 розв’язки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-003

Функціональне рівняння з ітераціями

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел таких, що f(x)=xf(x)=x — єдина функція f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, яка задовольняє fa(x)fb(y)+fb(x)fa(y)=2xyf^{a}(x) f^{b}(y)+f^{b}(x) f^{a}(y)=2 x y для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Тут fn(x)f^{n}(x) позначає nn-разове застосування функції ff до xx, тобто f1(x)=f(x)f^{1}(x)=f(x) і fn+1(x)=f(fn(x))f^{n+1}(x)=f\left(f^{n}(x)\right).
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-014

Максимальний периметр занумерованого многокутника

Розглянемо правильний 20222022-кутник зі стороною 11. Точки пронумеровано A1,…,A2022A_{1}, \ldots, A_{2022} у деякому порядку. На старті Елі вирушає з точки A1A_{1}, потім стрибає з точки в точку до точки A2A_{2}, потім з A2A_{2} до A3A_{3} і т. д., щоразу обираючи найкоротшу дугу. Дійшовши до A2022A_{2022}, він нарешті повертається до A1A_{1}. Визначити максимальне значення суми довжин дуг, які пройшов Елі, серед усіх можливих нумерацій точок.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-015

Послідовність з циклічною умовою на нерівності

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число, а C>0C>0 — дійсна стала. Припустимо, що існує послідовність x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} дійсних чисел, не всі з яких нульові, така, що: - x1+x2+…+xn=0x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=0. - Для будь-якого індексу 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n виконується або xi⩽xi+1x_{i} \leqslant x_{i+1}, або xi⩽xi+1+Cxi+2x_{i} \leqslant x_{i+1}+C x_{i+2} (де покладено xn+1=x1x_{n+1}=x_{1} і xn+2=x2x_{n+2}=x_{2}). 1. Доведіть, що обов'язково C⩾2C \geqslant 2. 2. Припустимо, що C=2C=2, доведіть, що nn обов'язково парне.
10–11 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-052

Функції на многочленах, що зберігають подільність

Нехай Z[X]\mathbb{Z}[X] — множина многочленів із цілими коефіцієнтами. Знайдіть усі функції f:Z[X]→Z[X]f: \mathbb{Z}[X] \rightarrow \mathbb{Z}[X] такі, що для всіх P,Q∈Z[X]P, Q \in \mathbb{Z}[X] і r∈Zr \in \mathbb{Z} виконується P(r)∣Q(r)⟺(f(P))(r)∣(f(Q))(r)P(r)|Q(r) \Longleftrightarrow (f(P))(r)|(f(Q))(r)
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-017

Перестановка за найменшим простим числом, що не ділить

Для кожного цілого k⩾1k \geqslant 1 позначимо через p(k)p(k) найменше просте число, що не ділить kk. Нехай (an)n∈N\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} — послідовність така, що a0∈N∗a_{0} \in \mathbb{N}^{*} і для кожного n⩾0n \geqslant 0 число an+1a_{n+1} є найменшим натуральним числом, відмінним від a0,…,ana_{0}, \ldots, a_{n}, таким, що anan+1−1a_{n}^{a_{n+1}}-1 ділиться на p(an)p\left(a_{n}\right). Доведіть, що кожне натуральне число з'являється в послідовності (an)n∈N\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} рівно один раз.
10–11 класиМала теорема Ферма
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-006

Замкненість множини відносно множення й остачі

Нехай SS — множина невід'ємних цілих чисел така, що - існують два елементи aa і bb з SS, такі, що a,b>1a, b > 1 і НСД(a,b)=1\text{НСД}(a, b) = 1; та - для будь-яких (не обов'язково різних) елемента xx і ненульового елемента yy з SS як xyx y, так і остача від ділення xx на yy належать SS. Доведіть, що SS містить кожне невід'ємне ціле число.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-008

Функції з ітерованою нерівністю

Нехай nn — натуральне число, позначимо [n]={1,2,…,n}[n]=\{1,2, \ldots, n\}. - Нехай ana_{n} позначає кількість функцій f:[n]→[n]f:[n] \rightarrow [n] таких, що f(f(i))≥if(f(i)) \geq i для всіх ii. - Нехай bnb_{n} позначає кількість впорядкованих розбиттів множини [n][n] на підмножини, тобто кількість способів вибрати ціле число kk і впорядкований kk-набір попарно неперетинних непорожніх множин (A1,…,Ak)(A_{1}, \ldots, A_{k}), об'єднання яких дорівнює [n][n]. Доведіть, що an=bna_{n}=b_{n}.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-090

Розмітка решітки послідовними трійками

Кожну точку цілочисельної решітки з невід'ємними координатами позначено невід'ємним цілим числом так, що точка (0,0)(0,0) позначена числом 00, і для всіх x,y≥0x, y \geq 0 множина чисел, якими позначено точки (x,y)(x, y), (x,y+1)(x, y+1) і (x+1,y)(x+1, y), дорівнює {n,n+1,n+2}\{n, n+1, n+2\} для деякого невід'ємного цілого числа nn. Визначте з доведенням усі можливі позначки точки (2000,2024)(2000,2024).
10–11 класиОстача від ділення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-009

Гіпербола через центри трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник з центром описаного кола OO та симедіанною точкою KK. Нехай XX — точка на описаному колі трикутника BOCBOC така, що ∠AXO=90∘\angle AXO = 90^{\circ}. Припустимо, що X≠KX \neq K. Гіпербола, що проходить через B,C,O,KB, C, O, K і XX, перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках UU і VV, відмінних від BB і CC. Доведіть, що пряма UVUV — серединний перпендикуляр до відрізка AXAX. Симедіанна точка трикутника ABCABC — це перетин відображень BB-медіани та CC-медіани відносно бісектрис кутів ∠ABC\angle ABC та ∠ACB\angle ACB відповідно.
10–11 класиПроєктивна геометрія3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-101

Максимальна кількість ходів для прибирання машинок з дошки

На кожній клітинці дошки 200×200200 \times 200 стоїть машинка, яка дивиться на північ, південь, схід або захід. За один хід обирають машинку, перед якою безпосередньо немає іншої машинки, і зсувають її на одну клітинку вперед. Якщо хід мав би вивести машинку за межі дошки, машинку натомість прибирають. Машинки розставлено так, що існує послідовність ходів, яка зрештою прибирає всі машинки з дошки. Серед усіх таких початкових розставлень визначте найбільшу можливу кількість ходів, за яку це можна зробити.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-132

Чотирикутник з рівними кутовими умовами

Нехай точка PP лежить усередині чотирикутника ABCDA B C D такого, що ∠PAB=∠PDA∠PAD=∠PDC,∠PBA=∠PCB, і ∠PBC=∠PCD\begin{aligned} & \angle P A B = \angle P D A \\ & \angle P A D = \angle P D C, \\ & \angle P B A = \angle P C B, \text{ і } \\ & \angle P B C = \angle P C D \end{aligned} Якщо PA=4P A = 4, PB=5P B = 5 і PC=10P C = 10, обчисліть периметр чотирикутника ABCDA B C D.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-102

Цілозначні многочлени в уявній одиниці

Для всіх многочленів PP таких, що P(n)P(n) є цілим числом для всіх цілих nn, визначте з доведенням усі можливі значення P(i)P(i), де i2=−1i^{2} = -1.
10–11 класиГауссові числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-122

Сплітті-многочлени четвертого степеня з цілим параметром

Многочлен f∈Z[x]f \in \mathbb{Z}[x] називається сплітті тоді й лише тоді, коли для кожного простого pp існують многочлени gp,hp∈Z[x]g_p, h_p \in \mathbb{Z}[x] такі, що deg⁡gp,deg⁡hp<deg⁡f\operatorname{deg} g_p, \operatorname{deg} h_p < \operatorname{deg} f і всі коефіцієнти многочлена f−gphpf - g_p h_p діляться на pp. Обчисліть суму всіх натуральних чисел n≤100n \leq 100, для яких многочлен x4+16x2+nx^4 + 16 x^2 + n є сплітті.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Відбіркові тести на IMOTST-2024-014

Максимальна кількість мостів проти пожежі на дереві

Дано натуральне число nn. Є nn островів із n−1n-1 мостами між ними так, що з кожного острова можна потрапити на будь-який інший острів. Одного дня опівдні на одному з островів спалахує пожежа. Щоранку вогонь поширюється на всі сусідні острови (ті острови, що з'єднані мостом). Щоб стримати вогонь, щоночі підривають один міст, доки вогонь ще має куди поширюватися. Нехай XX — мінімальна кількість мостів, яку потрібно підірвати для даної групи островів і осередку пожежі. Знайдіть максимум XX за всіма можливими групами островів і осередками пожежі.
10–11 класиДерева
Відбіркові тести на IMOTST-2024-015

Кратні з перестановкою цифр до одиниці

Спочатку на дошці написано натуральне число NN. Ми неодноразово замінюємо число за такими правилами: - замінити число на дошці його додатним кратним, - замінити число числом з тими самими цифрами в іншому порядку. (Дозволено, щоб нове число починалося з одного чи кількох нулів, які потім відкидаються.) Визначте, для яких значень NN можливо отримати 1 після серії ходів. Прикладом допустимих ходів є 5→20→140→041=415 \rightarrow 20 \rightarrow 140 \rightarrow 041=41.
10–11 класиТеорема Ейлера
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-014

Покриття цілочисельної решітки Z-подібними ламаними

Назвемо точку на площині xyxy хорошою точкою, якщо кожна з її координат є цілим числом від 11 до 20002000. Також назвемо ламану ABCDABCD Z-подібною ламаною, якщо чотири точки A(x1,y1)A(x_1, y_1), B(x2,y2)B(x_2, y_2), C(x3,y3)C(x_3, y_3), D(x4,y4)D(x_4, y_4) задовольняють усі такі умови: AA, BB, CC, DD — хороші точки. x1<x2x_1 < x_2, y1=y2y_1 = y_2. x2>x3x_2 > x_3, y2−x2=y3−x3y_2 - x_2 = y_3 - x_3. x3<x4x_3 < x_4, y3=y4y_3 = y_4. Знайдіть найменше можливе натуральне число nn таке, що існують Z-подібні ламані Z1,Z2,…,ZnZ_1, Z_2, \dots, Z_n, які задовольняють таку умову: Будь-яка хороша точка PP лежить на ламаній ZiZ_i для деякого 1≤i≤n1 \le i \le n. Зауважимо, що ламана ABCDABCD є об'єднанням відрізків (включно з обома кінцями) ABAB, BCBC і CDCD.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-015

Дотик серединного перпендикуляра до описаного кола

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник із AB<ACAB < AC, OO — центр його описаного кола, а MM — середина дуги BCBC описаного кола трикутника ABCABC, яка не містить AA. Існує точка DD на продовженні сторони ABAB за точку BB, для якої BD=BMBD = BM, та існує точка EE на стороні ACAC (відмінна від кінців), для якої CE=CMCE = CM. Якщо описані кола трикутників ABEABE і ACDACD перетинаються в точці XX, відмінній від AA, доведіть, що серединний перпендикуляр до відрізка DEDE дотикається до описаного кола трикутника AOXAOX.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-016

Рівняння з коренем із добутку чотирьох чисел

Доведіть, що не існує натуральних чисел (a,b,c,d,n)(a, b, c, d, n), які задовольняють рівняння a2+b2+c2+d2−4abcd=7⋅22n−1a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - 4\sqrt{abcd} = 7 \cdot 2^{2n-1}.
10–11 класиМіркування за модулем

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.