Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-009

Заповнення літерами з хорошими блоками

Розгляньмо заповнення кожної клітинки таблиці 100×100100 \times 100 однією з літер J, M або O. Квадрат 2×22 \times 2 таблиці називається хорошим блоком, якщо він задовольняє одну з таких умов: Чотири клітинки мають рівно один тип літери. Чотири клітинки мають рівно два типи літер, і кожна літера трапляється двічі. Чотири клітинки мають рівно три типи літер, і клітинки в нижньому лівому та верхньому правому кутах мають однакову літеру. Знайдіть кількість способів заповнити 10000 клітинок таблиці так, щоб виконувалися такі дві умови: Кожен квадрат 2×22 \times 2 таблиці є хорошим блоком. Серед пар двох сусідніх клітинок (які мають спільну сторону) таблиці є рівно 10000 пар, у яких дві клітинки мають різні літери. Тут дві пари, у яких порядок клітинок лише переставлено, вважаються тією самою парою і рахуються лише один раз. Зауважимо, що два способи заповнення, які можна отримати один з одного поворотами чи відбиттями, вважаємо різними.
10–11 класиБієкції
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-011

Набори з сумою за взаємно простими індексами

Знайдіть кількість наборів (a1,a2,…,a2100)(a_1, a_2, \dots, a_{2100}) із цілих чисел від 00 до 20992099 включно, які задовольняють таку умову: Існує набір цілих чисел (b1,b2,…,b2100)(b_1, b_2, \dots, b_{2100}) такий, що для кожного цілого ii від 11 до 21002100 виконується ai≡∑НСД(j−i,2100)=11≤j≤2100bj(mod2100)a_i \equiv \sum_{\substack{\text{НСД}(j-i, 2100)=1 \\ 1 \le j \le 2100}} b_j \pmod{2100}
10–11 класиФункція Мебіуса μ(n)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2024-003

Екстремальна сума з упорядкованими послідовностями

Знайдіть найменше додатне дійсне число p(≤1)p (\le 1) таке, що нерівність ∑i=12024xi(y2025−i−y2024−i)≥1−p\sum_{i=1}^{2024} x_i (y_{2025-i} - y_{2024-i}) \ge 1 - p виконується для всіх дійсних чисел 0≤x1≤x2≤⋯≤x2024≤10 \le x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{2024} \le 1 і 0=y0≤y1≤y2≤⋯≤y2024≤10 = y_0 \le y_1 \le y_2 \le \dots \le y_{2024} \le 1, які задовольняють ∑i=12024xi=∑i=12024yi=2024p.\sum_{i=1}^{2024} x_i = \sum_{i=1}^{2024} y_i = 2024p.
10–11 класиМетод Штурма
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2024-004

Колінеарність у конфігурації дотичної та кола

Нехай OO — описане коло трикутника ABCABC. Нехай D(≠A)D (\neq A) — точка на продовженні відрізка BABA за точку AA. Точки EE і FF — дві різні точки на колі OO такі, що прямі DEDE і DFDF є дотичними до кола OO. Відрізок EFEF перетинає сторону CACA в точці T(≠C)T (\neq C). Нехай P(≠B,C)P (\neq B, C) — точка на дузі BCBC кола OO, яка не містить точку AA. Нехай точка перетину прямої DPDP і кола OO — Q(≠P)Q (\neq P). Прямі BQBQ і DTDT перетинаються в точці XX (відмінній від QQ). Нехай Y(≠P)Y (\neq P) — точка перетину прямої PTPT і кола OO. Доведіть, що точки C,X,і YC, X, \text{і } Y колінеарні.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-084

Мінімальна кількість купок після об'єднання монет

Нехай n⩾1n \geqslant 1 — натуральне число. Моргана має спочатку nn купок, у кожній з яких лежить по одній монеті. Далі вона дозволяє собі операції такого вигляду: вона вибирає дві купки, виймає з першої купки стільки ж монет, скільки з другої, і утворює нову купку з монет, які вона вийняла. Визначити залежно від nn найменшу кількість непорожніх купок, яку Моргана зможе отримати за допомогою таких операцій.
10–11 класиІнші інваріанти
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-086

Породження цілих 2023-наборів сумою та максимумом

Люсіль написала на дошці ss 2023-наборів цілих чисел. Далі їй дозволено виконувати операції такого вигляду: вона вибирає два 2023-набори u=(u1,u2,…,u2023)\mathbf{u}=\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2023}\right) і v=(v1,v2,…,v2023)\mathbf{v}=\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{2023}\right), не обов'язково різні, серед тих, які вона вже написала, а потім також пише на дошку два 2023-набори u+v=(u1+v1,…,u2023+v2023)\mathbf{u}+\mathbf{v}=\left(u_{1}+v_{1}, \ldots, u_{2023}+v_{2023}\right) і max⁡(u,v)=(max⁡(u1,v1),…,max⁡(u2023,v2023))\max (\mathbf{u}, \mathbf{v})=\left(\max \left(u_{1}, v_{1}\right), \ldots, \max \left(u_{2023}, v_{2023}\right)\right). Для яких значень ss, якщо Люсіль вдало вибере ss 2023-наборів, написаних нею спочатку, і повторюватиме наведені вище операції, вона зможе написати будь-який 2023-набір цілих чисел?
10–11 класиІнші інваріанти
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-093

Перестановка оборотних лишків за модулем степеня простого числа

Нехай n⩾2n \geqslant 2 і pp — непарне просте число. Нехай UU — множина натуральних чисел, не більших за pnp^{n} і взаємно простих із pp, і нехай N=∣U∣N=|U|. Доведіть, що існує перестановка a1,…,aNa_{1}, \ldots, a_{N} елементів множини UU така, що сума ∑k=1Nakak+1\sum_{k=1}^{N} a_{k} a_{k+1} (де aN+1=a1a_{N+1}=a_{1}) ділиться на pn−1p^{n-1}, але не ділиться на pnp^{n}.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-028

Вписаний чотирикутник із симетрій трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а OO — центр його описаного кола. Нехай dd — пряма, паралельна (BC)(BC), що проходить через OO. Нехай A′A' — точка, симетрична точці AA відносно (BC)(BC). Пряма, паралельна (A′B)(A'B), що проходить через CC, перетинає dd в точці C1C_1, а прямі (A′C)(A'C) та (BC1)(BC_1) перетинаються в точці C2C_2. Пряма, паралельна (A′C)(A'C), що проходить через BB, перетинає dd в точці B1B_1, а прямі (A′B)(A'B) та (CB1)(CB_1) перетинаються в точці B2B_2. Доведіть, що точки AA, A′A', B2B_2, C2C_2 лежать на одному колі.
10–11 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-009

Ін'єктивна функція, що зберігає дійсні корені

Знайти всі ін'єктивні функції ff з N\mathbb{N} в N\mathbb{N} такі, що кожен многочлен ∑i=0naixi\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} має дійсний корінь тоді й лише тоді, коли многочлен ∑i=0naixf(i)\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{f(i)} має дійсний корінь.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-095

Подільність у нелінійній рекурентній послідовності

Нехай (an)n⩾1\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1} — послідовність натуральних чисел така, що a1a_{1} і a2a_{2} взаємно прості і для всіх n⩾1n \geqslant 1 виконується an+2=anan+1+1a_{n+2}=a_{n} a_{n+1}+1. Доведіть, що для будь-якого цілого m>1m>1 існує n>mn>m таке, що amm∣anna_{m}^{m} \mid a_{n}^{n}. Чи залишається результат правильним при m=1m=1?
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-097

Функції з умовою f(a)^n ділить різницю степенів

Знайти всі функції f:N⋆→N⋆f: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star} такі, що: (i) Цілі числа f(1),f(2),…f(1), f(2), \ldots взаємно прості в сукупності. (ii) Існує N⩾1N \geqslant 1 таке, що для всіх n⩾N,f(n)≠1n \geqslant N, f(n) \neq 1 і для всіх a,b∈N⋆a, b \in \mathbb{N}^{\star}, f(a)n∣f(a+b)an−1−f(b)an−1f(a)^{n} \mid f(a+b)^{a^{n-1}}-f(b)^{a^{n-1}}
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-096

Кількість різних дійсних коренів через ітерацію многочлена

Нехай P(X)P(X) — унітарний многочлен з дійсними коефіцієнтами степеня 20222022. Еміль грає в таку гру: він записує многочлен P(X)P(X) на дошці і на кожному кроці, якщо на дошці записано многочлен f(X)f(X), Еміль може замінити його на: - многочлен f(X)+cf(X)+c, де cc — дійсне число за його вибором, або - многочлен P(f(X))P(f(X)). Знайти всі невід'ємні цілі числа nn такі, що, незалежно від початкового многочлена PP, Еміль може знайти послідовність операцій так, щоб отриманий многочлен мав рівно nn різних дійсних коренів.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-011

Описаний чотирикутник і центри вписаних кіл трикутників

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має вписане коло з центром II. Нехай IaI_a, IbI_b, IcI_c і IdI_d — центри вписаних кіл трикутників DABDAB, ABCABC, BCDBCD і CDACDA відповідно. Припустимо, що спільні дотичні до описаних кіл трикутників AIbIdAI_bI_d і CIbIdCI_bI_d перетинаються в точці XX і що зовнішні спільні дотичні до описаних кіл трикутників BIaIcBI_aI_c і DIaIcDI_aI_c перетинаються в точці YY. Доведіть, що XIY^=90∘\widehat{XIY} = 90^{\circ}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-002

Прості числа, що не є буденними

Просте число pp називається буденним, якщо існують натуральні числа aa і bb, менші за p2\frac{p}{2}, такі, що ab−1p\frac{a b-1}{p} — натуральне число. Знайдіть з доведенням усі прості числа, які не є буденними.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-004

Перетворення послідовності у зростаючу

Нехай n>1n > 1 — натуральне число. Клер пише nn різних додатних дійсних чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} у ряд на дошці. За один хід Вільям може стерти число yy і замінити його на тому самому місці або на 1y\frac{1}{y}, або на y+1y+1. Його мета — зробити послідовність ходів так, щоб після завершення числа строго зростали зліва направо. a. Доведіть, що існує додатна стала AA, незалежна від nn, така, що Вільям завжди може досягти своєї мети не більш ніж за Anlog⁡nA n \log n ходів. b. Доведіть, що існує додатна стала BB, незалежна від nn, така, що Клер може вибрати початкові числа так, що Вільям не зможе досягти своєї мети менш ніж за Bnlog⁡nB n \log n ходів.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-005

Послідовність з рекурентною подільністю

Нехай a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел така, що для всіх натуральних чисел mm і nn число am+na_{m+n} ділить aman−1a_{m} a_{n}-1. Доведіть, що існує ціле число CC таке, що для всіх натуральних чисел k>Ck>C виконується ak=1a_{k}=1.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-102

Хорди вписаного кола і сума сторін трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC в точці DD і перетинає серединний перпендикуляр до відрізка BCBC у двох різних точках XX і YY. Прямі AXAX і AYAY перетинають пряму BCBC у точках PP і QQ відповідно. Доведіть, що якщо DP⋅DQ=(AC−AB)2DP \cdot DQ = (AC - AB)^2, то AB+AC=3BCAB + AC = 3 BC.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-074

Оцінка сумарних балів команд

Після завершення раунду Guts організатори обчислять AA — загальну кількість балів, набраних усіма командами-учасницями за задачі 33, 34 і 35 цього раунду (тобто за інші задачі на оцінювання). Оцініть AA. Надішліть натуральне число EE. Ви отримаєте max⁡(0,25−3⋅∣E−A∣)\max (0, 25 - 3 \cdot |E - A|) балів. (Якщо ви не надішлете натуральне число, за цю задачу ви отримаєте нуль балів.) Для довідки: змагається близько 70 команд.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-036

Множина дільників, замкнена від 2ⁿ+1

Нехай SS — непорожня множина натуральних чисел така, що для будь-якого n∈Sn \in S усі натуральні дільники 2n+12^{n}+1 також належать SS. Доведіть, що SS містить ціле число вигляду (p1p2…p2023)2023\left(p_{1} p_{2} \ldots p_{2023}\right)^{2023} де p1,p2,…,p2023p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{2023} — різні прості числа, усі більші за 2023.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-022

Прямокутники з непарною кількістю червоних клітинок

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких можна пофарбувати деякі клітинки нескінченної сітки з одиничних квадратів у червоний колір так, щоб кожен прямокутник, що складається рівно з nn клітинок (і сторони якого лежать на лініях сітки), містив непарну кількість червоних клітинок.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Відбіркові тести на IMOTST-2023-016

Максимальна кількість ходів для збирання камінців

Нехай n≥3n \geq 3 — фіксоване натуральне число. Є nn коробок A1,A2,…,AnA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, у кожній з яких лежить деяка кількість камінців a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} так, що a1+a2+⋯+an=3na_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=3 n. Хід складається з таких дій: вибрати коробку і розкласти всі камінці з неї по nn коробках (включно з вибраною) так, щоб для будь-яких двох коробок кількості доданих камінців відрізнялися не більше ніж на 1. Для розподілу a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} визначимо f(a1,a2,…,an)f\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) як найменшу кількість ходів, потрібну, щоб зібрати всі камінці в одній коробці. Нехай MnM_{n} — максимум f(a1,a2,…,an)f\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) за всіма можливими розподілами a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} такими, що a1+a2+⋯+an=3na_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=3 n. Знайдіть MnM_{n} і всі розподіли a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, для яких f(a1,a2,…,an)=Mnf\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)=M_{n}. Приклад. Якщо n=4n=4 і в коробках міститься 2, 6, 0, 4 камінці, то 2 камінці з коробки A1A_{1} можна роздати як 1,0,1,0. Після цього ходу кількість камінців у коробках дорівнює 1, 6, 1, 4.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-017

Рівняння з f(x + y) та f(xy) на Q+

Знайдіть усі функції f:Q+→Qf: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q} такі, що f(x)+f(y)=(f(x+y)+1x+y)(1−xy+f(xy))f(x)+f(y)=\left(f(x+y)+\frac{1}{x+y}\right)(1-x y+f(x y)) для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^{+}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-015

Максимальна кількість ходів для розподілу камінців

Нехай n≥3n \ge 3 — фіксоване натуральне число. Є nn коробок A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_n, у кожній з яких лежить певна кількість камінців (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \dots, a_n), причому a1+a2+⋯+an=3na_1+a_2+\cdots+a_n = 3n. Хід складається з таких дій: вибрати коробку та розкласти всі камінці з неї по nn коробках (включно з вибраною коробкою) так, щоб для будь-яких двох коробок кількості доданих до них камінців відрізнялися не більше ніж на 1. Для розподілу a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n визначимо f(a1,a2,…,an)f(a_1, a_2, \dots, a_n) як найменшу кількість ходів, потрібну для того, щоб зібрати всі камінці в одній коробці. Нехай MnM_n — максимум f(a1,a2,…,an)f(a_1, a_2, \dots, a_n) за всіма можливими розподілами a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n, для яких a1+a2+⋯+an=3na_1 + a_2 + \cdots + a_n = 3n. Визначте MnM_n та всі розподіли a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n, для яких f(a1,a2,…,an)=Mnf(a_1, a_2, \dots, a_n) = M_n. Приклад. Якщо n=4n = 4 і в коробках по порядку лежить 2, 6, 0, 4 камінці, то ми можемо розкласти 2 камінці з коробки A1A_1, поклавши в кожну коробку по порядку 1, 0, 1, 0 камінців. Після цього ходу кількість камінців у кожній коробці по порядку дорівнює 1, 6, 1, 4.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-027

Середина PQ на прямій Ейлера

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, а PP і QQ — дві різні точки в його внутрішній області. Припустимо, що бісектриси кутів ∠PAQ\angle PAQ, ∠PBQ\angle PBQ і ∠PCQ\angle PCQ є висотами трикутника ABCABC. Доведіть, що середина відрізка PQ‾\overline{PQ} лежить на прямій Ейлера трикутника ABCABC.
10–11 класиПряма Ейлера3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-031

Перетин відрізків і рівні периметри у рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 11. Точки A1A_1 і A2A_2 вибрані на стороні BCBC, точки B1B_1 і B2B_2 вибрані на стороні CACA, а точки C1C_1 і C2C_2 вибрані на стороні ABAB так, що BA1<BA2BA_1 < BA_2, CB1<CB2CB_1 < CB_2 і AC1<AC2AC_1 < AC_2. Припустимо, що три відрізки B1C2B_1C_2, C1A2C_1A_2 і A1B2A_1B_2 перетинаються в одній точці, а периметри трикутників AB2C1AB_2C_1, BC2A1BC_2A_1 і CA2B1CA_2B_1 рівні між собою. Знайдіть усі можливі значення цього спільного периметра.
10–11 класиВписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.