Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Відбіркові тести на IMOTST-2023-032

Самозбіг скінченних різниць на циклічній групі

Нехай pp — фіксоване просте число, а a≥2a \ge 2 і e≥1e \ge 1 — фіксовані цілі числа. Для функції f:Z/aZ→Z/peZf: \mathbb{Z}/a\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z} та цілого числа k≥0k \ge 0 kk-ту скінченну різницю, позначену Δkf\Delta^k f, означено як функцію з Z/aZ\mathbb{Z}/a\mathbb{Z} до Z/peZ\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}, задану рекурсивно як Δ0f(n)=f(n)Δkf(n)=Δk−1f(n+1)−Δk−1f(n)при k=1,2,…\begin{aligned} \Delta^0 f(n) &= f(n) \\ \Delta^k f(n) &= \Delta^{k-1} f(n+1) - \Delta^{k-1} f(n) \quad \text{при } k = 1, 2, \dots \end{aligned} Визначте кількість функцій ff таких, що існує деяке k≥1k \ge 1, для якого Δkf=f\Delta^k f = f.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Відбіркові тести на IMOTST-2023-024

Максимальна сума за обмежень на функції

Розглянемо пари (f,g)(f, g) функцій із множини невід'ємних цілих чисел у себе таких, що f(0)≥f(1)≥f(2)≥⋯≥f(300)≥0f(0) \ge f(1) \ge f(2) \ge \dots \ge f(300) \ge 0; f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(300)≤300f(0) + f(1) + f(2) + \dots + f(300) \le 300; для будь-яких 20 невід'ємних цілих чисел n1,n2,…,n20n_1, n_2, \dots, n_{20}, не обов'язково різних, виконується g(n1+n2+⋯+n20)≤f(n1)+f(n2)+⋯+f(n20).g(n_1 + n_2 + \dots + n_{20}) \le f(n_1) + f(n_2) + \dots + f(n_{20}). Визначте найбільше можливе значення g(0)+g(1)+⋯+g(6000)g(0) + g(1) + \dots + g(6000) за всіма такими парами функцій.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-028

Сітка з нульовими сумами прямокутників

Нехай mm та nn — фіксовані додатні цілі числа. Цвєти та Фрейя грають у гру на нескінченній сітці з одиничних квадратних клітинок. Цвєти таємно записала дійсне число в кожну клітинку так, що сума чисел у кожному прямокутнику розміром m×nm \times n або n×mn \times m дорівнює нулю. Фрейя хоче дізнатися всі ці числа. По черзі Фрейя запитує Цвєти про якусь клітинку в сітці, і Цвєти правдиво розкриває число, записане в ній. Фрейя виграє, якщо в будь-який момент вона може одночасно вивести число, записане в кожній клітинці всієї нескінченної сітки. (Якщо цього ніколи не відбувається, Фрейя програє гру, а Цвєти виграє.) Виразіть через mm та nn найменшу кількість запитань, які Фрейя повинна поставити, щоб виграти, або покажіть, що скінченної кількості запитань недостатньо.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-029

Необмежена різниця ітерованої функції

Зафіксуймо функцію f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N} і для будь-яких m,n∈Nm, n \in \mathbb{N} визначимо Δ(m,n)=f(f(…f(m)… ))⏟f(n) разів−f(f(…f(n)… ))⏟f(m) разів.\Delta(m, n) = \underbrace{f(f(\dots f(m)\dots))}_{f(n) \text{ разів}} - \underbrace{f(f(\dots f(n)\dots))}_{f(m) \text{ разів}}. Припустімо, що Δ(m,n)≠0\Delta(m, n) \neq 0 для будь-яких різних m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}. Доведіть, що Δ\Delta є необмеженою, тобто що для будь-якої сталої CC існують m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}, для яких ∣Δ(m,n)∣>C|\Delta(m, n)| > C.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-017

Екстремальна сума за бієкціями

Позначимо S={1,2,…,3000}S = \{1, 2, \dots, 3000\}. Знайдіть найбільше можливе значення цілого числа XX, яке задовольняє таку умову: Для будь-якої бієкції f:S→Sf: S \to S існує бієкція g:S→Sg: S \to S така, що ∑k=13000(max⁡{f(f(k)),f(g(k)),g(f(k)),g(g(k))}−min⁡{f(f(k)),f(g(k)),g(f(k)),g(g(k))})\sum_{k=1}^{3000} \left( \max\{f(f(k)), f(g(k)), g(f(k)), g(g(k))\} - \min\{f(f(k)), f(g(k)), g(f(k)), g(g(k))\} \right) не менше ніж XX.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-012

Монотонні функції з умовою на композицію

Нехай AA — множина функцій, визначених для цілих чисел від 11 до 20232023 і таких, що набувають цілих значень від 11 до 20232023. Припустимо, що AA задовольняє такі дві умови: Для будь-якої функції ff, що належить AA, і будь-яких цілих чисел xx та yy, для яких 1≤x<y≤20231 \le x < y \le 2023, маємо f(x)≥f(y)f(x) \ge f(y). Для будь-яких функцій ff і gg, що належать AA, і будь-якого цілого числа xx від 11 до 20232023 маємо f(g(x))=g(f(g(x)))f(g(x)) = g(f(g(x))). У цьому випадку знайдіть найбільшу можливу кількість елементів множини AA.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-005

Інцентри трикутників біцентричного п'ятикутника

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п’ятикутник такий, що п’ять вершин лежать на колі, а п’ять сторін дотикаються до іншого кола всередині п’ятикутника. Існує (53)=10\binom{5}{3} = 10 трикутників, які можна утворити, вибравши 3 з 5 вершин. Для кожного з цих 10 трикутників позначимо його інцентр. Доведіть, що ці 10 інцентрів лежать на двох концентричних колах.
10–11 класиІнверсія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-051

Конкурентність прямих у конфігурації з дотичною

Нехай A,B,CA, B, C і DD — чотири точки на колі Ω\Omega. Нехай EE і FF — точки перетину променів [BA)[B A) і [BC)[B C) з дотичною до кола Ω\Omega у DD. Нехай TT — точка всередині трикутника ABCA B C, така, що (TE)(T E) паралельна (CD)(C D) і (TF)(T F) паралельна (AD)(A D). Нарешті, нехай KK — точка відрізка [DF][D F], відмінна від DD, така, що TD=TKT D=T K. Доведіть, що прямі (AC),(DT)(A C),(D T) і (BK)(B K) перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-053

Розфарбування решітки для відстеження невидимого кролика

Мисливець і невидимий кролик грають на нескінченній решітці з квадратних клітинок, тобто такій, де кожна клітинка має чотирьох сусідів: ліворуч, праворуч, вгорі та внизу. Спочатку мисливець розфарбовує кожну клітинку решітки, але може використати лише скінченну кількість кольорів. Кролик потім обирає клітинку решітки, яка буде його початковою точкою. Далі він починає рухатися: щохвилини він повідомляє мисливцеві колір клітинки, на якій перебуває, а потім переходить на одну з чотирьох сусідніх клітинок. Очевидно, оскільки він невидимий, єдині відомості, до яких мисливець має доступ, — це кольори, які кролик оголошує щохвилини безпосередньо перед переміщенням. Мисливець виграє, якщо через скінченний час, ▹\triangleright він може визначити клітинку, яку кролик обрав спочатку, або ж якщо ▹\triangleright кролик повертається на клітинку, на якій він уже був раніше. Чи має мисливець виграшну стратегію?
10–11 класиГеометричні розфарбування
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-055

Подільність тягне остаточну періодичність

Нехай (an)n⩾1\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1} — послідовність натуральних чисел така, що an+2ma_{n+2 m} ділить an+an+ma_{n}+a_{n+m} для всіх цілих чисел m⩾1m \geqslant 1 і n⩾1n \geqslant 1. Доведіть, що ця послідовність є остаточно періодичною, тобто існують цілі числа N⩾1N \geqslant 1 і d⩾1d \geqslant 1 такі, що an=an+da_{n}=a_{n+d} для всіх n⩾Nn \geqslant N.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-011

Повні квадрати в лінійних послідовностях

Нехай nn — натуральне число і нехай a,a1,…,ana, a_{1}, \ldots, a_{n} — натуральні числа. Припустимо, що для кожного цілого kk, для якого число ak+1a k+1 є повним квадратом, принаймні одне з чисел a1k+1,…,ank+1a_{1} k+1, \ldots, a_{n} k+1 також є повним квадратом. Доведіть, що існує індекс 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n такий, що a=aia=a_{i}.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-012

Цілочисельні многочлени зі збереженням простих дільників

Знайти всі многочлени P∈Z[X]P \in \mathbb{Z}[X] такі, що: (i) P(n)⩾1P(n) \geqslant 1 для всіх n⩾1n \geqslant 1 (ii) P(mn)P(mn) і P(m)P(n)P(m) P(n) мають однакову кількість простих дільників для всіх m,n⩾1m, n \geqslant 1.
10–11 класиТеорема Ейлера
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-049

Еквівалентність подільних і переставних графів

Скінченний простий граф GG з nn вершинами називається подільним, якщо можна кожній вершині ss графа GG присвоїти номер nsn_{s} так, що будь-які дві різні вершини завжди мають два різні номери, а будь-які дві вершини ss і s′s^{\prime} з'єднані ребром тоді й лише тоді, коли ns∣ns′n_{s} \mid n_{s^{\prime}} або ns′∣nsn_{s^{\prime}} \mid n_{s}. Скінченний простий граф GG з nn вершинами називається переставним, якщо можна пронумерувати вершини графа GG від 11 до nn і існує перестановка σ\sigma множини {1,…,n}\{1, \ldots, n\} така, що вершини з номерами ii і jj з'єднані ребром тоді й лише тоді, коли (i−j)(σ(i)−σ(j))<0(i-j)(\sigma(i)-\sigma(j))<0. Доведіть, що граф GG є переставним тоді й лише тоді, коли GG та його доповнення є подільними.
10–11 класиОрієнтовані графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-004

Квазірозфарбування графів з обмеженням на степені

Назвемо простий граф GG квазі-розфарбовуваним, якщо кожне його ребро можна пофарбувати в синій, червоний, зелений або білий колір так, щоб - для кожної вершини vv степеня 33 у GG три ребра, що містять vv як кінцеву вершину, були пофарбовані або в синій, червоний і зелений кольори, або всі три ребра були білими, - не всі ребра були білими. Зв'язний граф GG має aa вершин степеня 44, bb вершин степеня 33 і не має інших вершин, де aa і bb — натуральні числа. Знайдіть найменше дійсне число cc, для якого таке твердження є істинним: «Якщо a/b>ca / b > c, то GG є квазі-розфарбовуваним».
10–11 класиДерева2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-005

Суми квазіперіодичних функцій

Нехай pp — просте число, а Fp\mathbb{F}_p — множина цілих чисел за модулем pp. Назвемо функцію f:Fp2→Fpf: \mathbb{F}_p^2 \rightarrow \mathbb{F}_p квазіперіодичною, якщо існують a,b∈Fpa, b \in \mathbb{F}_p, не обидва нульові, такі, що f(x+a,y+b)=f(x,y)f(x+a, y+b)=f(x, y) для всіх x,y∈Fpx, y \in \mathbb{F}_p. Знайдіть з доведенням кількість функцій Fp2→Fp\mathbb{F}_p^2 \rightarrow \mathbb{F}_p, які можна подати у вигляді суми деякої кількості квазіперіодичних функцій.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-130

Чотирикутник з центрів описаних кіл у квадраті

Точка PP міститься всередині квадрата ABCDA B C D зі стороною 1010. Нехай O1,O2,O3,O4O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4} — центри описаних кіл трикутників PABP A B, PBCP B C, PCDP C D і PDAP D A відповідно. Відомо, що PA+PB+PC+PD=232P A + P B + P C + P D = 23 \sqrt{2}, а площа чотирикутника O1O2O3O4O_{1} O_{2} O_{3} O_{4} дорівнює 5050; друге за величиною серед довжин O1O2,O2O3,O3O4,O4O1O_{1} O_{2}, O_{2} O_{3}, O_{3} O_{4}, O_{4} O_{1} можна записати як ab\sqrt{\frac{a}{b}}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-098

Покриття правильного многокутника колами

Нехай P1P2⋯PnP_{1} P_{2} \cdots P_{n} — правильний nn-кутник на площині, а a1,…,ana_{1}, \ldots, a_{n} — невід'ємні цілі числа. Можна накреслити mm кіл так, щоб для кожного 1≤i≤n1 \leq i \leq n рівно aia_{i} кіл містили PiP_{i} у своїй внутрішності. Знайдіть з доведенням найменше можливе значення mm через aia_{i}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-132

Площа трикутника з центроїдів за площами з середин

Нехай A1B1C1A_{1} B_{1} C_{1}, A2B2C2A_{2} B_{2} C_{2} і A3B3C3A_{3} B_{3} C_{3} — три трикутники на площині. Для 1≤i≤31 \leq i \leq 3 нехай DiD_{i}, EiE_{i} і FiF_{i} — середини сторін BiCiB_{i} C_{i}, AiCiA_{i} C_{i} і AiBiA_{i} B_{i} відповідно. Крім того, для 1≤i≤31 \leq i \leq 3 нехай GiG_{i} — центроїд трикутника AiBiCiA_{i} B_{i} C_{i}. Припустимо, що площі трикутників A1A2A3A_{1} A_{2} A_{3}, B1B2B3B_{1} B_{2} B_{3}, C1C2C3C_{1} C_{2} C_{3}, D1D2D3D_{1} D_{2} D_{3}, E1E2E3E_{1} E_{2} E_{3} і F1F2F3F_{1} F_{2} F_{3} дорівнюють 2,3,4,20,212, 3, 4, 20, 21 і 20202020 відповідно. Обчисліть найбільшу можливу площу трикутника G1G2G3G_{1} G_{2} G_{3}.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-101

Сума відстаней у конфігурації дотичних кіл

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, які дотикаються зовні одне до одного в точці NN і обидва дотикаються зсередини до кола Γ\Gamma в точках UU і VV відповідно. Спільна зовнішня дотична до кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} дотикається до кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} в точках PP і QQ відповідно та перетинає Γ\Gamma в точках XX і YY. Нехай MM — середина дуги XY^\widehat{X Y}, яка не містить UU і VV. Нехай ZZ лежить на колі Γ\Gamma так, що MZ⊥NZM Z \perp N Z, і припустимо, що описані кола трикутників QVZQ V Z і PUZP U Z перетинаються в точці T≠ZT \neq Z. Знайдіть з доведенням значення TU+TVT U+T V через R,r1R, r_{1} і r2r_{2} — радіуси кіл Γ,Γ1\Gamma, \Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} відповідно.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-133

Точка з дотичними описаними колами в колі

Нехай ω\omega — коло з центром OO і радіусом 88. Нехай ACAC і BDBD — перпендикулярні хорди кола ω\omega. Нехай PP — точка всередині чотирикутника ABCDABCD така, що описані кола трикутників ABPABP і CDPCDP дотикаються, а описані кола трикутників ADPADP і BCPBCP дотикаються. Якщо AC=261AC=2\sqrt{61} і BD=67BD=6\sqrt{7}, то OPOP можна подати у вигляді a−b\sqrt{a}-\sqrt{b} для натуральних чисел aa і bb. Обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-083

Перші три цифри числа та його четвертого степеня

Обчисліть кількість різних пар вигляду (перші три цифри числа xx, перші три цифри числа x4x^{4}) для всіх цілих чисел x>1010x>10^{10}. Наприклад, одна така пара — (100,100)(100,100), коли x=101010x=10^{10^{10}}.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-123

Сума зі знаками за p-адичними показниками факторіалів

Обчисліть найменше натуральне число nn, для якого існують принаймні два непарні прості числа pp такі, що ∑k=1n(−1)νp(k!)<0\sum_{k=1}^{n}(-1)^{\nu_{p}(k!)}<0 Зауваження: для простого числа pp і натурального числа mm, νp(m)\nu_{p}(m) — це показник найбільшого степеня pp, що ділить mm; наприклад, ν3(18)=2\nu_{3}(18)=2.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбіркові тести на IMOTST-2022-028

Сума цілих частин при попарно віддалених числах

Знайдіть найменше значення, якого може набувати вираз ⌊a11⌋+⌊a22⌋+⋯+⌊a20222022⌋\left\lfloor\frac{a_{1}}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a_{2}}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{a_{2022}}{2022}\right\rfloor де a1,a2,…,a2022≥1a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2022} \geq 1 — дійсні числа такі, що ∣ai−aj∣≥1\left|a_{i}-a_{j}\right| \geq 1 для всіх 1≤i<j≤20221 \leq i<j \leq 2022. Примітка: Для дійсного числа xx через ⌊x⌋\lfloor x\rfloor, що називається дужкою Гаусса числа xx, позначають найбільше ціле число, яке не більше за xx.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Відбіркові тести на IMOTST-2022-025

Функціональне рівняння з виразом x+f(yf(x)+1)

Нехай R>0\mathbb{R}_{>0} позначає множину додатних дійсних чисел. Знайдіть усі функції f:R>0→R>0f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0} такі, що x+f(yf(x)+1)=xf(x+y)+yf(yf(x))x+f(y f(x)+1)=x f(x+y)+y f(y f(x)) для всіх додатних дійсних чисел xx і yy.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2022-008

Перенесення фішок на шаховій дошці

На столі лежать порожній мішок і шахова дошка, на кожній клітинці якої лежить рівно одна фішка. Поряд зі столом є велика купа, що містить необмежений запас фішок. Використовуючи лише ходи наведених нижче типів, яку найбільшу можливу кількість фішок можна зібрати в мішку? - Тип 1: Виберіть непорожню клітинку шахової дошки, яка не міститься в крайньому правому стовпці. Заберіть одну фішку з цієї клітинки та покладіть її разом з однією фішкою з купи на клітинку безпосередньо праворуч від неї. - Тип 2: Виберіть непорожню клітинку шахової дошки, яка не міститься в найнижчому рядку. Заберіть одну фішку з цієї клітинки та покладіть її разом з однією фішкою з купи на клітинку безпосередньо під нею. - Тип 3: Виберіть дві сусідні непорожні клітинки. Зніміть з кожної по одній фішці та покладіть обидві в мішок.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.