Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Відбіркові тести на IMOTST-2017-022

Дотик зовнівписаного кола до описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник. Зовнівписане коло ω\omega, протилежне вершині AA, дотикається до відрізка BC‾\overline{BC}, а також до променів ACAC і ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Описане коло трикутника AEFAEF перетинає пряму BCBC у точках PP і QQ. Нарешті, нехай MM — середина відрізка AD‾\overline{AD}. Доведіть, що коло ω\omega і описане коло трикутника MPQMPQ дотикаються.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-019

Найбільше діагоналей n-кутника з перпендикулярними перетинами

Нехай n≥3n \geq 3 — натуральне число. Яку найбільшу кількість діагоналей правильного nn-кутника можна провести так, щоб якщо дві діагоналі перетинаються у внутрішній області, то вони перпендикулярні одна до одної?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-042

Геометричне місце центрів подібності трикутників

Нехай B=(−1,0)B = (-1,0) і C=(1,0)C = (1,0) — фіксовані точки координатної площини. Непорожню обмежену підмножину SS площини називають гарною, якщо (i) існує точка T∈ST \in S така, що для кожної точки Q∈SQ \in S відрізок TQTQ цілком міститься в SS; та (ii) для будь-якого трикутника P1P2P3P_1P_2P_3 існує єдина точка A∈SA \in S і перестановка σ\sigma індексів {1,2,3}\{1,2,3\}, для яких трикутники ABCABC і Pσ(1)Pσ(2)Pσ(3)P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)} подібні. Доведіть, що існують дві різні гарні підмножини SS і S′S' множини {(x,y):x≥0,y≥0}\{(x,y): x \ge 0, y \ge 0\} такі, що якщо A∈SA \in S і A′∈S′A' \in S' — єдині точки з (ii), то добуток BA⋅BA′BA \cdot BA' є сталою, незалежною від трикутника P1P2P3P_1P_2P_3.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-046

Найбільший набір діагоналей n-кутника з перпендикулярними перетинами

Нехай nn — натуральне число, n≥3n \ge 3. Знайдіть найбільшу кількість діагоналей правильного nn-кутника, які можна вибрати так, щоб будь-які дві вибрані діагоналі, що перетинаються всередині многокутника, були перпендикулярними.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2016-004

Стрибки блохи через лавові проміжки

Нехай AA, BB і FF — натуральні числа, причому A<B<2AA < B < 2A. Блоха знаходиться в точці 00 на числовій прямій. Блоха може рухатися, стрибаючи вправо на AA або на BB. Перед тим, як блоха почне стрибати, Лавамен вибирає скінченну кількість проміжків {m+1,m+2,…,m+A}\{m+1, m+2, \dots, m+A\}, що складаються з AA послідовних натуральних чисел, і розміщує лаву в усіх цілих числах із цих проміжків. Проміжки треба вибрати так, щоб: (i) будь-які два різні проміжки не перетинались і не були сусідніми; (ii) між будь-якими двома проміжками було принаймні FF натуральних чисел без лави; і (iii) лаву не розміщено в жодному цілому числі, меншому за FF. Доведіть, що найменше FF, за якого блоха може перестрибнути через усі проміжки й уникнути всієї лави, незалежно від дій Лавамена, дорівнює F=(n−1)A+BF = (n - 1)A + B, де nn — натуральне число таке, що An+1≤B−A<An.\frac{A}{n+1} \leq B - A < \frac{A}{n} .
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-130

Трикутник із центрами напіввписаних кіл

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC у точці DD. Нехай HH і Γ\Gamma позначають ортоцентр і описане коло △ABC\triangle ABC. BB-напіввписане коло з центром у точці OBO_{B} дотикається до прямих BABA і BCBC та внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma. CC-напіввписане коло з центром у точці OCO_{C} визначено аналогічно. Припустімо, що DH‾⊥OBOC‾\overline{DH} \perp \overline{O_{B}O_{C}}, AB=3AB=\sqrt{3} і AC=2AC=2. Знайдіть довжину сторони BCBC.
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-140

Суми підмножин, що покривають відрізок

Крістофф планує перевезти з північної гори до Аренделлу кілька неподільних крижаних брил з натуральними вагами. Він знає, що коли він дістанеться Аренделлу, принцеса Анна і королева Ельза назвуть впорядковану пару (p,q)(p, q) невід'ємних цілих чисел, що задовольняє p+q≤2016p+q \leq 2016. Тоді Крістофф повинен дати принцесі Анні рівно pp кілограмів льоду. Після цього він повинен дати королеві Ельзі рівно qq кілограмів льоду. Яка найменша кількість крижаних брил, яку Крістофф повинен взяти з собою, щоб гарантовано виконати вимоги Анни й Ельзи, незалежно від того, які pp і qq буде обрано?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-101

Колінеарність у конфігурації з вписаним колом

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II, вписане коло якого дотикається до BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA}, AB‾\overline{AB} у точках D,E,FD, E, F. Точка PP лежить на EF‾\overline{EF} так, що DP‾⊥EF‾\overline{DP} \perp \overline{EF}. Промінь BPBP перетинає AC‾\overline{AC} у точці YY, а промінь CPCP перетинає AB‾\overline{AB} у точці ZZ. Точку QQ вибрано на описаному колі △AYZ\triangle AYZ так, що AQ‾⊥BC‾\overline{AQ} \perp \overline{BC}. Доведіть, що P,I,QP, I, Q лежать на одній прямій.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-053

Тетрація за модулем

Для натуральних чисел a,ba, b величина a↑↑ba \uparrow \uparrow b означається так: a↑↑1=aa \uparrow \uparrow 1 = a, а a↑↑b=aa↑↑(b−1)a \uparrow \uparrow b = a^{a \uparrow \uparrow (b-1)}, якщо b>1b > 1. Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого існує натуральне число aa таке, що a↑↑6≢a↑↑7(modn)a \uparrow \uparrow 6 \not\equiv a \uparrow \uparrow 7 \pmod{n}.
10–11 класиТеорема Ейлера
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-071

Вісім кривих трикутника 2, 3, 4 та їх перетини

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=2AB = 2, AC=3AC = 3, BC=4BC = 4. Ізогональним спряженням точки PP, позначеним P∗P^*, називається точка, отримана перетином відбиттів прямих PAPA, PBPB, PCPC відносно бісектрис кутів ∠A\angle A, ∠B\angle B і ∠C\angle C відповідно. Для точки QQ через K(Q)\mathfrak{K}(Q) позначимо єдину кубічну плоску криву, яка проходить через усі точки PP такі, що пряма PP∗PP^* містить QQ. Розглянемо: a. кубіку Маккея K(O)\mathfrak{K}(O), де OO — центр описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC, b. кубіку Томсона K(G)\mathfrak{K}(G), де GG — центроїд трикутника △ABC\triangle ABC, c. кубіку Наполеона–Фейєрбаха K(N)\mathfrak{K}(N), де NN — центр кола дев'яти точок трикутника △ABC\triangle ABC, d. кубіку Дарбу K(L)\mathfrak{K}(L), де LL — точка де Лоншана (відбиття ортоцентра відносно точки OO), e. кубіку Нойберга K(X30)\mathfrak{K}(X_{30}), де X30X_{30} — нескінченно віддалена точка на прямій OGOG, f. коло дев'яти точок трикутника △ABC\triangle ABC, g. вписане коло трикутника △ABC\triangle ABC і h. описане коло трикутника △ABC\triangle ABC. Оцініть NN, кількість точок, що лежать принаймні на двох із цих восьми кривих. Оцінка EE дає ⌊20⋅2−∣N−E∣/6⌋\left\lfloor 20 \cdot 2^{-|N-E| / 6}\right\rfloor балів.
10–11 класиІнші точки трикутника
Відбіркові тести на IMOTST-2016-022

Демонічні розбиття з рівністю НСК і НСД

Нехай AA — скінченна множина натуральних чисел. Розбиття AA на дві непорожні неперетинні підмножини A1A_{1} і A2A_{2} називається демонічним, якщо найменше спільне кратне елементів A1A_{1} дорівнює найбільшому спільному дільнику елементів A2A_{2}. Яка найменша кількість елементів множини AA, за якої існує рівно 2016 демонічних розбиттів?
10–11 класиНСД та НСК
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2016-001

Відсутність раціональних розв’язків симетричного рівняння

Доведіть, що не існує раціональних чисел xx і yy таких, що x−1x+y−1y=4.x - \frac{1}{x} + y - \frac{1}{y} = 4.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2016-003

Дотичні вписаного кола та відношення перетинів

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Нехай пряма EFEF перетинає прямі BIBI, CICI, BCBC, DIDI у точках KK, LL, MM, QQ відповідно, де II — інцентр △ABC\triangle ABC. Якщо пряма, що проходить через середину відрізка CLCL і MM, перетинає CKCK у точці PP, доведіть, що PQ=AB⋅KQBI.PQ = \frac{AB \cdot KQ}{BI}.
10–11 класиТеорема Менелая
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2015-004

Цілочислові многочлени з універсальною послідовністю

Знайти всі многочлени PP і QQ з цілими коефіцієнтами такі, що, якщо визначити послідовність (xn)\left(x_{n}\right) умовами x0=2015x_{0}=2015, x2n+1=P(x2n)x_{2 n+1}=P\left(x_{2 n}\right) і x2n+2=Q(x2n+1)x_{2 n+2}=Q\left(x_{2 n+1}\right) для всіх n⩾0n \geqslant 0, то кожне ціле число m>0m>0 ділить принаймні один ненульовий член послідовності.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-003

Єдине значення у рекурентному співвідношенні з 3-адичним нормуванням

Для кожного цілого n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} позначимо через v3(n)v_{3}(n) 3-адичне нормування числа nn, тобто найбільше ціле kk таке, що nn ділиться на 3k3^{k}. Покладемо u1=2u_{1}=2 і un=4v3(n)+2−2un−1u_{n}=4 v_{3}(n)+2-\frac{2}{u_{n-1}} для всіх n⩾2n \geqslant 2 (за умови, що un−1u_{n-1} визначено і відмінне від нуля). Доведіть, що для кожного додатного раціонального числа qq існує єдине ціле n⩾1n \geqslant 1 таке, що un=qu_{n}=q.
9–11 класиМетод нескінченного спуску
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-008

Гамільтонів цикл на дошці

Нехай n⩾2n \geqslant 2. На дошці n×nn \times n проведено контур, який проходить рівно один раз через кожну клітинку і повертається до своєї початкової точки (дві послідовні клітинки контуру повинні мати спільну сторону). Доведіть, що існують дві сусідні клітинки на дошці такі, що, якщо «розрізати» контур у цих двох клітинках, обидва отримані шляхи мають довжину не меншу за чверть довжини початкового контуру.
8–10 класиДерева
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-036

Послідовність, задана різницями НСК

Нехай a1,a2,a3a_{1}, a_{2}, a_{3} — натуральні числа. Для кожного цілого n⩾3n \geqslant 3 покладемо an+1=НСК(an,an−1)−НСК(an−1,an−2)a_{n+1}=\text{НСК}\left(a_{n}, a_{n-1}\right)-\text{НСК}\left(a_{n-1}, a_{n-2}\right) при цьому вважається, що НСК(0,x)=0\text{НСК}(0, x)=0 для кожного цілого xx. Доведіть, що існує натуральне число kk таке, що k⩽a3+4k \leqslant a_{3}+4 і ak⩽0a_{k} \leqslant 0.
9–11 класиНСД та НСК
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-072

Інтервали з взаємно простих пар і діофантових розв’язків

Нехай m,nm, n — натуральні числа з m≥nm \geq n. Нехай SS — множина пар (a,b)(a, b) взаємно простих натуральних чисел таких, що a,b≤ma, b \leq m і a+b>ma+b>m. Для кожної пари (a,b)∈S(a, b) \in S розглянемо невід’ємний цілочисельний розв’язок (u,v)(u, v) рівняння au−bv=na u-b v=n, вибраний з найменшим можливим v≥0v \geq 0, а через I(a,b)I(a, b) позначимо (відкритий) інтервал (v/a,u/b)(v / a, u / b). Доведіть, що I(a,b)⊆(0,1)I(a, b) \subseteq(0,1) для кожної пари (a,b)∈S(a, b) \in S, і що довільне фіксоване ірраціональне число α∈(0,1)\alpha \in(0,1) належить I(a,b)I(a, b) рівно для nn різних пар (a,b)∈S(a, b) \in S.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-086

Перестановка з максимальною кількістю пар за добутком

Нехай π\pi — перестановка множини {1,2,…,2015}\{1,2, \ldots, 2015\}. З доведенням визначте найбільшу можливу кількість впорядкованих пар (i,j)∈{1,2,…,2015}2(i, j) \in \{1,2, \ldots, 2015\}^{2} з i<ji<j таких, що π(i)⋅π(j)>i⋅j\pi(i) \cdot \pi(j)>i \cdot j.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-140

Ймовірність строго зростаючої випадкової послідовності

Група друзів, пронумерованих 1,2,3,…,161,2,3, \ldots, 16, по черзі вибирає випадкові числа. Особа 1 вибирає число рівномірно (випадково) в [0,1][0, 1], потім особа 2 вибирає число рівномірно (випадково) в [0,2][0, 2] і так далі, причому особа kk вибирає число рівномірно (випадково) в [0,k][0, k]. Яка ймовірність того, що 16 вибраних чисел будуть строго зростаючими?
10–11 класиБієкції3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-058

Максимальна множина з одиничними відстанями

Знайдіть найбільше ціле число nn таке, що виконується наступне: існує множина з nn точок на площині така, що для будь-якого вибору трьох з них якісь дві перебувають на одиничній відстані.
10–11 класиСтепені вершин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-067

Число Варінга для 2015-х степенів

Нехай nn — найменше натуральне число таке, що будь-яке натуральне число можна подати у вигляді суми nn цілих 20152015-х степенів. Знайдіть nn. Якщо ваша відповідь дорівнює aa, ваш результат становитиме max⁡(20−15∣log⁡10an∣,0)\max \left(20-\frac{1}{5}\left|\log _{10} \frac{a}{n}\right|, 0\right), округлений угору.
10–11 класиКорені та степені
Відбіркові тести на IMOTST-2015-022

Кратні cm і cn з однаковою кількістю ненульових цифр

Дано два натуральні числа mm і nn. Доведіть, що існує натуральне число cc таке, що кожна відмінна від 0 цифра трапляється однакову кількість разів у cmc m і cnc n.
10–11 класиСистеми числення
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-015

Найбільша кількість квадратних блоків із чорними клітинками

Нехай aa — натуральне число. Доведіть, що таке твердження справджується для всіх достатньо великих цілих nn: З клітинної дошки, що простягається до ±∞\pm\infty в обох напрямках xx- і yy-, виберіть nn одиничних (тобто 1×11 \times 1) квадратиків і пофарбуйте їх у чорний колір. Нехай KK — кількість a×aa \times a квадратних блоків, які містять рівно aa чорних одиничних квадратиків. Тоді найбільше можливе значення, якого може набувати KK, дорівнює a(n+1−a)a(n+1-a). Тут під твердженням «Твердження справджується для достатньо великих nn» ми розуміємо, що існує натуральне число NN, для якого твердження справджується для всіх n≥Nn \ge N.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2015-001

Функціональне рівняння з високими степенями

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} f(x2015+f(y)2015)=f(x)2015+y2015.f(x^{2015} + f(y)^{2015}) = f(x)^{2015} + y^{2015}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.