Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2015-002

Центри описаних кіл у конфігурації з вписаним колом

Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, вписане коло якого дотикається до сторін BCBC, ACAC, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Припустимо, що описане коло трикутника ABCABC перетинає пряму EFEF у точках PP і QQ. Якщо O1O_1 і O2O_2 — центри описаних кіл трикутників IABIAB і IACIAC відповідно, доведіть, що центр описаного кола трикутника DPQDPQ лежить на прямій O1O2O_1O_2.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2015-003

Цілочисельність добутку рекурентних послідовностей

Для заданого натурального числа kk визначимо дві послідовності {an}\{a_n\} і {bn}\{b_n\} так: a1=k,a2=k,an+2=anan+1(n≥1)b1=1,b2=k,bn+2=bn+13+1bn(n≥1)\begin{aligned} a_1 &= k, & a_2 &= k, & a_{n+2} &= a_n a_{n+1} \quad (n \ge 1) \\ b_1 &= 1, & b_2 &= k, & b_{n+2} &= \frac{b_{n+1}^3 + 1}{b_n} \quad (n \ge 1) \end{aligned} Для будь-якого натурального числа nn доведіть, що a2nbn+3a_{2n}b_{n+3} — ціле число.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-021

Діофантове рівняння четвертого степеня

Знайдіть усі трійки цілих чисел (a,b,c)(a, b, c) такі, що a≠0a \neq 0 і 2a4+2a2b2+b4=c22 a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4} = c^{2}
8–10 класиМетод нескінченного спуску
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-094

Розбиття прямокутника монотонним шляхом

У Семмі є дерев'яна дошка у формі прямокутника з довжиною 220142^{2014} і висотою 320143^{2014}. Дошку поділено на сітку одиничних квадратиків. Терміт стартує або з лівого, або з нижнього краю прямокутника, і йде вздовж ліній сітки, рухаючись або праворуч, або вгору, доки не досягне краю, протилежного тому, з якого він стартував. Нижче зображено два можливі шляхи терміта. Шлях терміта розбиває дошку на дві частини. Семмі здивований тим, що він усе ще може скласти ці шматки так, щоб утворився новий прямокутник, не рівний вихідному прямокутнику. Цей прямокутник має периметр PP. Скільки існує можливих значень PP?
10–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-116

Рекурентне співвідношення для підрахунку дільників

Для цілого nn нехай f9(n)f_{9}(n) позначає кількість додатних цілих чисел d≤9d \leq 9, які ділять nn. Припустимо, що mm — натуральне число, а b1,b2,…,bmb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m} — дійсні числа такі, що f9(n)=∑j=1mbjf9(n−j)f_{9}(n)=\sum_{j=1}^{m} b_{j} f_{9}(n-j) для всіх n>mn>m. Знайдіть найменше можливе значення mm.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-069

Стрибки жаби повз випадкових змій

Розглянемо числову пряму, на кожній цілій точці якої розташоване латаття. Жаба стоїть на лататті в точці 00 і хоче дістатися до латаття в точці 20142014. Якщо жаба стоїть у точці nn, вона може безпосередньо стрибнути або в точку n+2n+2, або в точку n+3n+3. Кожен з листків латаття в точках 1,⋯ ,20131, \cdots, 2013 незалежно з імовірністю 1/21 / 2 містить змію. Нехай pp — імовірність того, що жаба зможе деякою послідовністю стрибків дістатися до латаття в точці 20142014, жодного разу не приземлившись на латаття зі змією. Чому дорівнює p1/2014p^{1 / 2014}? Відповідь запишіть десятковим числом. Якщо CC — справжня відповідь на це запитання, а AA — ваша відповідь, то ваш бал за цю задачу становить ⌈max⁡{25(1−20∣C−A∣),0}⌉\lceil\max \{25(1-20|C-A|), 0\}\rceil.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-071

Зв’язні графи на колі з десятьма точками

Десять точок рівномірно розміщено на колі. Граф — це множина відрізків (можливо, порожня), проведених між парами точок, так, що будь-які дві точки з’єднано або жодним, або одним відрізком. Два графи вважаються однаковими, якщо один можна отримати з іншого перестановкою точок. Нехай NN позначає кількість графів з властивістю, що для будь-яких двох точок існує шлях від однієї до іншої серед відрізків графа. Оцініть значення NN. Якщо ваша відповідь — натуральне число AA, ваш результат за цю задачу дорівнюватиме більшому з 0 і ⌊20−5∣ln⁡(A/N)∣⌋\lfloor 20-5|\ln (A / N)|\rfloor. Інакше ваш результат дорівнюватиме нулю.
10–11 класиЗв’язність
Відбіркові тести на IMOTST-2014-038

Змушені члени послідовності з цілими частинами

Скінченну послідовність цілих чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n називають регулярною, якщо існує дійсне число xx, яке задовольняє ⌊kx⌋=akдля 1≤k≤n.\lfloor kx \rfloor = a_k \quad \text{для } 1 \le k \le n. Для регулярної послідовності a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n, при 1≤k≤n1 \le k \le n кажемо, що член aka_k є змушеним, якщо виконано таку умову: послідовність a1,a2,…,ak−1,ba_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b є регулярною тоді й лише тоді, коли b=akb = a_k. Знайдіть найбільшу можливу кількість змушених членів у регулярній послідовності з 1000 членів.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Відбіркові тести на IMOTST-2014-009

Послідовність, усі середні якої — точні квадрати

Нехай a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots — послідовність цілих чисел із властивістю, що середнє арифметичне будь-якої групи послідовних aia_i є точним квадратом. Точніше, для будь-яких натуральних чисел nn і kk величина an+an+1+⋯+an+k−1k\frac{a_n + a_{n+1} + \dots + a_{n+k-1}}{k} завжди є квадратом цілого числа. Доведіть, що послідовність обов'язково є сталою (усі aia_i дорівнюють одному й тому ж точному квадрату).
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-039

Замкнений шлях лазера в розфарбованій сітці

Розіб'ємо площину на нескінченну квадратну сітку, провівши всі прямі x=mx = m і y=ny = n, де mm і nn — цілі числа. Далі, якщо верхній правий кут клітинки має обидві парні координати, зафарбуємо її у чорний колір; інакше — у білий (таким чином, рівно 1/41/4 клітинок є чорними, і жодні дві чорні клітинки не є сусідніми). Нехай rr і ss — непарні цілі числа, а (x,y)(x, y) — точка всередині довільної білої клітинки, така, що rx−syrx - sy ірраціональне. Випустимо з цієї точки лазер з нахилом r/sr/s; лазери проходять крізь білі клітинки і відбиваються від чорних. Доведіть, що траєкторія цього лазера утворить замкнений цикл.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2014-027

Конкурентні чевіани з кутовою умовою

Нехай ABCABC — трикутник, у якому α=∠BAC\alpha = \angle BAC — строго найменший кут, а PP — точка на стороні BCBC. Далі нехай DD — точка на прямій ABAB, така, що BB лежить між AA і DD та виконується ∠BPD=α\angle BPD = \alpha, а EE — точка на прямій ACAC, така, що CC лежить між AA і EE та виконується ∠EPC=α\angle EPC = \alpha. Доведіть, що прямі APAP, BEBE і CDCD перетинаються в одній точці тоді й лише тоді, коли прямі APAP і BCBC перпендикулярні.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2014-031

Цілі середні двох різних натуральних чисел

Доведіть, що не існує двох різних натуральних чисел, для яких середнє гармонічне, середнє геометричне, середнє арифметичне та середнє квадратичне були б усі натуральними числами.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Відбіркові тести на IMOTST-2014-040

Функціональне рівняння з ітераціями на добутку abc

Нехай N\mathbb{N} — множина натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, які задовольняють рівняння fabc−a(abc)+fabc−b(abc)+fabc−c(abc)=a+b+cf^{abc-a}(abc) + f^{abc-b}(abc) + f^{abc-c}(abc) = a + b + c для всіх a,b,c≥2a, b, c \ge 2. (Тут f1(n)=f(n)f^1(n) = f(n) і fk(n)=f(fk−1(n))f^k(n) = f(f^{k-1}(n)) для кожного цілого kk, більшого за 1.)
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Відбіркові тести на IMOTST-2014-032

Велика вільна від сум підгрупа в ℤ/pℤ

Для простого числа pp підмножину SS лишків за модулем pp називають вільною від сум мультиплікативною підгрупою Fp\mathbb{F}_p, якщо: існує ненульовий лишок α\alpha за модулем pp такий, що S={1,α1,α2,… }S = \{1, \alpha^1, \alpha^2, \dots\} (усе розглядається за модулем pp), і немає таких a,b,c∈Sa, b, c \in S (не обов'язково різних), що a+b≡c(modp)a + b \equiv c \pmod p. Доведіть, що для кожного цілого числа NN існують такі просте число pp і вільна від сум мультиплікативна підгрупа SS у Fp\mathbb{F}_p, що ∣S∣≥N|S| \ge N.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Відбіркові тести на IMOTST-2014-034

Шляхи без перетинів у множині точок

Нехай nn — натуральне число, а A={P1,P2,…,Pn}A=\{P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}\} — множина з nn точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Шлях через множину AA складається з n−1n-1 відрізків Pσ(i)Pσ(i+1)P_{\sigma(i)} P_{\sigma(i+1)} для i=1,…,n−1i=1, \ldots, n-1, де σ\sigma — перестановка множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}, така, що жодні два відрізки не перетинаються. Доведіть, що кількість різних шляхів через множину AA є мінімальною тоді й лише тоді, коли точки з AA утворюють опуклий nn-кутник.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбіркові тести на IMOTST-2014-043

Раціональні косинуси та множини, інваріантні відносно повороту

Нехай rr — раціональне число з проміжку [−1,1][-1, 1], і нехай θ=cos⁡−1r\theta = \cos^{-1} r. Підмножину SS площини назвемо доброю, якщо SS не змінюється при повороті на кут θ\theta навколо довільної точки з SS (як за годинниковою стрілкою, так і проти неї). Знайдіть усі значення rr, що мають таку властивість: середина будь-яких двох точок доброї множини також належить цій множині.
10–11 класиКомплексні числа
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-010

Нулі у цілій частині частки

Нехай mm — натуральне число із 10001000 цифр, усі цифри якого ненульові. Для натурального числа nn розглянемо ⌊mn⌋\left\lfloor \frac{m}{n} \right\rfloor, де для будь-якого дійсного числа rr через ⌊r⌋\lfloor r \rfloor позначаємо найбільше ціле число, що не перевищує rr. Знайдіть найбільшу можливу кількість цифр, які дорівнюють 00, у числі ⌊mn⌋\left\lfloor \frac{m}{n} \right\rfloor, де 1≤n≤m1 \le n \le m.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-002

Вписаність і серединний перпендикуляр у трикутнику

Дано трикутник ABCABC, у якого AC=BC>ABAC = BC > AB. Нехай EE і FF — середини сторін ACAC і ABAB відповідно. Серединний перпендикуляр ℓ\ell до сторони ACAC перетинає ABAB у точці KK, а пряма, паралельна до KCKC, що проходить через точку BB, перетинає ACAC у точці LL. Для точки PP на відрізку BFBF нехай HH — ортоцентр трикутника ACPACP. Відрізки BHBH і CPCP перетинаються в точці JJ, а прямі FJFJ і ℓ\ell перетинаються в точці MM. Нехай WW — точка перетину прямих FLFL і ℓ\ell. Доведіть, що AW=PWAW = PW тоді й лише тоді, коли точки B,E,F,MB, E, F, M лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-003

Перестановки, що переживають чотири видалення нерухомих точок

nn учнів з різними іменами стають у коло обличчям до центра кола. Спочатку nn бейджів з іменами учнів роздають їм навмання. Учні повторюють такий процес: [процес] Кожен учень, що має бейдж зі своїм іменем, виходить з кола, а решта учнів передають свої бейджі праворуч. Знайдіть кількість початкових роздач бейджів, за яких після 4 процесів ще залишаться деякі учні.
10–11 класиПерестановки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-005

Нижня оцінка для ґратки без взаємно простих пар

Доведіть, що існує стала c>0c > 0 з такою властивістю: якщо a,b,na, b, n — натуральні числа такі, що НСД(a+i,b+j)>1\text{НСД}(a + i, b + j) > 1 для всіх i,j∈{0,1,…,n}i, j \in \{0, 1, \dots, n\}, то min⁡{a,b}>cn⋅nn2.\min\{a, b\} > c^n \cdot n^{\frac{n}{2}}.
10–11 класиЧислові нерівності
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-057

Мінімальна кількість павуків для ловлі мухи на решітці

На площині розглянемо множину SS точок із координатами (x,y)(x, y), де x,y∈{1,2,…,2013}x, y \in \{1,2, \ldots, 2013\}. Дві точки з множини SS називаються сусідніми, якщо відстань між ними дорівнює 11. Щосекунди муха і павуки переміщуються по точках множини SS у такий спосіб: спочатку муха або не рухається, або переходить у точку, сусідню з тією, в якій вона перебуває. Потім кожен павук або не рухається, або переходить у точку, сусідню з тією, в якій він перебуває. Кілька павуків можуть одночасно перебувати в одній точці, а муха й павуки знають відповідні положення одне одного. а) Знайти найменше ціле число kk, для якого kk павуків завжди зможуть зрештою впіймати муху за скінченний час, незалежно від початкових положень мухи й павуків у точках множини SS. б) Дати відповідь на те саме запитання, якщо цього разу ми перебуваємо у звичайному просторі і SS — множина точок із координатами (x,y,z)(x, y, z), де x,y,z∈{1,2,…,2013}x, y, z \in \{1,2, \ldots, 2013\}.
9–11 класиНапівінваріанти
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-007

Екстремальні значення вкладеного мін-максу

Нехай n>0n>0 — натуральне число, а x1,⋯ ,xnx_{1}, \cdots, x_{n} — додатні дійсні числа. Доведіть, що: max⁡x1>0,⋯ ,xn>0min⁡(x1,1x1+x2,⋯ ,1xn−1+xn,1xn)=min⁡x1>0,⋯ ,xn>0max⁡(x1,1x1+x2,⋯ ,1xn−1+xn,1xn)=2cos⁡(πn+2).\begin{gathered} \max _{x_{1}>0, \cdots, x_{n}>0} \min \left(x_{1}, \frac{1}{x_{1}}+x_{2}, \cdots, \frac{1}{x_{n-1}}+x_{n}, \frac{1}{x_{n}}\right)= \\ \min _{x_{1}>0, \cdots, x_{n}>0} \max \left(x_{1}, \frac{1}{x_{1}}+x_{2}, \cdots, \frac{1}{x_{n-1}}+x_{n}, \frac{1}{x_{n}}\right)=2 \cos \left(\frac{\pi}{n+2}\right) . \end{gathered}
8–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-034

Прямі через вершини до других перетинів дотичних кіл

Позначимо через II центр вписаного кола γ\gamma трикутника ABCABC і через OO центр його описаного кола. Нехай ωA\omega_{A} — коло, яке проходить через BB і CC і дотикається до кола γ\gamma. Кола ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C} визначаються аналогічно. Позначимо через A′A' другу спільну точку кіл ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C}. Точки B′B' і C′C' визначаються аналогічно. Доведіть, що прямі (AA′),(BB′)\left(AA'\right), \left(BB'\right) і (CC′)\left(CC'\right) перетинаються в одній точці KK, яка лежить на одній прямій з OO і II.
9–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-005

Нерівність опуклості для площі многокутника

а. Нехай XX — скінченна множина точок на площині, а fX(n)f_{X}(n) — найбільша можлива площа многокутника з не більше ніж nn вершинами, усі з яких є точками множини XX. Доведіть, що якщо m,nm, n — цілі числа, для яких m≥n>2m \geq n > 2, то fX(m)+fX(n)≥fX(m+1)+fX(n−1)f_{X}(m) + f_{X}(n) \geq f_{X}(m+1) + f_{X}(n-1). б. Нехай P0P_{0} — прямокутник 1 на 2 (разом із внутрішністю), а многокутник PiP_{i} індуктивно означається як результат згинання Pi−1P_{i-1} по деякій прямій, що розрізає Pi−1P_{i-1} на дві зв’язні частини. Діаметром многокутника PiP_{i} називається найбільша відстань між двома точками PiP_{i}. Знайдіть найменший можливий діаметр многокутника P2013P_{2013}. (Іншими словами, для даного многокутника Pi−1P_{i-1} згин Pi−1P_{i-1} складається з прямої ll, яка ділить Pi−1P_{i-1} на дві зв’язні частини AA і BB, а згорнутий многокутник має вигляд Pi=A∪BlP_{i} = A \cup B_{l}, де BlB_{l} — образ BB при симетрії відносно прямої ll.)
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-067

Випадкові блукання суміжних блоків камінців

Для парного натурального числа nn Кевін має стрічку довжини 4n4n з позначками −2n,−2n+1,…,2n−1,2n-2n, -2n+1, \ldots, 2n-1, 2n. Далі він навмання вибирає nn точок із множини −n,−n+1,−n+2,…,n−1,n-n, -n+1, -n+2, \ldots, n-1, n і кладе по камінцю на кожну з цих точок. Камінець називаємо «застряглим», якщо він стоїть на 2n2n або −2n-2n, або всі точки праворуч від нього, або всі точки ліворуч від нього містять камінці. Потім щохвилини Кевін зсуває незастряглі камінці в такий спосіб: - Він навмання рівномірно вибирає незастряглий камінець і підкидає чесну монету. - Якщо випав герб, він пересуває цей камінець і кожен камінець із найбільшої суцільної множини, що містить цей камінець, на одну точку ліворуч. Якщо випала решка, він замість цього пересуває кожен камінець із цієї множини на одну точку праворуч. - Він повторює, доки всі камінці не застрягнуть. Нехай pkp_{k} — ймовірність того, що наприкінці процесу рівно kk камінців опиняться у правій половині. Обчисліть pn−1−pn−2+pn−3−…+p3−p2+p1pn−1+pn−2+pn−3+…+p3+p2+p1\frac{p_{n-1}-p_{n-2}+p_{n-3}-\ldots+p_{3}-p_{2}+p_{1}}{p_{n-1}+p_{n-2}+p_{n-3}+\ldots+p_{3}+p_{2}+p_{1}} через nn.
10–11 класиПідрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.