Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-145

Вписане коло та коло AEF у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, а EE і FF — основи висот з BB і CC відповідно. Якщо кут AA не прямий, доведіть, що центр описаного кола трикутника AEFAEF лежить на вписаному колі трикутника ABCABC тоді й лише тоді, коли інцентр трикутника ABCABC лежить на описаному колі трикутника AEFAEF.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-003

Існування та єдиність k-зображення числа

Для заданого натурального числа nn послідовність цілих чисел a1,a2,…,ara_{1}, a_{2}, \ldots, a_{r}, де 0≤ai≤k0 \leq a_{i} \leq k для всіх 1≤i≤r1 \leq i \leq r, називається «kk-зображенням» числа nn, якщо існує ціле число cc таке, що ∑i=1rai=∑i=1raikc−i=n.\sum_{i=1}^{r} a_{i} = \sum_{i=1}^{r} a_{i} k^{c-i} = n. Доведіть, що кожне натуральне число nn має kk-зображення і що kk-зображення єдине тоді й лише тоді, коли 0 не зустрічається в записі числа n−1n-1 за основою kk.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-004

Мінімальні покривальні підмножини в групі перестановок

Позначимо {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} через [n][n], а через SS — множину всіх перестановок [n][n]. Назвемо підмножину TT множини SS хорошою, якщо кожну перестановку σ\sigma з SS можна записати у вигляді t1t2t_{1} t_{2} для елементів t1t_{1} і t2t_{2} з TT, де добуток двох перестановок визначено як їх композицію. Назвемо підмножину UU множини SS надзвичайно хорошою, якщо кожну перестановку σ\sigma з SS можна записати у вигляді s−1uss^{-1} u s для елементів ss з SS і uu з UU. Нехай τ\tau — найменше значення ∣T∣/∣S∣|T| /|S| серед усіх хороших підмножин TT, а vv — найменше значення ∣U∣/∣S∣|U| /|S| серед усіх надзвичайно хороших підмножин UU. Доведіть, що v≥τ\sqrt{v} \geq \tau.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-140

Квадратична рекурента з умовами монотонності

Нехай f(x)=x2−r2x+r3f(x) = x^{2} - r_{2} x + r_{3} для всіх дійсних чисел xx, де r2r_{2} і r3r_{3} — деякі дійсні числа. Визначимо послідовність {gn}\{g_{n}\} для всіх невід'ємних цілих чисел nn рівностями g0=0g_{0} = 0 і gn+1=f(gn)g_{n+1} = f(g_{n}). Припустимо, що {gn}\{g_{n}\} задовольняє такі три умови: (i) g2i<g2i+1g_{2i} < g_{2i+1} і g2i+1>g2i+2g_{2i+1} > g_{2i+2} для всіх 0≤i≤20110 \leq i \leq 2011; (ii) існує натуральне число jj таке, що gi+1>gig_{i+1} > g_{i} для всіх i>ji > j; (iii) {gn}\{g_{n}\} необмежена. Якщо AA — найбільше число таке, що A≤∣r2∣A \leq |r_{2}| для будь-якої функції ff, яка задовольняє ці властивості, знайдіть AA.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-122

Трикутник ASR, спільна дотична двох кіл та середини дуг

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, які перетинаються в точках AA і BB. Нехай пряма ll дотикається до кола ω1\omega_{1} в точці PP і до кола ω2\omega_{2} в точці QQ так, що AA ближча до прямої PQPQ, ніж BB. Нехай точки RR і SS лежать на променях PAPA і QAQA відповідно так, що PQ=AR=ASPQ = AR = AS, причому RR і SS лежать з протилежного боку від AA, ніж PP і QQ. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ASRASR, а CC і DD — середини великих дуг APAP і AQAQ відповідно. Якщо ∠APQ\angle APQ дорівнює 4545 градусів, а ∠AQP\angle AQP — 3030 градусів, визначте ∠COD\angle COD у градусах.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-071

Незалежні множини в регулярному графі

Незалежною множиною графа GG називається множина вершин графа GG, у якій жодні дві вершини не з’єднані ребром. Якщо GG має 20002000 вершин, а кожна вершина має степінь 1010, знайдіть найбільшу можливу кількість незалежних множин, яку може мати GG.
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-072

Допустимі впорядкування пар з п'яти елементів

Впорядкуванням множини з nn елементів називається бієктивне відображення між цією множиною та {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}. Впорядкування ρ\rho 10 невпорядкованих пар різних цілих чисел із множини {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} називається допустимим, якщо для будь-яких 1≤a<b<c≤51 \leq a<b<c \leq 5 виконується або p({a,b})<p({a,c})<p({b,c})p(\{a, b\})<p(\{a, c\})<p(\{b, c\}), або p({b,c})<p({a,c})<p({a,b})p(\{b, c\})<p(\{a, c\})<p(\{a, b\}). Знайдіть загальну кількість допустимих впорядкувань.
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-011

Доміно-замощення з рухливою діркою на непарній дошці

Розглянемо дошку з непарними довжинами сторін, розбиту на одиничні квадрати. Дошку без одного кутового поля довільно покрито доміно. За один хід можна зсунути одне доміно в поздовжньому напрямі на одне поле так, щоб попередньо порожнє поле виявилося накритим, а натомість звільнилося нове (на два поля далі). Доведіть, що порожнє поле послідовністю ходів можна перемістити в довільний кут дошки.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-022

Сума членів рекурентної послідовності до 2ⁿ − 1

Нехай cnc_n — послідовність, задана рекурентно так: c0=1c_0 = 1, c2n+1=cnc_{2n+1} = c_n при n≥0n \ge 0, і c2n=cn+cn−2ec_{2n} = c_n + c_{n-2^e} при n>0n > 0, де ee — найбільше невід'ємне ціле число таке, що 2e2^e ділить nn. Доведіть, що ∑i=02n−1ci=1n+2(2n+2n+1).\sum_{i=0}^{2^n-1} c_i = \frac{1}{n+2} \binom{2n+2}{n+1}.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2011-030

Конкурентність прямих і спільний інцентр у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник, вписаний у коло Ω\Omega. Коло ω\omega з центром OO проходить через BB і CC та перетинає сторони ABAB і ACAC в точках EE і DD відповідно. Точка PP лежить на більшій дузі BAC^\widehat{BAC} кола Ω\Omega. Доведіть, що прямі BDBD, CECE, OPOP перетинаються в одній точці тоді й лише тоді, коли трикутники PBDPBD і PCEPCE мають спільний інцентр.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-034

Чи існують дві різні множини з близькими сумами степенів

Визначте, чи існують дві різні множини AA, BB, кожна з яких складається щонайбільше з 201122011^2 натуральних чисел, такі, що кожне xx з 0<x<10 < x < 1 задовольняє таку нерівність: ∣∑a∈Axa−∑b∈Bxb∣<(1−x)2011.\left| \sum_{a \in A} x^a - \sum_{b \in B} x^b \right| < (1-x)^{2011}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2011-005

Рівняння з натуральними числами x, y, z

Доведіть, що не існує натуральних чисел x,y,zx, y, z таких, що x2y4−x4y2+4x2y2z2+x2z4−y2z4=0.x^2 y^4 - x^4 y^2 + 4x^2 y^2 z^2 + x^2 z^4 - y^2 z^4 = 0.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2011-004

Максимум поличок на цілочисельній дошці

Дано прямокутну дошку m×nm \times n з mm клітинками в кожному рядку та nn клітинками в кожному стовпці. У кожну клітинку запишемо ціле число. Прямокутник RR, що складається з однієї або кількох клітинок, називається поличкою, якщо існує ціле число hh, яке задовольняє такі дві умови: 1. Число в кожній клітинці прямокутника RR більше за hh. 2. Число в клітинці поза прямокутником RR, яка має спільну сторону або вершину з RR, не перевищує hh. (Припускаємо, що поличка RR містить усі внутрішні клітинки прямокутника.) Яка кількість поличок, якщо ми розставимо цілі числа так, щоб максимізувати кількість поличок?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-006

Обмеження циклічного добутку різниць

Нехай a1,a2,…,a2011a_1, a_2, \dots, a_{2011} — невід’ємні дійсні числа із сумою 20112\frac{2011}{2}. Доведіть, що ∣∏cyc(an−an+1)∣=∣(a1−a2)(a2−a3)…(a2011−a1)∣≤3316.\left| \prod_{cyc} (a_n - a_{n+1}) \right| = \left| (a_1 - a_2)(a_2 - a_3) \dots (a_{2011} - a_1) \right| \le \frac{3\sqrt{3}}{16}.
10–11 класиНерівність Коші
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-002

Конкурентність діагоналей неопуклого шестикутника

У шестикутнику ABCDEFABCDEF, який є неопуклим, але без самоперетинів, жодна пара протилежних сторін не паралельна. Внутрішні кути задовольняють ∠A=3∠D\angle A = 3\angle D, ∠C=3∠F\angle C = 3\angle F і ∠E=3∠B\angle E = 3\angle B. Крім того, AB=DEAB = DE, BC=EFBC = EF і CD=FACD = FA. Доведіть, що діагоналі AD‾\overline{AD}, BE‾\overline{BE} і CF‾\overline{CF} перетинаються в одній точці.
10–11 класиСиметрія
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-005

Підмножини з фіксованими перетинами

Нехай AA — множина з ∣A∣=225|A| = 225, тобто AA має 225225 елементів. Припустимо далі, що існує одинадцять підмножин A1,…,A11A_1, \dots, A_{11} множини AA таких, що ∣Ai∣=45|A_i| = 45 для 1≤i≤111 \le i \le 11 і ∣Ai∩Aj∣=9|A_i \cap A_j| = 9 для 1≤i<j≤111 \le i < j \le 11. Доведіть, що ∣A1∪A2∪⋯∪A11∣≥165|A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_{11}| \ge 165, і наведіть приклад, для якого досягається рівність.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-100

Розбиття цифр на частини з рівними сумами

Назвемо 2n2n-значне десяткове число особливим, якщо його цифри можна розбити на дві множини розміру nn так, щоб суми чисел у цих двох множинах були однаковими. Нехай pnp_{n} — ймовірність того, що навмання вибране 2n2n-значне число є особливим. (У 2n2n-значних числах дозволено нулі на початку запису). a. Послідовність pnp_{n} збігається до сталої cc. Знайдіть cc. b. Нехай qn=pn−cq_{n} = p_{n} - c. Існує єдина додатна стала rr така, що qnrn\frac{q_{n}}{r^{n}} збігається до сталої dd. Знайдіть rr і dd.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-135

Кубічні многочлени з симетрією композиції

Нехай p(x)p(x) і q(x)q(x) — два кубічні многочлени такі, що p(0)=−24p(0) = -24, q(0)=30q(0) = 30, і p(q(x))=q(p(x))p(q(x)) = q(p(x)) для всіх дійсних чисел xx. Знайдіть впорядковану пару (p(3),q(6))(p(3), q(6)).
10–11 класиОборотні функції
Відбіркові тести на IMOTST-2010-018

Рекурентна послідовність із конгруенцією за модулем

Послідовність a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots визначено умовами a1=1a_1 = 1 та an=a⌊n/2⌋+a⌊n/3⌋+⋯+a⌊n/n⌋+1a_n = a_{\lfloor n/2 \rfloor} + a_{\lfloor n/3 \rfloor} + \dots + a_{\lfloor n/n \rfloor} + 1 для n>1n > 1. Доведіть, що існує нескінченно багато таких nn, що an≡n(mod22010).a_n \equiv n \pmod{2^{2010}}.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбіркові тести на IMOTST-2010-027

Біноміальний коефіцієнт за модулем простого числа

Визначте, чи існує натуральне число kk, для якого p=6k+1p = 6k + 1 є простим і (3kk)≡1(modp).\binom{3k}{k} \equiv 1 \pmod{p}.
10–11 класиПервісні корені
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2010-015

Максимум самоперетинів замкненої ламаної у многокутнику

Припустімо, що для опуклого 2010-кутника жодні 3 діагоналі не мають спільної точки, крім вершин. Розглянемо замкнену зиґзаґ-ламану (скор. З.З.Л.С.), яка проходить через кожну з вершин 2010-кутника рівно один раз. Визначте найбільшу можливу кількість точок самоперетину такої замкненої З.З.Л.С. Тут під замкненою З.З.Л.С. ми розуміємо послідовні відрізки P1P2…PnPn+1P_1P_2\ldots P_nP_{n+1}, для яких виконується P1=Pn+1P_1 = P_{n+1}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2010-010

Мінімально сильно зв'язний орграф на 2010 вершинах

Припустімо, що є 20102010 аеропортів. Кожен аеропорт має деяку кількість прямих рейсів до деяких інших аеропортів, причому відомо, що виконуються такі умови (1), (2): (1) Для будь-якої пари аеропортів, скажімо AA і BB, можна дістатися з AA до BB, користуючись кількома прямими рейсами з пересадками. (2) Якщо скасувати будь-який один із прямих рейсів, що зараз виконуються, то умова (1) більше не буде виконуватися. Одного дня один із прямих рейсів, що виконуються, скасовують. Скількома способами можна відкрити новий прямий рейс (який може збігатися зі скасованим), щоб забезпечити виконання обох умов (1) і (2) вище? Зауважимо, що навіть коли є прямий рейс з аеропорту XX до аеропорту YY, то не обов'язково є прямий рейс з YY до XX.
10–11 класиОрієнтовані графи
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-005

Циклічний чотирикутник із центрів трикутника

Нехай II, OO, HH — відповідно інцентр, центр описаного кола й ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, а вписане коло трикутника △ABC\triangle ABC дотикається до сторони BCBC в точці DD. Припустимо, що ∠B<∠C\angle B < \angle C, а пряма AOAO паралельна прямій HDHD. Доведіть, що чотири точки EE, FF, II, OO лежать на одному колі, де EE — точка перетину прямих ODOD і AHAH, а FF — середина відрізка CICI.
10–11 класиПряма Ейлера
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-004

Гарні прості числа та подільність послідовності

Просте число pp називається гарним простим числом, якщо існує послідовність натуральних чисел (n1,n2,…,nk)(n_1, n_2, \dots, n_k), яка задовольняє наведені нижче умови для нескінченно багатьох натуральних чисел kk, але не існує такої послідовності для k=1k = 1. 1. Для i=1,2,…,ki = 1, 2, \dots, k, ni≥p+12n_i \ge \frac{p+1}{2}. 2. Для i=1,2,…,ki = 1, 2, \dots, k, pni−1p^{n_i} - 1 кратне ni+1n_{i+1}, а pni−1ni+1\frac{p^{n_i} - 1}{n_{i+1}} і ni+1n_{i+1} взаємно прості. Покладемо nk+1=n1n_{k+1} = n_1. Доведіть, що 22 не є гарним простим числом, але всі непарні прості числа є гарними.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-005

Степені трійки у вигляді подвоєного квадрата плюс один

Знайдіть усі натуральні числа a,ba, b такі, що 3a=2b2+1.3^a = 2b^2 + 1.
10–11 класиРівняння Пелля

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.