Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2010-006

Максимізація витертих пар з обмеженням на суму

На дошці записано 68 пар ненульових цілих чисел. Припустімо, що для кожного натурального числа kk на дошці записано щонайбільше одну з пар (k,k)(k, k) і (−k,−k)(-k, -k). Учень витирає деякі зі 136 чисел за умови, що жодні два витерті числа не дають у сумі 0. Після цього за кожну з 68 пар, у якій витерто принаймні одне число, учень отримує один бал. Визначте з доведенням найбільше число NN балів, які учень може гарантовано набрати незалежно від того, які 68 пар записано на дошці.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2009-005

Непарні числа зі взаємною подільністю

Знайдіть пару (m,n)(m, n) непарних натуральних чисел, для яких m,n>2009m, n>2009 і m∣n2+8,n∣m2+8m\mid n^{2}+8, \quad n\mid m^{2}+8
10–11 класиСтрибки Вієта
Відбіркові тести на IMOTST-2009-008

Найменший модуль різницевого відношення цілозначного многочлена

Для кожного натурального числа nn нехай c(n)c(n) — найбільше дійсне число, для якого виконується c(n)≤∣f(a)−f(b)a−b∣c(n) \leq \left| \frac{f(a) - f(b)}{a - b} \right| для всіх трійок (f,a,b)(f, a, b), що задовольняють умови: ff — многочлен степеня nn, який у цілих точках набуває цілих значень, та a,ba, b — цілі числа, причому f(a)≠f(b)f(a) \neq f(b). Знайдіть c(n)c(n).
10–11 класиІнтерполяційні многочлени
Відбіркові тести на IMOTST-2009-015

Подільність квадрата квадратного тричлена

Знайдіть усі пари натуральних чисел (m,n)(m, n) таких, що mn−1mn - 1 ділить (n2−n+1)2(n^2 - n + 1)^2.
10–11 класиСтрибки Вієта2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2009-017

Шаховий турнір з транзитивними ланцюжками

Нехай N>M>1N > M > 1 — фіксовані цілі числа. У шаховому турнірі грають NN гравців; кожна пара гравців зустрічається між собою рівно один раз, без нічиїх. Виявилось, що для кожної послідовності M+1M + 1 різних гравців P0,P1,…,PMP_0, P_1, \dots, P_M, у якій Pi−1P_{i-1} переміг PiP_i для кожного i=1,…,Mi = 1, \dots, M, гравець P0P_0 також переміг PMP_M. Доведіть, що гравців можна пронумерувати числами 1,2,…,N1, 2, \dots, N так, щоб щоразу, коли a≥b+M−1a \ge b + M - 1, гравець aa переміг гравця bb.
10–11 класиОрієнтовані графи2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2009-026

Забарвлені кола з умовою дотику

Розглянемо nn колінеарних точок P1,…,PnP_{1}, \ldots, P_{n} і всі кола з діаметром PiPjP_{i} P_{j} для 1≤i<j≤n1 \leq i<j \leq n. Кожне з цих кіл пофарбовано в один з kk кольорів. Таку множину пофарбованих кіл називають (n,k)(n, k)-плутаниною. Одноколірна вісімка — це два кола одного кольору, які дотикаються зовні. Доведіть, що кожна (n,k)(n, k)-плутанина містить одноколірну вісімку тоді й лише тоді, коли n>2kn>2^{k}.
10–11 класиКонструкція за індукцією2 розв’язки
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2009-002

Перевертання монет за правилом сусідства

На столі лежать 20092009 монет, кожна з яких має один бік білий, а другий — чорний. Спочатку всі монети вишикувані в ряд білими боками догори, крім однієї, що лежить чорним боком догори. На кожному кроці ми вибираємо монету, що лежить чорним боком догори, і перевертаємо дві сусідні монети. Якщо вибрано крайню монету, то перевертаємо лише одну сусідню монету. Знайдіть усі початкові положення чорної монети, з яких можна досягти стану, коли всі монети лежать чорними боками догори.
10–11 класиІнші інваріанти
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2009-003

Дотичне коло та паралельні прямі

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, у якому ∠B<∠C\angle B < \angle C. Нехай OO — коло, що дотикається до прямої ACAC у точці CC і проходить через точку BB. Прямі ABAB і COCO перетинають коло OO у точках D(≠B)D (\neq B) і P(≠C)P (\neq C) відповідно. Нехай EE — перетин прямої ACAC і прямої, що проходить через PP паралельно AOAO. Пряма EBEB і коло OO перетинаються в точці L(≠B)L (\neq B). Нехай FF — перетин серединного перпендикуляра до відрізка BDBD і прямої ACAC, а KK — перетин прямих LFLF і CDCD. Доведіть, що прямі EKEK і CLCL паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2009-004

Гра без повторних ребер на решітці

Двоє гравців грають у гру на решітці (m+1)(m+1) на mm, що має m+1m+1 горизонтальних прямих, mm вертикальних прямих, а отже, m(m+1)m(m+1) точок перетину. На одну з точок перетину кладуть камінчик. Гравці по черзі пересувають камінчик у сусідню точку вздовж ребра, але їм заборонено використовувати ребра, які вже були використані будь-ким із гравців. Гравець програє, якщо він більше не може пересунути камінчик. Доведіть, що перший гравець має виграшну стратегію, якщо камінчик спочатку стояв на точці нижньої горизонтальної прямої.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2009-005

Раціональні послідовності з цілими добутками різниць

Нехай s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots — нескінченна, нестала послідовність раціональних чисел, тобто не виконується s1=s2=s3=…s_1 = s_2 = s_3 = \dots. Припустимо, що t1,t2,t3,…t_1, t_2, t_3, \dots — також нескінченна, нестала послідовність раціональних чисел з властивістю, що (si−sj)(ti−tj)(s_i - s_j)(t_i - t_j) є цілим числом для всіх ii і jj. Доведіть, що існує раціональне число rr таке, що (si−sj)r(s_i - s_j)r і (ti−tj)/r(t_i - t_j)/r є цілими числами для всіх ii і jj.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбіркові тести на IMOTST-2008-001

Ваги монет із розбиттям після вилучення

Дано набір з nn монет із різними цілими вагами w1,w2,…,wnw_1, w_2, \dots, w_n. Відомо, що якщо з набору вилучити будь-яку монету ваги wkw_k, 1≤k≤n1 \le k \le n, то решту монет можна розбити на дві групи однакової ваги. (Кількість монет у двох групах може бути різною.) Знайдіть усі nn, для яких існує такий набір монет.
10–11 класиПарність та непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2008-008

Гармонійні пари точок з мангеттенською відстанню

Для пари точок A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) і B=(x2,y2)B = (x_2, y_2) на координатній площині покладемо d(A,B)=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣d(A, B) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|. Пару (A,B)(A, B) (невпорядкованих) точок називатимемо гармонійною, якщо 1<d(A,B)≤21 < d(A, B) \le 2. Визначте найбільшу кількість гармонійних пар серед 100 точок на площині.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Відбіркові тести на IMOTST-2008-017

Триангуляція правильного многокутника і нерівнобедрені трикутники

Правильний 2008-кутник довільним чином розбивають 2005 діагоналями, які не перетинаються, на самі трикутники. Знайдіть найменшу можливу кількість нерівнобедрених трикутників, які можуть траплятися в такому розбитті.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2008-016

Значення многочлена за модулем n

Нехай nn — натуральне число, яке не ділиться на куб жодного простого числа. Для многочлена f(x)f(x) з цілими коефіцієнтами визначимо його сигнатуру за модулем nn як (впорядковану) послідовність f(1),…,f(n)f(1), \dots, f(n) за модулем nn. Скільки з nnn^n таких nn-членних послідовностей цілих чисел за модулем nn є сигнатурами деякого многочлена f(x)f(x)?
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-005

Гра з розбиттям і прибиранням стовпчиків монет

Франческа та Джорджа грають у таку гру. На столі спочатку є кілька стовпчиків монет. Кожен стовпчик містить певну кількість монет, яка може відрізнятися від стовпчика до стовпчика. Почергово кожна гравчиня робить один і лише один із таких можливих ходів: - вибирає стовпчик, що містить парну ненульову кількість 2k2k монет, і замінює його двома стовпчиками, які містять по kk монет кожен; - прибирає зі столу всі стовпчики, що містять непарну кількість монет. У випадку, коли неможливо зробити хід першого типу, гравчиня обов'язково зробить хід другого типу, і навпаки. Починає Франческа. Перемагає та, хто забере зі столу останню монету. a. Якщо спочатку на столі є лише один стовпчик, який містить 200820082008^{2008} монет, яка гравчиня має виграшну стратегію? b. Для яких початкових конфігурацій Франческа має виграшну стратегію?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2008-006

Розбиття графа з парною кількістю друзів

На одній математичній конференції кожні двоє математиків є або друзями, або незнайомцями. Під час обіду кожен учасник їсть в одній із двох великих їдалень. Кожен математик наполягає на тому, щоб їсти в залі, яка містить парну кількість його друзів. Доведіть, що кількість способів, якими математиків можна розподілити між двома залами, є степенем двійки (тобто має вигляд 2k2^k для деякого натурального числа kk).
10–11 класиПарність і непарність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-034

Дотичні до вписаного кола і перетини кіл

Нехай ω\omega позначає вписане коло трикутника ABCABC. Відрізки BCBC, CACA і ABAB дотикаються до кола ω\omega у точках DD, EE і FF відповідно. Точка PP лежить на відрізку EFEF так, що відрізок PDPD перпендикулярний до сторони BCBC. Пряма APAP перетинає BCBC у точці QQ. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 проходять через BB і CC відповідно та дотикаються до прямої AQAQ у точці QQ; перше з них перетинає ABAB вдруге в точці XX, а друге перетинає ACAC вдруге в точці YY. Пряма XYXY перетинає BCBC у точці ZZ. Відомо, що AB=15AB=15, BC=14BC=14 і CA=13CA=13. Знайдіть ⌊XZ⋅YZ⌋\lfloor XZ \cdot YZ\rfloor.
10–11 класиТеорема Менелая
Відбіркові тести на IMOTST-2007-005

Показникове рівняння з сумою плюс один

Знайдіть усі четвірки натуральних чисел (m,n,p,qm, n, p, q) з властивістю pmqn=(p+q)2+1p^{m} q^{n} = (p+q)^{2} + 1
10–11 класиСтрибки Вієта2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-014

Повні послідовності остач за модулем 1024

Для многочлена P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами через r(2i−1)r(2i - 1) (де i=1,2,3,…,512i = 1, 2, 3, \dots, 512) позначимо остачу від ділення P(2i−1)P(2i - 1) на 10241024. Послідовність (r(1),r(3),…,r(1023))(r(1), r(3), \dots, r(1023)) називають послідовністю остач многочлена P(x)P(x). Послідовність остач називають повною, якщо вона є перестановкою набору (1,3,5,…,1023)(1, 3, 5, \dots, 1023). Доведіть, що різних повних послідовностей остач існує не більше ніж 2352^{35}.
10–11 класиМіркування за модулем
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-020

Ірраціональні числа з умовою включення множин цілих частин

Нехай [r][r] — найбільше ціле число, яке не перевищує дійсне число rr. Для додатних дійсних чисел xx множина A(x)A(x) визначається так: A(x)={[nx]∣n:натуральне число}.A(x) = \{[nx] \mid n: \text{натуральне число}\}. Знайдіть усі ірраціональні числа α>1\alpha > 1, що задовольняють таку умову. Умова: якщо додатне дійсне число β\beta задовольняє A(α)⊃A(β)A(\alpha) \supset A(\beta), то βα\frac{\beta}{\alpha} — ціле число.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-006

Прості множники числа 7^{7^n}+1

Доведіть, що для кожного невід'ємного цілого числа nn число 77n+17^{7^n} + 1 є добутком щонайменше 2n+32n+3 (не обов'язково різних) простих чисел.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-007

Центри дотичних кіл у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а ω,Ω\omega, \Omega та RR — відповідно його вписане коло, описане коло та радіус описаного кола. Коло ωA\omega_A дотикається внутрішньо до кола Ω\Omega у точці AA і дотикається зовнішньо до кола ω\omega. Коло ΩA\Omega_A дотикається внутрішньо до кола Ω\Omega у точці AA і дотикається внутрішньо до кола ω\omega. Нехай PAP_A і QAQ_A позначають центри кіл ωA\omega_A і ΩA\Omega_A відповідно. Аналогічно визначимо точки PB,QB,PC,QCP_B, Q_B, P_C, Q_C. Доведіть, що 8PAQA⋅PBQB⋅PCQC≤R3,8P_AQ_A \cdot P_BQ_B \cdot P_CQ_C \le R^3, причому рівність досягається тоді й лише тоді, коли трикутник ABCABC є рівностороннім.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-038

Точки без опуклого семикутника

На аркуші для відповідей чітко позначте принаймні сім точок так, щоб (i) жодні три не лежали на одній прямій; (ii) жодні сім не утворювали опуклий семикутник. Будь ласка, не закреслюйте жодних точок; стирайте, якщо можете зробити це акуратно. Якщо журі вирішить, що ваша робота надто неохайна, або якщо воно встановить, що ви порушили одну з цих умов, вашу роботу за цю задачу буде дискваліфіковано. Інакше ваш результат дорівнюватиме кількості позначених вами точок мінус 66, навіть якщо ви насправді порушили одну з умов, але змогли ввести журі в оману.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбіркові тести на IMOTST-2006-028

Функції з рівністю f(x)f(y) = 2f(x + yf(x))

Знайдіть з доведенням усі функції f:R+→R+f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+} з властивістю f(x)f(y)=2f(x+yf(x))f(x) f(y) = 2 f(x + y f(x)) для всіх додатних дійсних чисел x,yx, y.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Відбіркові тести на IMOTST-2006-027

Неперетинні чорні шляхи в розфарбованій сітці

Розглянемо m×nm \times n-прямокутник з mnm n одиничних квадратів. Два його одиничні квадрати називаються сусідніми, якщо вони мають спільну сторону, а шлях — це послідовність одиничних квадратів, у якій будь-які два послідовні елементи сусідні. Кожен одиничний квадрат прямокутника можна пофарбувати або в білий, або в чорний колір. Коли всі квадрати пофарбовано, маємо розфарбування прямокутника. Нехай NN — кількість усіх таких розфарбувань, за яких існує принаймні один чорний шлях від лівої до правої сторони прямокутника. Далі нехай MM — кількість усіх розфарбувань, за яких існують принаймні два чорні шляхи від лівої до правої сторони прямокутника, які не мають спільного квадрата. Доведіть, що N2≥M⋅2mnN^{2} \geq M \cdot 2^{m n}.
10–11 класиМетод математичної індукції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.