Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-035

Сто попарно різних чисел і подільність на суми пар

Чи існують попарно різні натуральні числа a1,a2,…,a100a_1, a_2, \ldots, a_{100}, які задовольняють такі умови: - число a1a2…a100a_1 a_2 \ldots a_{100} ділиться на суму ai+aja_i + a_j для всіх 1⩽i<j⩽1001 \leqslant i < j \leqslant 100; - для кожного k=1,100‾k = \overline{1, 100} знайдуться такі індекси ii, jj, що 1⩽i<j⩽1001 \leqslant i < j \leqslant 100, при цьому число a1a2…ak−1ak+1ak+2…a100a_1 a_2 \ldots a_{k-1} a_{k+1} a_{k+2} \ldots a_{100} не ділиться на суму ai+aja_i + a_j?
10 класФункція vₚ(n) та її властивості
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-047

Пряма H1H2 і точки перетину описаних кіл

Нехай трикутник APDAPD — гострокутний, на сторонах APAP та PDPD якого вибрано точки BB і CC відповідно. Діагоналі чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці QQ. Позначимо через H1H_1 та H2H_2 ортоцентри трикутників APDAPD і BPCBPC відповідно. Описані кола трикутників ABQABQ і CDQCDQ перетинаються вдруге в точці X≠QX \neq Q, а описані кола трикутників ADQADQ і BCQBCQ перетинаються вдруге в точці YY. Доведіть, що коли пряма H1H2H_1H_2 проходить через точку XX, то вона проходить і через точку YY.
11 класРадикальна вісь
Тематичні олімпіади з математикиTMO-20-21-068

Функції з добутком і подільністю суми значень

Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, які ∀m,n∈N\forall m, n \in \mathbb{N} задовольняють умови f(mn)=f(m)f(n)іm+n∣f(m)+f(n).f(mn) = f(m) f(n) \quad \text{і} \quad m + n \mid f(m) + f(n). Серед усіх таких функцій розгляньте ті, для яких f(2)f(2) — трицифрове число. У відповіді запишіть суму значень f(2)f(2) для всіх цих функцій.
10 класБазові підстановки (однакові аргу…
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-115

Нерівність для точки всередині опуклого чотирикутника

Усередині опуклого чотирикутника ABCDABCD знайшлася така точка MM, що ∠AMB=∠ADM+∠BCM\angle AMB = \angle ADM + \angle BCM та ∠AMD=∠ABM+∠DCM\angle AMD = \angle ABM + \angle DCM. Доведіть, що AM⋅CM+BM⋅DM⩾AB⋅BC⋅CD⋅DAAM \cdot CM + BM \cdot DM \geqslant \sqrt{AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA}.
11 класІнверсія
Тематичні олімпіади з математикиTMO-17-18-016

Паралелограм, точка на колі ABD і центр кола PCQ

У паралелограмі ABCDABCD точка PP — довільна точка описаного кола трикутника ABDABD, відмінна від вершин. Пряма PAPA перетинає пряму CDCD у точці QQ. Нехай точка OO — центр описаного кола трикутника PCQPCQ. Доведіть, що ∠ADO=90∘\angle ADO = 90^\circ.
9 класСиметрія
Тематичні олімпіади з математикиTMO-17-18-023

Прямокутний трикутник і дотична до описаного кола

На гіпотенузі ABAB прямокутного трикутника ABCABC позначили точку KK так, що BK=BCBK = BC. Точка PP на перпендикулярі, проведеному з точки KK до прямої CKCK, рівновіддалена від точок KK і BB, точка LL — середина відрізка CKCK. Доведіть, що пряма APAP дотикається до описаного кола трикутника BLPBLP.
10 класПоворотна гомотетія
Тематичні олімпіади з математикиTMO-17-18-024

Перетин середньої лінії з описаним колом і точки дотику

У прямокутному трикутнику ABCABC із гіпотенузою ABAB вписане коло дотикається до катетів BCBC і ACAC у точках A1A_1 і B1B_1 відповідно. Пряма, що містить середню лінію трикутника ABCABC, паралельну гіпотенузі ABAB, перетинає його описане коло в точках PP і TT. Доведіть, що точки P,T,A1,B1P, T, A_1, B_1 лежать на одному колі.
10 класСтепінь точки відносно кола
Тематичні олімпіади з математикиTMO-17-18-031

Симедіана трикутника AFE і дотик описаних кіл

Нехай ADAD — внутрішня бісектриса трикутника ABCABC. Перпендикуляр, проведений до сторони BCBC із точки DD, перетинає зовнішню бісектрису кута CABCAB у точці II. Коло із центром II та радіусом IDID перетинає сторони ABAB і ACAC у точках FF і EE відповідно. Симедіана трикутника AFEAFE, проведена з вершини AA, перетинає описане коло трикутника AFEAFE вдруге в точці XX. Доведіть, що описані кола трикутників AFEAFE та BXCBXC дотикаються.
11 класРадикальна вісь
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2006-013

Функціональне рівняння для всіх дійсних x, y і z

Знайдіть усі такі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що для всіх дійсних xx, yy і zz справджується рівність f(x2+yf(z)+f(x))=xf(x)+zf(y)+xf\left(x^2 + yf(z) + f(x)\right) = xf(x) + zf(y) + x.
Базові підстановки (однакові аргу…
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2003-020

Хорди з рівними кутами та дотична до кола

Нехай ACAC — відмінна від діаметра хорда кола ω\omega, а точка KK — її середина. Хорда BDBD (точка BB лежить на меншій дузі, що стягується хордою ACAC) перетинає хорду ACAC так, що ∠ABD=∠KBC\angle ABD = \angle KBC. Промінь DBDB перетинає серединний перпендикуляр ℓ\ell до хорди ACAC в точці QQ, котра лежить зовні кола. Доведіть, що пряма AQAQ є дотичною до кола ω\omega.
Степінь точки відносно кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-004

Пари лицарів-друзів за круглим столом і обміни

Задане натуральне число nn. Є 2n2n лицарів, що сидять за круглим столом. Вони складаються з nn пар друзів, кожна пара з яких бажає потиснути руку один одному. Пара може потиснути руки один одному лише, якщо вони сидять поруч за столом. Кожної хвилини два лицарі, що сидять поруч, можуть помінятися місцями. Знайдіть, яку найменшу кількість таких змін місць двох сусідів треба зробити, щоб гарантовано, незалежно від початкової розсадки лицарів, кожна пара лицарів, що є друзями, змогла в якийсь момент потиснути руки один одному. Кожний лицар може входити рівно в одну пару. Потиснути руки вони мають не обов'язково одночасно.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-008

Степені двійки як значення f(a+b) - f(a) - f(b)

Знайдіть усі підмножини SS множини {20,21,22,…}\{2^0, 2^1, 2^2, \ldots\}, для яких існують такі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, для яких S={f(a+b)−f(a)−f(b)∣a,b∈N}.S = \{f(a+b) - f(a) - f(b) \mid a, b \in \mathbb{N}\}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-24-25-006

Усі n, для яких кожен многочлен є n-гарним

Нехай nn — натуральне число. Ми скажемо, що поліном PP із цілими коефіцієнтами є nn-гарним, якщо існує такий многочлен QQ із цілими коефіцієнтами степеня 22, що для кожного цілого числа kk число Q(k)(P(k)+Q(k))Q(k)(P(k)+Q(k)) не ділиться націло на nn. Знайдіть усі такі натуральні числа nn, для яких кожен многочлен із цілими коефіцієнтами є nn-гарним поліномом.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-24-25-007

Три прямі BC, EF і AX у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC, вписаний у коло Γ\Gamma. Висоти ADAD, BEBE, CFCF трикутника ABCABC перетинаються в точці HH. Пряма AMAM вдруге перетинає коло Γ\Gamma в точці NN, де MM — середина сторони BCBC. Описані кола трикутників AHMAHM та ADNADN вдруге перетинаються в точці XX. Доведіть, що прямі BCBC, EFEF, AXAX перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-24-25-012

Бісектриси кутів вписаного чотирикутника і спільне коло

Вписаний чотирикутник ABCDABCD задовольняє умову AB+AD=CB+CDAB + AD = CB + CD. Нехай ω\omega — коло діаметром ACAC, EE — одна з двох точок перетину бісектриси кута ABCABC та кола ω\omega, що розташована далі від точки BB. Аналогічно, FF — точка перетину бісектриси кута ADCADC та кола ω\omega, що розташована далі від точки DD. Доведіть, що точки BB, EE, DD та FF лежать на одному колі.
10–11 класиСиметрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-012

Функціональне рівняння з ітерацією на натуральних числах

Знайдіть усі функції f:N→Nf:\mathbb{N}\to\mathbb{N} такі, що рівність fbf(a)(a+1)=(a+1)f(b)f^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b) виконується для всіх a, b∈Na,\ b\in\mathbb{N}. Примітка. Тут рівність fk(n)=f(f(…f(n)…))f^k(n)=f(f(\ldots f(n)\ldots)) означає послідовне застосування функції ff рівно kk разів.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-002

Перетин прямих DT і HS на описаному колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром у точці HH та описаним колом Γ\Gamma. Нехай DD — точка, діаметрально протилежна точці AA на колі Γ\Gamma. Пряма, що проходить через точку HH паралельно прямій BCBC, перетинає прямі ABAB та ACAC у точках XX та YY відповідно. Нехай пряма ADAD вдруге перетинає описане коло трикутника DXYDXY у точці S≠DS \ne D. Нехай дотична до кола Γ\Gamma у точці AA перетинає пряму XYXY у точці TT. Доведіть, що прямі DTDT і HSHS перетинаються на колі Γ\Gamma.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-006

Максимальна кількість компаній на паромних лініях островів

Архіпелаг Імомі складається з n⩾2n \geqslant 2 островів. Між кожною парою островів існує паромне сполучення в обох напрямках. Кожною паромною лінією керує одна з kk компаній. Відомо, якщо будь-яка компанія закриє всі свої паромні лінії, то це унеможливить для мандрівника, звідки б він не відправився, відвідати всі острови рівно один раз (зокрема, не повертаючись на острів, з якого стартував). Якого максимально можливого значення може набувати kk залежно від nn?
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-012

Послідовність сум НСД та нерівність сусідніх членів

Нехай a1a_1 — натуральне число. Для кожного натурального числа n>1n > 1 визначимо an=∑i=1n−1(n,ai),a_n = \sum_{i=1}^{n-1}(n, a_i), де (x,y)(x, y) — НСД чисел xx, yy. Доведіть, що нерівність an+1⩽ana_{n+1} \leqslant a_n справджується для нескінченної кількості індексів nn.
10–11 класиПарність та непарність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-008

Трикутник з кутом 60°, пряма Ейлера і симедіана

У трикутнику ABCABC відомо, що ∠A=60∘\angle A = 60^\circ, пряма Ейлера перетинає описане коло трикутника в точках UU та VV, ADAD — висота трикутника ABCABC, а ω\omega — його коло дев’яти точок. Коло Ω\Omega, описане навколо трикутника UVDUVD, удруге перетинає коло ω\omega в точці KK. Точка SS така, що KSKS — діаметр кола ω\omega. Доведіть, що ASAS — симедіана трикутника ABCABC. Примітка. Пряма Ейлера — це пряма, що проходить через ортоцентр, центр описаного кола та точку перетину медіан трикутника. Коло дев’яти точок — це коло, на якому лежать основи висот, середини сторін і середини відрізків між вершинами та ортоцентром трикутника. Симедіана трикутника, що проведена з вершини AA, — це пряма, симетрична медіані, проведеній із вершини AA, відносно бісектриси, проведеній із вершини AA.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-012

Суми чисел у прямокутниках дошки 2022×2022

Чи можна в клітинки дошки розміром 2022×20222022 \times 2022 записати натуральні числа таким чином, щоб сума чисел у будь-якому прямокутнику RR була точним квадратом тоді й лише тоді, коли прямокутник RR є квадратом?
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-009

Точка дотику вписаного кола і три точки на колі

Вписане коло трикутника ABCABC із центром у точці II дотикається до сторони BCBC у точці DD. Пряма, що проходить через точку AA, перетинає прямі BCBC, BIBI, CICI в точках XX, YY, ZZ відповідно. Описане коло трикутника ABCABC перетинає вдруге описані кола трикутників AIYAIY та AIZAIZ у точках UU та VV відповідно. Доведіть, що точки DD, UU, VV, XX лежать на одному колі.
10–11 класиІнверсія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-21-22-003

Точки на бісектрисі трикутника та кут AMD

На бісектрисі ALAL різностороннього трикутника ABCABC вибрано точку KK. Точка PP лежить по той самий бік відносно прямої BCBC, що й точка AA, причому ∠BPL=∠CKL\angle BPL = \angle CKL і ∠CPL=∠BKL\angle CPL = \angle BKL. Точка MM — середина відрізка KPKP, а точка DD — проєкція точки KK на сторону BCBC. Доведіть, що ∠AMD=180∘−∣∠ABC−∠ACB∣\angle AMD = 180^\circ - |\angle ABC - \angle ACB|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-21-22-012

Факторіал як сума трьох степенів

Доведіть, що існує лише скінченна кількість четвірок натуральних чисел (a,b,c,n)(a, b, c, n), для яких n!=an−1+bn−1+cn−1.n! = a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-006

Бієкції додатних чисел із заданою рівністю

Знайдіть усі такі бієкції f:(0,+∞)→(0,+∞)f: (0, +\infty) \to (0, +\infty), що будь-які xx, y>0y > 0 задовольняють рівність f(xf(x)+yf(y))=f2(x)+f2(y).f(xf(x) + yf(y)) = f^2(x) + f^2(y).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.