Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-008

Сума площ чотирикутників з розбиття точок квадрата

Нехай nn — це деяке натуральне число, та нехай SS позначає множину точок на декартовій площині, у яких обидві координати невід’ємні, цілі та менші від 2n2n, тобто ∣S∣=4n2|S| = 4n^2. Нехай FF — це множина, що складається з n2n^2 чотирикутників, у яких вершини є точками з множини SS; більш того, кожна точка множини SS є вершиною рівно одного з тих чотирикутників. Доведіть, що найбільша можлива сума площ усіх чотирикутників із множини FF дорівнює значенню виразу 13n2(2n+1)(2n−1)\frac{1}{3}n^2(2n+1)(2n-1).
10–11 класиПлоща чотирикутника
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-009

Перестановка різних чисел і подільність зваженої суми на n

Знайдіть усі такі натуральні числа n⩾2n \geqslant 2, що для будь-якої групи з nn попарно різних натуральних чисел, сума яких не ділиться на nn, існує така перестановка цих чисел (a1,…,an)(a_1, \ldots, a_n), що nn ділить суму 1⋅a1+2⋅a2+…+n⋅an1 \cdot a_1 + 2 \cdot a_2 + \ldots + n \cdot a_n.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-012

Умова на точку T і відношення IP до IQ

На стороні BCBC трикутника ABCABC знайшлася така точка TT, що BA+BT=CA+CTBA + BT = CA + CT та AT2=AB⋅ACAT^2 = AB \cdot AC. Нехай точка II — інцентр трикутника ABCABC. Пряма, що проходить через інцентр II перпендикулярно до прямої AIAI, перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках PP і QQ. Знайдіть усі можливі значення відношення IP:IQIP : IQ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-006

Гра з 2020 одиницями на дошці за монети

Гравці A і B грають у гру на дошці, на якій спочатку записано 20202020 одиниць. Кожним ходом гравець A стирає два числа на дошці (скажімо, xx і yy), а гравець B записує на дошці одне із чисел — x+yx + y або ∣x−y∣|x - y|. Гра закінчується, коли виконується одне з таких тверджень: (1) одне із чисел строго більше, ніж сума всіх інших чисел; (2) на дошці записано тільки нулі. Коли гра закінчилася, гравець B мав дати гравцю A стільки монет, скільки чисел залишилося на дошці. Гравець A прагне отримати якомога більше монет, а гравець B хоче віддати якомога менше. Якщо обидва гравці грають оптимально, то яку кількість монет мусить віддати гравець B?
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-009

Чотири кола, пов'язані з симетрією відносно середніх ліній

Дано гострокутний трикутник ABCABC і точку PP на його описаному колі. Нехай точки DD, EE, FF — образи точки PP при її симетрії відносно середніх ліній трикутника ABCABC, що паралельні відповідно сторонам BCBC, ACAC і ABAB. Позначимо через wA,wB,wCw_A, w_B, w_C описані кола трикутників ADPADP, BEPBEP, CFPCFP відповідно. Нехай ww — описане коло трикутника, вершини якого є попарними перетинами серединних перпендикулярів до відрізків ADAD, BEBE і CFCF. Доведіть, що всі чотири кола wA,wB,wCw_A, w_B, w_C і ww мають спільну точку.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-004

Симетричні ортоцентру точки та коло через чотири точки

У гострокутному трикутнику ABCABC проведено висоти AHaAH_a, BHbBH_b та CHcCH_c, які перетинаються в ортоцентрі HH. Нехай A1A_1 та C1C_1 — точки, що симетричні ортоцентру HH відносно сторін BCBC та ABAB відповідно. Відрізок A1C1A_1C_1 перетинає відрізки BCBC та ABAB у точках XX та YY відповідно. Пряма BMBM — така дотична до описаного кола трикутника CXC1CXC_1, що точки MM і CC лежать по один бік відносно прямої BHbBH_b. Аналогічно пряма BLBL — така дотична до описаного кола трикутника AYA1AYA_1, що точки LL і AA лежать по один бік відносно прямої BHbBH_b. Доведіть, що точки XX, YY, MM та LL лежать на одному колі.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-022

Рівняння f(xf(xy)) + f(yf(xy)) = x + y

Знайдіть усі такі функції f:R+→R+f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+, що для довільних додатних xx, yy справджується рівність f(xf(xy))+f(yf(xy))=x+y.f(xf(xy))+f(yf(xy))=x+y.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-007

Трикутники на сторонах AFE та середина BC

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до його сторін BCBC, CACA й ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. На сторонах трикутника AFEAFE в зовнішній бік побудовано трикутники APEAPE та AQFAQF таким чином, що ∠APE=∠ACB\angle APE = \angle ACB, ∠AQF=∠ABC\angle AQF = \angle ABC та AP=PEAP = PE й AQ=QFAQ = QF. Нехай точка MM — середина сторони BCBC. Доведіть, що ∠QMP=90∘−12∠BAC\angle QMP = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle BAC.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-011

Перетин прямих A1A2 і B1B2 на висоті трикутника

У нерівнобедреному трикутнику ABCABC із центром описаного кола в точці OO проведено висоти AHaAH_a, BHbBH_b та CHcCH_c. Описане коло трикутника AOHaAOH_a перетинає вдруге описане коло трикутника ABCABC та пряму ABAB у точках B1B_1 та B2B_2 відповідно. Описане коло трикутника BOHbBOH_b перетинає вдруге описане коло трикутника ABCABC та пряму ABAB у точках A1A_1 та A2A_2 відповідно. Доведіть, що точка перетину прямих A1A2A_1A_2 та B1B2B_1B_2 лежить на прямій CHcCH_c.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-006

Перетин B1C1 з висотою та дотик описаних кіл

Дано гострокутний трикутник ABCABC. Його висоти AA1AA_1, BB1BB_1 та CC1CC_1 перетинаються в точці HH — ортоцентрі трикутника ABCABC. Нехай прямі B1C1B_1C_1 та AA1AA_1 перетинаються в точці KK, точка MM — середина відрізка AHAH. Доведіть, що описане коло трикутника MKB1MKB_1 дотикається до описаного кола трикутника ABCABC тоді й тільки тоді, коли BA1=3A1CBA_1 = 3A_1C.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-014

Зовнівписане коло, точки P і Q та середина AD

Нехай ω\omega — зовнівписане коло трикутника ABCABC, що дотикається до сторони BCBC. Нехай D,ED, E і FF — точки дотику кола ω\omega до прямих BC,ACBC, AC і ABAB відповідно. Описане коло трикутника AEFAEF перетинає пряму BCBC у точках PP і QQ. Нехай точка MM — середина ADAD. Доведіть, що описане коло трикутника MPQMPQ дотикається до кола ω\omega.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-002

Шестикутник ABCC1B1A1 і перетин прямих на колі

Дано опуклий шестикутник ABCC1B1A1ABCC_1B_1A_1, у якому AB=BCAB = BC і відрізки AA1AA_1, BB1BB_1 і CC1CC_1 мають спільний серединний перпендикуляр. Нехай DD — точка перетину діагоналей AC1AC_1 і A1CA_1C, а ω\omega — описане коло трикутника ABCABC. Коло ω\omega вдруге перетинає описане коло трикутника A1BC1A_1BC_1 у точці E≠BE \neq B. Доведіть, що прямі BB1BB_1 і DEDE перетинаються на колі ω\omega.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-003

Гра з відмічанням точок і n точок на прямій

Розглянемо множину всіх цілочислових точок у Z3\mathbb{Z}^3. Сашко з Марійкою грають у таку гру. Спочатку Марійка відмічає довільну точку. Після цього Сашко відмічає всі точки на деякій площині, яка перпендикулярна до однієї з координатних осей і на якій немає жодної точки, яку відмітила Марійка. Далі вони продовжують робити кроки по черзі: Марійка не може вибирати відмічені раніше точки, а Сашко не може вибирати площини, на яких є точки, що їх відмітила Марійка. При цьому Марійка прагне відмітити nn точок підряд на деякій прямій, що паралельна одній із координатних осей, а Сашко прагне завадити їй. Знайдіть усі nn, при яких Марійка може досягти бажаного результату.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-009

Висоти трикутника, дотичні і циклічні точки

Нехай AA1AA_1, BB1BB_1, CC1CC_1 — висоти трикутника ABCABC, точка HH — його ортоцентр. Пряма ℓ\ell, паралельна стороні ACAC, перетинає прямі AA1AA_1 і CC1CC_1 у точках A2A_2 і C2C_2 відповідно. Припустимо, що точка B1B_1 лежить зовні описаного кола трикутника A2HC2A_2HC_2. Нехай прямі B1PB_1P і B1TB_1T — дотичні до цього кола. Доведіть, що точки A1A_1, C1C_1, PP і TT циклічні.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-17-18-012

Сума значень функції на цілих числах

Задано натуральне число nn і цілі числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. Функція f:Z→Rf : \mathbb{Z} \to \mathbb{R} задовольняє умову: для довільних цілих kk і ll, l≠0l \neq 0, виконується рівність ∑i=1nf(k+ail)=0\sum\limits_{i=1}^{n} f(k + a_i l) = 0. Доведіть, що f≡0f \equiv 0.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-010

Висоти трикутника з кутом 45° та перпендикулярність KM

У гострокутному трикутнику ABCABC (∠B=45∘\angle B = 45^\circ) проведено висоти AA1AA_1, BB1BB_1 та CC1CC_1. На сторонах ABAB та BCBC вибрано точки KK та NN відповідно таким чином, що B1K⊥ABB_1K \perp AB та B1N⊥BCB_1N \perp BC. На відрізку A1C1A_1C_1 вибираємо таку точку MM, що BM=KNBM = KN. Доведіть, що KM⊥BCKM \perp BC.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-011

Функціональне рівняння на цілих числах з 2014

Знайдіть усі функції f:Z→Zf:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}, які для довільних m, n∈Zm,\ n\in\mathbb{Z} задовольняють умову f(f(m)+n)+f(m)=f(n)+f(3m)+2014.f(f(m)+n)+f(m)=f(n)+f(3m)+2014.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-016

Коло на MN як на діаметрі і фіксована точка

Гострокутний трикутник ABCABC, у якому ∠A<∠B<∠C\angle A < \angle B < \angle C, вписано в коло ω\omega. На дузі BCBC кола ω\omega, яка не містить точку AA, вибрано довільним чином точку DD. Прямі CDCD і ABAB перетинаються в точці EE, а прямі BDBD і ACAC — у точці FF. Нехай O1O_1 — центр кола ω1\omega_1, яке знаходиться всередині трикутника EBDEBD та дотикається до прямих EBEB, EDED і до кола ω\omega. Аналогічно нехай O2O_2 — центр кола ω2\omega_2, яке лежить усередині трикутника FCDFCD й дотикається до прямих FCFC, FDFD і до кола ω\omega. Позначимо точку дотику ω1\omega_1 до прямої BEBE через NN, а точку дотику ω2\omega_2 до прямої CFCF — через MM. Доведіть, що кола, побудовані на MNMN як на діаметрі, проходять через фіксовану точку незалежно від вибору точки DD.
10–11 класиКола, що дотикаються
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-003

Степені числа p у сумах з x та y

Знайдіть усі трійки (p,x,y)(p, x, y), які складаються з простого числа pp і натуральних xx та yy таких, що числа xp−1+yx^{p-1}+y і x+yp−1x+y^{p-1} є степенями числа pp.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-006

Коло через точку на висоті та проекції точки H

Дано гострокутний трикутник ABCABC, HH — основа висоти, проведеної з точки AA на пряму BCBC, PP і K≠HK \neq H — довільні точки на відрізках AHAH і BCBC відповідно. Прямі ACAC і BPBP перетинаються в точці B1B_1, прямі ABAB і CPCP — у точці C1C_1. Нехай XX і YY — проекції точки HH на прямі KB1KB_1 і KC1KC_1 відповідно. Доведіть, що точки AA, PP, XX і YY лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-011

Точка R на прямій PQ в гострокутному трикутнику

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB>BCAB > BC. Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCABC, а точка OO — центр ω\omega. Бісектриса кута ABCABC перетинає коло ω\omega в точці M≠BM \ne B. Нехай γ\gamma — коло діаметра BMBM. Бісектриси кутів AOBAOB і BOCBOC перетинають коло γ\gamma в точках PP і QQ відповідно. На прямій PQPQ вибрали точку RR так, що BR=MRBR = MR. Доведіть, що BR∥ACBR \parallel AC. Примітка. Вважаємо, що бісектриса — це промінь.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-004

Три різні числа з умовою подільності суми і добутку

Нехай задано просте число p>5p>5. Доведіть, що існують три різних числа xx, yy, zz із множини {1,2,…,p}\{1, 2, \ldots, p\} такі, що два числа x+y+zx+y+z і xyz−1xyz-1 одночасно діляться на pp.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-016

Знищення і клонування сплутаних молекул

Божевільний учений винайшов новий вид молекул. Після того як він розбив колбу, деякі молекули опинилися в лабораторії. Деякі пари молекул можуть бути сплутаними, і одна молекула може бути сплутаною з кількома іншими молекулами. Учений навчився виконувати такі операції з молекулами, по одній операції за раз: - якщо деяка молекула сплутана з непарною кількістю молекул, то вчений може знищити її; - учений може клонувати всі молекули, які є в деякий момент часу в лабораторії, зробивши копію I′I' кожної молекули II. При цьому дві копії I′I' та J′J' сплутані між собою тоді і тільки тоді, коли їхні прообрази II та JJ сплутані, а також сплутаними між собою є кожна копія I′I' і її прообраз II. Жодних інших зв'язків не може утворитись, і жоден інший зв'язок не може бути зруйнований у ході даної операції. Доведіть, що вчений за допомогою цих двох операцій може отримати набір молекул, жодні дві з яких не сплутані між собою.
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-003

Випуклий шестикутник з рівностями сторін і кутів

Задано випуклий шестикутник ABCDEFABCDEF, у якому AB=DEAB = DE, BC=EFBC = EF, CD=FACD = FA і ∠A−∠D=∠C−∠F=∠E−∠B\angle A - \angle D = \angle C - \angle F = \angle E - \angle B. Доведіть, що діагоналі ADAD, BEBE та CFCF перетинаються в одній точці.
10–11 класиПаралельний перенос
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-006

Двоколірна дошка n × n з двома одноколірними шляхами

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — непарне натуральне число. Кожну клітинку дошки розміром n×nn \times n пофарбовано в жовтий або блакитний колір. Назвемо послідовність клітин S1,S2,…,SmS_1, S_2, \ldots, S_m шляхом, якщо всі вони одного кольору та клітинки SiS_i та SjS_j мають спільне ребро тоді і лише тоді, коли ∣i−j∣=1|i - j| = 1. Припустимо, що всі клітинки жовтого кольору утворюють шлях і всі клітинки блакитного кольору утворюють шлях. Доведіть, що один із двох шляхів починається або закінчується в центрі дошки.
10–11 класиГеометричні розфарбування

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.