Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-005

Гарантований прохід равлика повз монстрів до останнього рядка

Равлик Богдан грає на дошці, що має 20242024 рядки та 20232023 стовпці. У клітинках дошки ховаються 20222022 монстри, кожен з яких займає рівно одну клітинку. Спочатку Богдан не знає розташування жодного монстра, але знає, що в кожному рядку, крім першого й останнього, ховається рівно один монстр. Богдан також знає, що в кожному стовпчику ховається не більше ніж один монстр. У декілька спроб Богдан намагається перейти з першого рядка в останній. Кожна спроба починається з того, що Богдан вибирає будь-яку початкову клітинку в першому рядку. Далі він рухається клітинками, послідовно переходячи з одної клітинки на сусідню, що має спільну сторону з попередньою. Під час однієї спроби Богдан може повертатися до клітинок, на яких він вже бував раніше. Якщо Богдан потрапляє на клітинку з монстром, спроба завершується, і він переноситься в перший рядок для нової спроби. Монстри не рухаються дошкою, і Богдан пам’ятає, чи є монстри в клітинках, у яких він бував раніше. Якщо Богдан потрапляє в будь-яку клітинку останнього рядка, спроба та гра завершуються. Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого Богдан має таку стратегію, щоб гарантовано потрапити в останній рядок на nn-й спробі або раніше, незалежно від розташування монстрів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-006

Чарівні функції та суми значень у протилежних точках

Нехай Q\mathbb{Q} — множина раціональних чисел. Функцію f:Q→Qf : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} назвемо чарівною, якщо справджується така властивість: для будь-яких чисел x,y∈Qx, y \in \mathbb{Q} має місце рівність f(x+f(y))=f(x)+yабоf(f(x)+y)=x+f(y).f(x + f(y)) = f(x) + y \quad \text{або} \quad f(f(x) + y) = x + f(y). Доведіть, що існує таке ціле число cc, коли для будь-якої чарівної функції ff існують не більше ніж cc різних раціональних чисел вигляду f(r)+f(−r)f(r) + f(-r), де r∈Qr \in \mathbb{Q}, та знайдіть найменше значення числа cc.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-008

Парні круті числа для дошки з умовою на суми підквадратів

Нехай nn — натуральне число. Числа 1,2,3,…,n21, 2, 3, \ldots, n^{2} треба записати в клітинки дошки n×nn \times n так, щоб кожне число було записане рівно в одній клітинці й кожна клітинка містила рівно одне число. Для кожного цілого dd, для якого d∣nd \mid n, dd-розбиттям дошки називається розбиття дошки на (n/d)2(n / d)^{2} піддощок, що не перетинаються, кожна розміру d×dd \times d, так, щоб кожна клітинка містилася рівно в одній піддошці d×dd \times d. Будемо казати, що nn — круте число, якщо числа можна записати на дошці n×nn \times n так, що для кожного цілого dd, для якого d∣nd \mid n і 1<d<n1 < d < n, у dd-розбитті дошки сума чисел, записаних у кожній піддошці d×dd \times d, не кратна dd. Визначте всі парні круті числа.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-009

Виграшна стратегія у грі зі стиранням чисел

Нехай NN — натуральне число. Джефф і Сері грають у гру, в якій спочатку записують на дошці числа 1,2,…,N1, 2, \ldots, N. Потім вони ходять по черзі, починає Джефф. Кожен хід полягає у виборі пари цілих чисел (k,n)(k, n), де k⩾0k \geqslant 0 і nn — одне з чисел на дошці, а потім стирання кожного числа ss на дошці такого, що 2k∣n−s2^{k} \mid n-s. Гра триває, доки дошка не стане порожньою. Гравець, який стирає останнє число на дошці, програє. Визначте всі значення NN, для яких Джефф може гарантувати собі перемогу, як би не грала Сері.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-004

Бісектриси кутів, що перетинають описане коло

Нехай ABCABC — трикутник, II — центр його вписаного кола, і нехай Ω\Omega — описане коло трикутника BICBIC. Нехай KK — точка всередині відрізка BCBC така, що ∠BAK<∠KAC\angle BAK < \angle KAC. Бісектриса кута ∠BKA\angle BKA перетинає Ω\Omega у точках WW і XX так, що AA і WW лежать по один бік від прямої BCBC, а бісектриса кута ∠CKA\angle CKA перетинає Ω\Omega у точках YY і ZZ так, що AA і YY лежать по один бік від прямої BCBC. Доведіть, що ∠WAY=∠ZAX\angle WAY = \angle ZAX.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-001

Періодичність послідовності, заданої середніми

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — нескінченна строго зростаюча послідовність натуральних чисел така, що для кожного n⩾1n \geqslant 1 виконується an∈{an−1+an+12,an−1⋅an+1}a_{n} \in\left\{\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}\right\} Нехай b1,b2,…b_{1}, b_{2}, \ldots — нескінченна послідовність літер, визначена як bn={A, якщо an=12(an−1+an+1)G, інакше b_{n}= \begin{cases}A, & \text{ якщо } a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+a_{n+1}\right) \\ G, & \text{ інакше }\end{cases} Доведіть, що існують натуральні числа n0n_{0} і dd такі, що для всіх n⩾n0n \geqslant n_{0} виконується bn+d=bnb_{n+d}=b_{n}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-005

Бісектриса кута через центр зовнівписаного кола

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якого AB<ACAB < AC, а Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC. Точки XX і YY лежать на колі Γ\Gamma так, що прямі XYXY і BCBC перетинаються на зовнішній бісектрисі кута ∠BAC\angle BAC. Припустимо, що дотичні до кола Γ\Gamma в точках XX і YY перетинаються в точці TT, що лежить з того самого боку від прямої BCBC, що й AA, і що TXTX і TYTY перетинають BCBC у точках UU і VV відповідно. Нехай JJ — центр зовнівписаного кола трикутника TUVTUV, протилежного вершині TT. Доведіть, що AJAJ ділить навпіл ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-014

Функціональне рівняння з умовою взаємної простоти

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел. Нехай f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} — функція, що задовольняє таку властивість: для m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0} рівність f(mn)2=f(m2)f(f(n))f(mf(n))f(m n)^2 = f\left(m^2\right) f(f(n)) f(m f(n)) виконується тоді й лише тоді, коли mm і nn взаємно прості. Для кожного натурального числа nn визначте всі можливі значення f(n)f(n).
10–11 класиПрості числа (базові властивості)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-011

Зафарбовування дошки квадратами два на два

Нехай nn — натуральне число. Дано дошку n×nn \times n, клітинка у верхньому лівому куті спочатку зафарбована в чорний колір, а інші клітинки зафарбовані в білий. Потім до дошки застосовують серію операцій фарбування. У кожній операції вибирають квадрат 2×22 \times 2 з рівно однією чорною клітинкою і фарбують решту три клітинки цього квадрата 2×22 \times 2 в чорний колір. Визначте всі значення nn, для яких можна зафарбувати всю дошку в чорний колір.
10–11 класиДерева2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-002

Послідовності з фіксованим розмахом на вікні

Нехай p≠qp \neq q — взаємно прості натуральні числа. Знайдіть усі нескінченні послідовності a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots натуральних чисел такі, що для всіх n⩾1n \geqslant 1 виконуються такі умови: max⁡(an,an+1,…,an+p)−min⁡(an,an+1,…,an+p)=p і max⁡(an,an+1,…,an+q)−min⁡(an,an+1,…,an+q)=q.\begin{aligned} & \max \left(a_{n}, a_{n+1}, \ldots, a_{n+p}\right)-\min \left(a_{n}, a_{n+1}, \ldots, a_{n+p}\right)=p \quad \text{ і } \\ & \max \left(a_{n}, a_{n+1}, \ldots, a_{n+q}\right)-\min \left(a_{n}, a_{n+1}, \ldots, a_{n+q}\right)=q . \end{aligned}
10–11 класиПослідовності (інші властивості)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-006

Інцентри на одному колі та конкурентність прямих

Нехай ABCABC — трикутник, у якого AB<AC<BCAB < AC < BC, а DD — точка у внутрішності відрізка BCBC. Нехай EE — точка на описаному колі трикутника ABCABC така, що AA і EE лежать по різні боки від прямої BCBC і ∠BAD=∠EAC\angle BAD = \angle EAC. Нехай I,IB,IC,JBI, I_{B}, I_{C}, J_{B} і JCJ_{C} — інцентри трикутників ABC,ABD,ADC,ABEABC, ABD, ADC, ABE і AECAEC відповідно. Доведіть, що IB,IC,JBI_{B}, I_{C}, J_{B} і JCJ_{C} лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли прямі AI,IBJCAI, I_{B}J_{C} і JBICJ_{B}I_{C} перетинаються в одній точці.
10–11 класиПоворотна гомотетія3 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-003

N-допустима множина і трикутники з кутами до 61°

Для натурального числа nn множину SS назвемо nn-допустимою, якщо: - кожен елемент множини SS є невпорядкованою трійкою чисел у множині {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}, ∣S∣=n−2;|S| = n - 2; - для кожного натурального числа kk, такого, що 1⩽k⩽n−21 \leqslant k \leqslant n - 2, та для будь-яких kk попарно різних елементів A1,A2,…,Ak∈SA_1, A_2, \ldots, A_k \in S справджується умова ∣A1∪A2∪…∪Ak∣⩾k+2.|A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k| \geqslant k + 2. Чи дійсно для всіх n>3n > 3 та для кожної nn-допустимої множини SS існують попарно різні точки P1,P2,…,PnP_1, P_2, \ldots, P_n на площині такі, що для будь-якої трійки {i,j,k}\{i, j, k\} у множині SS градусні міри кутів трикутника PiPjPkP_iP_jP_k є меншими за 61∘61^\circ?
10–11 класиКомплексні числа
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-005

Відрізок BC та два кола через X і Y

На площині зафіксовано відрізок BCBC. Нехай AA — це змінна точка площини, що не лежить на прямій BCBC. На променях CACA та BABA відповідно вибрано різні точки XX та YY так, що ∠CBX=∠YCB=∠BAC\angle CBX = \angle YCB = \angle BAC. Нехай дотичні до описаного кола трикутника ABCABC, що проведені у точках BB і CC, перетинають пряму XYXY у точках PP і QQ відповідно, причому точки XX, PP, YY та QQ є попарно різними та лежать по один бік від прямої BCBC. Нехай Ω1\Omega_1 — це коло із центром на прямій BCBC, що проходить через точки XX і PP. Аналогічно нехай Ω2\Omega_2 — це коло із центром на прямій BCBC, що проходить через точки YY і QQ. Доведіть, що кола Ω1\Omega_1 та Ω2\Omega_2 перетинаються у двох фіксованих точках, які не залежать від вибору точки AA.
10–11 класиГомотерія і подібність
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-006

Многочлени з коефіцієнтами 0 і 1 вільні від квадратів

Многочлен PP із цілими коефіцієнтами назвемо вільним від квадратів, якщо його не можна записати у вигляді P=Q2RP = Q^2 R, де QQ та RR є многочленами із цілими коефіцієнтами і QQ є неконстантним. Для натурального числа nn нехай UnU_n — це множина всіх многочленів вигляду 1+a1x+a2x2+…+anxn,1 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n, де a1,a2,…,an∈{0,1}a_1, a_2, \ldots, a_n \in \{0, 1\}. Доведіть, що існує ціле число NN таке, що для всіх цілих n⩾Nn \geqslant N більше ніж 99 %99\,\% многочленів у множині UnU_n є вільними від квадратів.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-026

Цикли робота на квадратній решітці

Робот рухається лініями нескінченної квадратної решітки. Він стартує в точці перетину та повертає на 90∘90^\circ в кожній точці перетину, яку зустрічає. У певний момент він досягає своєї початкової точки, не відвідавши жодної іншої точки двічі. Які можливі довжини шляху робота?
10–11 класиПарність і непарність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-027

Турові добутки з умовою подільності

Нехай nn — натуральне число. У цій задачі ми розглядаємо заповнення клітинок шахової дошки розміру n×nn \times n натуральними числами від 11 до n2n^2 так, що кожне число використано рівно один раз. Для такого заповнення кажемо, що додатне ціле число є туровим добутком, якщо воно є добутком чисел, записаних у nn клітинках, які мають таку властивість: якщо поставити на кожну з них по турі, то жодні дві тури не битимуть одна одну. (Дві тури б'ють одна одну тоді й лише тоді, коли вони стоять в одному рядку або стовпці.) a. Нехай n=8n = 8. З'ясуйте, чи існує заповнення шахової дошки 8×88 \times 8 таке, що виконується така умова: різниця будь-яких двох турових добутків завжди ділиться на 6565. b. Нехай n=10n = 10. З'ясуйте, чи існує заповнення шахової дошки 10×1010 \times 10 таке, що виконується така умова: різниця будь-яких двох турових добутків завжди ділиться на 101101.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-041

Хороші числа зі зображовними дільниками

Для цілих чисел aa і n>0n > 0 кажемо, що aa є n-зображовним, якщо його можна записати як суму різних додатних дільників числа nn. Натуральне число nn називається хорошим, якщо з того, що aa є n-зображовним, випливає, що a−1a-1 є n-зображовним, для всіх a≥1a \ge 1. Визначте, для яких nn обидва числа n!n! і nnn^n є хорошими.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-029

Погоня за крадієм за найбільшими простими дільниками

У країні Фленсбург є одна нескінченно довга вулиця з будинками, пронумерованими 2,3,…2, 3, \ldots Поліція Фленсбурга намагається спіймати крадія, який щодня переміщується з будинку, де він зараз переховується, до одного із сусідніх будинків. Щоб подражнити місцевих правоохоронців, крадій щодня повідомляє найбільший простий дільник номера будинку, до якого він переміститься. Щонеділі поліція може обшукати один будинок, і вона ловить крадія, якщо обшукує будинок, у якому він саме перебуває. Визначте, чи зможе крадій утікати від поліції нескінченно довго, чи поліція має стратегію, щоб спіймати крадія за скінченний час.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-019

Конкурентність прямих у трикутнику із серединними перпендикулярами

У гострокутному трикутнику △ABC\triangle ABC з ∣AB∣≠∣AC∣|AB| \neq |AC| серединні перпендикуляри до сторін ACAC і ABAB перетинають відрізок BCBC у точках DD і EE відповідно. Дотичні до ⊙(ABC)\odot(ABC) у точках BB і CC перетинають ⊙(ABD)\odot(ABD) і ⊙(ACE)\odot(ACE) у точках YY і ZZ відповідно. Припустимо, що прямі YDYD і ZEZE перетинаються в точці XX. Нехай UU і VV — точки перетину ⊙(DEX)\odot(DEX) з прямими ADAD і AEAE відповідно. Доведіть, що прямі UV,BCUV, BC і XAXA перетинаються в одній точці.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-022

Відбиття та колінеарність у трикутнику

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, а PP — внутрішня точка △ABC\triangle ABC. Нехай KK, LL і MM — образи точки PP при симетрії відносно прямих BCBC, ACAC і ABAB відповідно. Нехай DD і EE — другі точки перетину кола ⊙(PBC)\odot(PBC) з прямими ABAB і ACAC відповідно. Нехай прямі MDMD і LELE перетинаються в точці FF. Доведіть, що FF, AA і KK лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-003

Опуклий чотирикутник і точки X і Y на сторонах

Задано опуклий чотирикутник ABCDABCD, у якому ∠BAD=∠BCD\angle BAD = \angle BCD і ∠ABC<∠ADC\angle ABC < \angle ADC. Точка MM є серединою діагоналі ACAC. Доведіть, що існують точки XX та YY на сторонах ABAB та BCBC відповідно такі, що XY⊥BDXY \perp BD, MX=MYMX = MY і ∠XMY=∠ADC−∠ABC\angle XMY = \angle ADC - \angle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-005

Перпендикулярність BT і CN у гострокутному трикутнику

Задано гострокутний трикутник ABCABC з ортоцентром HH. Нехай точка DD — основа висоти, опущеної з точки AA на сторону BCBC. Точка TT на колі з діаметром AHAH така, що це коло дотикається внутрішнім чином до описаного кола трикутника BDTBDT. Нехай точка NN — це середина відрізка AHAH. Доведіть, що BT⊥CNBT \perp CN.
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-006

Найменше число прогулянок по дошці n × n

Задано ціле число n⩾1n \geqslant 1 та дошку розміром n×nn \times n, усі клітинки якої спочатку є білими. Маляр Петрик прогулюється по цій дошці та перефарбовує відвідані клітинки. Кожна прогулянка Петрика починається в лівій нижній кутовій клітинці дошки та продовжується в такий спосіб: - якщо Петрик стоїть на білій клітинці, то перефарбовує її у чорний колір та переміщується на одну клітинку вгору (або виходить за межі дошки, якщо на той момент він знаходиться у верхньому рядку); - якщо Петрик стоїть на чорній клітинці, то перефарбовує її у білий колір та переміщується на одну клітинку праворуч (або виходить за межі дошки, якщо на той момент він знаходиться в крайньому правому стовпці). Прогулянка Петрика закінчується, як тільки він виходить за межі дошки. Знайдіть найменше натуральне число ss, що має таку властивість: після рівно ss прогулянок усі клітинки дошки знову стануть білими. Наприклад, при n=3n = 3 розфарбування дошки після кожної з перших п’яти прогулянок будуть такими (рис. 9.2):
10–11 класиРекурентний підрахунок
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-006

Пряма INa і спільна пряма двох дотичних кіл

Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC. Через SbS_b та ScS_c позначимо середини дуг ACAC та ABAB відповідно, що не містять третю вершину трикутника ABCABC, а через NaN_a позначимо середину дуги BACBAC (дуга BCBC, що містить вершину AA). Нехай ωb\omega_b — коло, що дотикається до прямої ABAB та внутрішнім чином дотикається до кола Ω\Omega у точці SbS_b. Нехай ωc\omega_c — коло, що дотикається до прямої ACAC та внутрішнім чином дотикається до кола Ω\Omega у точці ScS_c. Доведіть, що пряма INaIN_a та пряма, яка проходить через точку перетину кіл ωb\omega_b та ωc\omega_c, перетинаються на колі Ω\Omega, де через II позначено центр вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиРадикальна вісь
Європейський математичний кубокEMC-2023-003

Перетин прямих NF, DE та GM у трикутнику

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Точки MM та NN — це середини відрізків BCBC та ABAB відповідно. Коло, побудоване на відрізку ABAB як на діаметрі, перетинає прямі BCBC, AMAM та ACAC у точках DD, EE та FF відповідно. Точка GG є серединою відрізка FCFC. Доведіть, що прямі NFNF, DEDE та GMGM перетинаються в одній точці.
7–10 класиРадикальна вісь

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.