Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 821 задача
Складністьконкурсний, 6–11
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-006

Заміна пари цілочисельних точок паралелограмом

На координатній площині дано скінченну множину точок SS, кожна з координат яких є цілим числом. За один крок дозволено замінити пару точок A,B∈SA, B \in S на довільну пару цілочисельних точок C,D∈SC, D \in S так, що чотирикутник ABCDABCD буде паралелограмом, причому AB>CDAB > CD. Доведіть, що такий процес не може тривати нескінченно.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-007

Неспадна додатна функція та зсув на обернене значення

Дано функцію f:R→(0,+∞)f: \mathbb{R} \to (0, +\infty) таку, що для довільних x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}, x⩽yx \leqslant y, справджується нерівність f(x)⩽f(y)f(x) \leqslant f(y). Доведіть, що існує t∈Rt \in \mathbb{R}, для якого виконується нерівність f(t+1f(t))<2f(t).f\left(t + \frac{1}{f(t)}\right) < 2f(t).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-010

Додатні корені многочлена з сумою обернених чисел

Дано натуральні числа a1,a2,…,an,ka_1, a_2, \ldots, a_n, k і MM такі, що 1a1+1a2+…+1an=kтаa1a2…an=M.\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}=k \quad \text{та} \quad a_1a_2\ldots a_n=M. Доведіть, що многочлен P(x)=M(x+1)k−(x+a1)(x+a2)…(x+an)P(x)=M(x+1)^k-(x+a_1)(x+a_2)\ldots(x+a_n) не має додатних коренів, якщо M>1M>1.
7–9 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-004

Жуки в пронумерованих коробках, що повзуть праворуч

Дано натуральне число nn. Ганна виставила в ряд (n+1)(n + 1) коробку та, пронумерувавши коробки зліва направо числами 0,1,2,…,n0, 1, 2, \ldots, n, помістила в нульову коробку nn жуків. Ці жуки почали переповзати по коробках. За одну хвилину рівно один із kk жуків, які містилися в коробці, переповзає в не більше ніж kk коробок праворуч. Через деякий час усі жуки опинилися в коробці з номером nn. Доведіть, що минуло не менше ніж [n1]+[n2]+…+[nn]\left[\dfrac{n}{1}\right] + \left[\dfrac{n}{2}\right] + \ldots + \left[\dfrac{n}{n}\right] хвилин від початку до цього моменту.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-006

Підпослідовність з 2n-1 чисел без різниці a

Задано дійсне число a≠0a \neq 0 й натуральне число nn. Доведіть, що для довільної послідовності a1,a2,…,a2n−1a_1, a_2, \ldots, a_{2n-1} дійсних чисел можна вибрати індекси i1<i2<…<ini_1 < i_2 < \ldots < i_n такі, що ais−air≠aa_{i_s} - a_{i_r} \neq a для довільних 1⩽s,r⩽n1 \leqslant s, r \leqslant n.
10–11 класиПарність і непарність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-010

Многочлен із сумою обернених та добутком чисел

Дано натуральні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, kk і MM такі, що 1a1+1a2+…+1an=k\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \ldots + \dfrac{1}{a_n} = k і a1a2…an=Ma_1 a_2 \ldots a_n = M. Доведіть, що многочлен P(x)=M(x+1)k−(x+a1)(x+a2)…(x+an)P(x) = M(x+1)^k - (x+a_1)(x+a_2)\ldots(x+a_n) не має додатних коренів, якщо M>1M > 1.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-015

Цілі розв'язки рівняння 3²ᵃ⁺¹b² + 1 = 2ᶜ

Знайдіть усі цілі розв'язки рівняння 32a+1b2+1=2c3^{2a+1}b^2 + 1 = 2^c.
10–11 класиМіркування за модулем
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-017

Дошка m × n з непарною кількістю одноколірних сусідів

Знайдіть усі пари натуральних чисел (m,n)(m, n), для яких клітчасту дошку розміром m×nm \times n можна розфарбувати в чорний і білий кольори так, що для довільної клітинки дошки кількість сусідніх з нею клітинок, пофарбованих у такий самий колір, непарна. Дві клітинки назвемо сусідніми, якщо вони різні та мають хоча б одну спільну вершину.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-006

Одиниці на дошці та заміна пари їх сумою

На дошці записано 2m2^m разів число 11. За один крок дозволено вибрати два довільних числа aa і bb, витерти їх і на місці кожного з них записати число a+ba + b. Доведіть, що після m2m−1m2^{m-1} кроків сума чисел на дошці буде не менша ніж 4m4^m.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-009

Добуток двох практичних чисел

Назвемо натуральне число nn практичним, якщо кожне натуральне число, що не перевищує nn, можна подати у вигляді суми різних дільників числа nn. Доведіть, що добуток двох практичних чисел є практичним числом.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-010

Пари натуральних чисел з кубічним коренем та модулем

Знайдіть усі пари натуральних чисел (x,y)(x, y) таких, що виконується рівність 7x2−13xy+7y23=∣x−y∣+1.\sqrt[3]{7x^2 - 13xy + 7y^2} = |x - y| + 1.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-002

Рядок або стовпчик з 10 кольорами на дошці

Клітинки квадратної дошки розміром 100×100100 \times 100 розфарбовано у 100100 різних кольорів. Кожну клітинку пофарбовано рівно одним кольором, і кожен колір використано рівно 100100 разів. Доведіть, що існує рядок або стовпчик, у якому наявні не менше ніж 1010 кольорів.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-005

Числа 2n²+1, 3n²+1 і 6n²+1 як повні квадрати

Доведіть, що не існує натуральних чисел nn таких, що числа 2n2+12n^2+1, 3n2+13n^2+1 і 6n2+16n^2+1 одночасно є повними квадратами.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-004

Найбільша і найменша суми після замін у наборі

Нехай задано впорядкований набір (a1;a2;…;an)(a_1; a_2; \ldots; a_n) дійсних чисел, n⩾3n \geqslant 3. Дозволяється замінити число aia_i, i=2,n−1‾i = \overline{2, n - 1} на таке число ai∗a_i^*, що ai+ai∗=ai−1+ai+1a_i + a_i^* = a_{i - 1} + a_{i + 1}. Нехай (b1;b2;…;bn)(b_1; b_2; \ldots; b_n) — набір з найбільшою сумою чисел, який можна отримати з даного, а (c1;c2;…;cn)(c_1; c_2; \ldots; c_n) — аналогічний набір з найменшою сумою. Для непарного n⩾3n \geqslant 3 і набору (1;3;…;n;2;4;…;n−1)(1; 3; \ldots; n; 2; 4; \ldots; n - 1) знайдіть значення виразів b1+b2+…+bnb_1 + b_2 + \ldots + b_n і c1+c2+…+cnc_1 + c_2 + \ldots + c_n.
10–11 класиАрифметична прогресія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-010

Подільність різниці b і n-го степеня на k

Нехай b,n>1b, n > 1 – деякі натуральні числа. Припустимо, що для кожного k>1k > 1 існує натуральне число aka_k таке, що b−aknb - a_k^n ділиться на kk. Доведіть, що b=Anb = A^n для деякого натурального числа AA.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-001

Нерівність із сумою (a+b-2c)/(b+c) для a, b, c

Нехай aa, bb і cc — додатні дійсні числа. Доведіть, що a+b−2cb+c+b+c−2ac+a+c+a−2ba+b≥0.\frac{a + b - 2c}{b + c} + \frac{b + c - 2a}{c + a} + \frac{c + a - 2b}{a + b} \ge 0.
10–11 класиМетод Штурма
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-004

Нерівність для обернених квадратів членів арифметичної прогресії

Нехай n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥2n \ge 2, a1,a2,…,an,an+1a_1, a_2, \ldots, a_n, a_{n+1} — додатні дійсні числа, які задовольняють умову a2−a1=a3−a2=…=an+1−an≥0a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \ldots = a_{n+1} - a_n \ge 0. Доведіть, що 1a22+1a32+…+1an2≤n−12⋅a1an+a2an+1a1a2anan+1.\frac{1}{a_2^2} + \frac{1}{a_3^2} + \ldots + \frac{1}{a_n^2} \le \frac{n - 1}{2} \cdot \frac{a_1 a_n + a_2 a_{n+1}}{a_1 a_2 a_n a_{n+1}}. З'ясуйте, коли в цій нерівності досягається рівність.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-007

Прямокутний трикутник, бісектриса і перпендикуляр до прямої

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠C=90∘\angle C = 90^\circ. На сторонах ABAB і BCBC відмічено точки MM і NN відповідно так, що CN:NB=AC:BC=2CN : NB = AC : BC = 2 і MN∥ACMN \parallel AC. Нехай OO — точка перетину відрізків CMCM і ANAN. Точку KK відмічено на відрізку ONON так, що MO+OK=KNMO + OK = KN. Нехай TT — точка перетину бісектриси кута BB трикутника ABCABC і перпендикуляра до прямої ANAN, проведеного через точку KK. Доведіть, що ∠MTB=90∘\angle MTB = 90^\circ.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-010

Многочлен з n різними дійсними коренями і недодатний корінь

Нехай nn — натуральне число, n>4n > 4. Відомо, що многочлен P(x)=xn−5xn−1+12xn−2−15xn−3+an−4xn−4+…+a1x+a0P(x) = x^n - 5x^{n-1} + 12x^{n-2} - 15x^{n-3} + a_{n-4}x^{n-4} + \ldots + a_1 x + a_0, де an−4,…,a1,a0a_{n-4}, \ldots, a_1, a_0 — задані дійсні числа, має nn попарно різних дійсних коренів. Доведіть, що принаймні один з цих коренів не є додатним.
10–11 класиТеорема Вієта
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-001

Нерівність для двох наборів додатних чисел

Нехай n≥3n \ge 3. Доведіть, що для будь-яких двох наборів додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, та b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n, які задовольняють умови a1+a2+…+an=1a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 1, b12+b22+…+bn2=1b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2 = 1, виконується нерівність a1(b1+a2)+a2(b2+a3)+…+an(bn+a1)<1.a_1(b_1 + a_2) + a_2(b_2 + a_3) + \ldots + a_n(b_n + a_1) < 1.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-007

Попарно дружна трійка з трьох різних шкіл

У кожній з трьох шкіл вчиться по 200 учнів. Кожен учень має хоча б по одному другу в кожній із трьох шкіл (якщо учень AA є другом BB, то BB є другом AA). Відомо, що існує множина EE з 300 учнів (вибраних із вказаних вище 600) така, що для кожної школи SS та будь-яких двох учнів x∈Ex \in E, y∈Ey \in E, x∉Sx \notin S, y∉Sy \notin S, кількість друзів учня xx серед учнів SS та кількість друзів учня yy серед учнів SS є різними. Доведіть, що можна вибрати трьох учнів з трьох різних шкіл так, щоб вони були друзями один одного.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-004

Функціональне рівняння з різницею квадратів

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що f(x2−y2)=(x−y)(f(x)+f(y)) для всіх x∈R і y∈R.f\left(x^2 - y^2\right) = (x - y)\left(f(x) + f(y)\right) \text{ для всіх } x \in \mathbb{R} \text{ і } y \in \mathbb{R}.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2025-001

Сума дробів (a²+bc)²/(b+c) для додатних a, b, c

Для додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c доведіть, що справджується нерівність: (a2+bc)2b+c+(b2+ca)2c+a+(c2+ab)2a+b⩾2abc(a+b+c)2ab+bc+ca.\dfrac{(a^2+bc)^2}{b+c} + \dfrac{(b^2+ca)^2}{c+a} + \dfrac{(c^2+ab)^2}{a+b} \geqslant \dfrac{2abc(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}.
7–9 класиНерівність Коші-Буняковського
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2025-003

Рівність відрізків XD і XC у прямокутному трикутнику

У прямокутному трикутнику ABCABC з прямим кутом AA проведено висоту ADAD. Нехай EE — середина відрізка DCDC. Описане коло трикутника ABDABD удруге перетинає пряму AEAE в точці FF, а прямі ABAB та DFDF перетинаються в точці XX. Доведіть, що справджується рівність XD=XCXD = XC.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Балтійський шляхBW-2024-001

Функції з рівнянням xf(x+y) і параметром α

Нехай α\alpha — ненульове дійсне число. Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що xf(x+y)=(x+αy)f(x)+xf(y)xf(x+y) = (x+\alpha y)f(x) + xf(y) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.