Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 821 задача
Складністьконкурсний, 6–11
Відбіркові тести на IMOTST-2021-028

Єдиність пари натуральних чисел для квадратного рівняння

Доведіть, що для кожного невід'ємного цілого числа zz існує рівно одна впорядкована пара (m,n)(m, n) натуральних чисел m,nm, n така, що виконується 2z=(m+n)2−m−3n2 z = (m+n)^2 - m - 3 n.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2021-001

НСД послідовності з рекурентним співвідношенням

Послідовність a0,a1,a2,…a_0, a_1, a_2, \dots цілих чисел задана умовами a0=3a_0 = 3 і an+1−an=n(an−1)a_{n+1} - a_n = n(a_n - 1) для всіх n≥0n \ge 0. Знайдіть усі цілі числа m≥2m \ge 2, для яких НСД(m,an)=1\text{НСД}(m, a_n) = 1 для всіх n≥0n \ge 0.
10–11 класиТеорема Вільсона
Відбіркові тести на IMOTST-2021-006

Паралельні прямі у вписаному чотирикутнику

Дано вписаний чотирикутник ABCDA B C D з ∣AB∣=∣BC∣|A B|=|B C|. Точка EE лежить на дузі CDC D, на якій не лежать AA і BB. Точку перетину прямих BEB E і CDC D позначимо PP, точку перетину прямих AEA E і BDB D — QQ. Доведіть, що PQ∥ACP Q \| A C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2021-004

Бісектриса прямокутного трикутника з інцентром

Нехай ABCA B C — трикутник, у якому ∠BAC=90∘\angle B A C=90^{\circ}, з центром описаного кола OO та інцентром II. Бісектриса кута ∠BAC\angle B A C перетинає описане коло трикутника ABCA B C у точках AA і PP. Нехай QQ — проєкція точки PP на пряму ABA B, а RR — проєкція точки II на пряму PQP Q. Доведіть, що пряма ROR O ділить відрізок CIC I навпіл.
10–11 класиТеорема про тризуб
Відбіркові тести на IMOTST-2021-008

Функціональне рівняння f(x + y f(x + y)) = y² + f(x) f(y)

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, які задовольняють f(x+yf(x+y))=y2+f(x)f(y)f(x + y f(x + y)) = y^2 + f(x) f(y)
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2021-012

Симетрична система з модулями

Знайдіть усі трійки (x,y,z)(x, y, z) дійсних чисел, для яких виконується x2−yz=∣y−z∣+1,y2−zx=∣z−x∣+1,z2−xy=∣x−y∣+1\begin{aligned} & x^{2}-y z=|y-z|+1, \\ & y^{2}-z x=|z-x|+1, \\ & z^{2}-x y=|x-y|+1 \end{aligned}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Відбіркові тести на IMOTST-2021-013

Центроїди прямокутного трикутника і пряма PQ

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠C=90∘\angle C = 90^\circ, а DD — основа висоти, проведеної з CC. Нехай EE — точка перетину медіан трикутника ACDACD, а FF — точка перетину медіан трикутника BCDBCD. Точка PP задовольняє ∠CEP=90∘\angle CEP = 90^\circ і ∣CP∣=∣AP∣|CP| = |AP|, а точка QQ задовольняє ∠CFQ=90∘\angle CFQ = 90^\circ і ∣CQ∣=∣BQ∣|CQ| = |BQ|. Доведіть, що пряма PQPQ проходить через точку перетину медіан трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2021-015

Подільність значень квадратичної форми

Доведіть, що для кожного натурального числа nn існують натуральні числа aa і bb такі, що n∣4a2+9b2−1.n \mid 4a^2 + 9b^2 - 1.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Відбіркові тести на IMOTST-2021-016

Числа в точках трикутника з колом за модулем p

Нехай pp — просте число, більше за 22. Патриція хоче поставити у відповідність чорним точкам на рисунку нижче 77 не обов'язково різних чисел з множини {1,2,…,p}\{1,2, \ldots, p\} таким чином, щоб добуток трьох чисел на лінії або колі завжди мав однакову остачу при діленні на pp. a. Припустимо, Патриція використовує число pp принаймні один раз. Яку найменшу кількість разів їй доведеться використати число pp? b. Припустимо, Патриція не використовує число pp. Скількома способами вона може поставити числа у відповідність? (Два способи вважаються різними, якщо принаймні одній чорній точці поставлені у відповідність різні числа. Розстановки, що відрізняються поворотом або симетрією рисунка, вважаються різними.)
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2021-021

Паралельна пряма, дотична до вписаного кола

Дано трикутник ABCA B C, у якому ∣AB∣+∣AC∣=3∣BC∣|A B|+|A C|=3|B C|. Нехай TT — точка на відрізку ACA C така, що ∣AC∣=4∣AT∣|A C|=4|A T|. Нехай KK і LL — внутрішні точки відрізків ABA B і ACA C відповідно такі, що, по-перше, KL∥BCK L \| B C і, по-друге, KLK L дотикається до вписаного кола трикутника △ABC\triangle A B C. Нехай SS — точка перетину відрізків BTB T і KLK L. Знайдіть відношення ∣SL∣∣KL∣\frac{|S L|}{|K L|}.
10–11 класиВписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-004

Шестицифрові паліндроми, кратні 33

Скільки існує шестицифрових чисел, кратних 33, які є паліндромами, тобто не змінюються, якщо їх читати справа наліво? (A) 30 (B) 33 (C) 300 (D) 333 (E) Жодна з попередніх.
10–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-005

Трикутник з медіаною, що дорівнює стороні

Про трикутник з вершинами A,B,CA, B, C відомо, що AB=5AB = 5, BC=4BC = 4 і AC=AMAC = AM, де MM — середина сторони BCBC. Чому дорівнює довжина сторони ACAC? (A) 4 (B) 17\sqrt{17} (C) 323\sqrt{2} (D) 252\sqrt{5} (E) 21\sqrt{21}
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-018

Дотик кіл і точки, симетричні інцентру

Нехай ABCABC — трикутник і нехай II — центр його вписаного кола. Нехай DD — точка, симетрична II відносно сторони ABAB, а EE — точка, симетрична II відносно сторони ACAC. Доведіть, що описані кола трикутників BIDBID і CIECIE дотикаються одне до одного.
10–11 класиКола, що дотикаються2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-006

Сума цифр числа 20²¹ + (10²⁰²¹ + 21)²

Чому дорівнює сума цифр числа 2021+(102021+21)220^{21} + \left(10^{2021} + 21\right)^2? (A) 21 (B) 30 (C) 37 (D) 42 (E) Число, більше за 100.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-007

Цілі розв'язки рівняння з радикалами

Нехай a,b,ca, b, c — цілі числа, кожне від 11 до 20212021 включно, які задовольняють рівняння a+b=a+cb.\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + c \sqrt{b}}. Скільки існує різних можливих значень cc? (A) 130 (B) 132 (C) 133 (D) 1936 (E) 2025
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-008

Взаємно відображені значення многочлена

Досліджуючи многочлен p(x)=x2+2x−6p(x) = x^{2} + 2x - 6, Енріка знайшла два різні дійсні числа α\alpha і β\beta такі, що p(α)=βp(\alpha) = \beta і p(β)=αp(\beta) = \alpha. Чому дорівнює α+β\alpha + \beta? (A) -3 (B) −22-2 \sqrt{2} (C) 0 (D) 2 (E) 6
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-009

Лицарі та брехуни з твердженнями про трійки

Учасники конференції брехунів (які завжди брешуть) і лицарів (які завжди кажуть правду) пронумеровані від 11 до 20212021. Кожен з них заявляє: «можна утворити принаймні ii трійок учасників, до складу яких входжу я і які містять рівно двох лицарів», де ii — номер, присвоєний особі, яка говорить. Скільки існує можливих значень кількості брехунів, присутніх на конференції? (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 2021 (E) 2022
10–11 класиКомбінації
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-010

Прямокутний трикутник, у якому HD перпендикулярна до BC: відношення сторін

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник з прямим кутом при BB. Нехай HH — основа висоти, проведеної з BB, а DD — перетин бісектриси кута при AA зі стороною BCBC. Припустімо, що відрізок HDHD перпендикулярний до BCBC. Чому дорівнює (ABBC)2\left(\frac{AB}{BC}\right)^2? (A) 52\frac{\sqrt{5}}{2} (B) 5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2} (C) 5\sqrt{5} (D) 5+12\frac{\sqrt{5}+1}{2} (E) Такої конфігурації не існує.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-011

Двійкові смужки з перевертанням трійок

Малий Буль намалював смужку з 8 клітинок, у кожній з яких може бути записано 0 або 1. Спочатку кожна клітинка містить 0. Кожним ходом Буль виконує одну з таких операцій: a. Замінює кожен 0 на 1, а кожен 1 на 0; b. Вибирає три послідовні клітинки і лише в них замінює кожен 0 на 1 і навпаки. Скільки різних комбінацій з 0 і 1 може отримати Буль? (A) 252^{5} (B) 262^{6} (C) 272^{7} (D) 28−22^{8}-2 (E) 282^{8}
10–11 класиБієкції
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-012

Друге значення цілої частини розв’язку рівняння з дробовою частиною

Для кожного невід'ємного дійсного числа xx визначимо ⌊x⌋\lfloor x\rfloor як цілу частину xx, тобто найбільше ціле число, що не перевищує xx, а {x}=x−⌊x⌋\{x\}=x-\lfloor x\rfloor як дробову частину xx. Нехай pp — додатний нецілий дійсний розв'язок рівняння {z⌊z⌋}=2021{z}\{z\lfloor z\rfloor\}=2021\{z\}. Яке друге за величиною (в порядку зростання) можливе значення ⌊p⌋\lfloor p\rfloor? (A) 2021 (B) 2022 (C) 3033 (D) 4042 (E) 4043
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-015

Сума шести кубів за модулем 6

Нехай NN — кількість упорядкованих шісток цілих чисел (a,b,c,d,e,f)(a, b, c, d, e, f) таких, що a3+b3+c3+d3+e3+f3=168a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+e^{3}+f^{3}=168 і −2021202120219<abcdef<2021202120219-202120212021^{9}<a b c d e f<202120212021^{9}, де abcdefabcdef — добуток цих шести цілих чисел. Яке з наведених чисел є остачею від ділення NN на 6? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
10–11 класиПерестановки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-016

Стрибки коника з сумою координат

Коник рухається площиною і з точки з координатами (x,y)(x, y) може стрибнути на власний вибір або в (x+y,y)(x+y, y), або в (x,x+y)(x, x+y). Він вирушив з точки з координатами (n,9)(n, 9), де nn — натуральне число, але не пам'ятає значення nn. Він знає лише, що після деякої кількості ходів опинився в (2021,2050)(2021,2050). Скільки існує можливих значень nn?
10–11 класиРетроспективний алгоритм
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-001

Проєкції у прямокутнику та вписані чотирикутники

Нехай ABCDABCD — прямокутник, а EE — довільна точка, відмінна від CC, на стороні DCDC. Нехай HH — проєкція EE на діагональ ACAC, а KK — проєкція CC на промінь AEAE. a. Доведіть, що KK лежить на колі, описаному навколо прямокутника ABCDABCD, і що чотирикутник CKEHCKEH є вписаним, тобто навколо нього можна описати коло. b. Доведіть, що CKB^+CKH^=90∘\widehat{CKB} + \widehat{CKH} = 90^\circ. c. Доведіть, що точки K,H,BK, H, B лежать на одній прямій тоді й лише тоді, коли ABCDABCD є квадратом.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-003

Дробова послідовність з умовою зупинки

Амбра будує послідовність чисел, починаючи з додатного дійсного числа x0x_{0}, у такий спосіб: для nn-го члена xnx_{n} наступний член дорівнює xn+1={1−1xn}x_{n+1} = \{1 - \frac{1}{x_{n}}\}, де {α}\{\alpha\} позначає дробову частину α\alpha, тобто різницю між α\alpha і найбільшим цілим числом, меншим або рівним α\alpha. Щойно Амбра отримує член, що дорівнює 00, вона перериває послідовність. a. Доведіть, що якщо початкове число x0x_{0} має вигляд pq\frac{p}{q}, де pp і qq — натуральні числа, то рано чи пізно послідовність перерветься. b. Доведіть, що якщо послідовність переривається, то початкове число x0x_{0} мало вигляд pq\frac{p}{q}, де pp і qq — натуральні числа.
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-002

Спіральна сітка зі шляхом за цифрами

Карта скарбу складається з мапи острова (нескінченно протяжного в усіх напрямках), на яку накладено квадратну сітку. Клітинки сітки пронумеровано по спіралі, як на рисунку. Пірати сховали свій скарб, поділивши його на скрині, які закопали в деяких клітинках — тих, «пронумерованих тими nn, що містять у собі вказівки, як до них дістатися з клітинки 1». Цією фразою пірати хочуть сказати таке: записавши число nn у десятковій системі, назвемо a1,…,aka_{1}, \ldots, a_{k} його цифри, прочитані зліва направо; у клітинці nn є скриня з частиною скарбу тоді (і лише тоді), коли до неї можна дістатися, стартувавши з клітинки 1 і зробивши a1a_{1} кроків у певному напрямку (Північ, Південь, Захід або Схід), a2a_{2} кроків у певному напрямку (можливо, тому самому, що й раніше), … і нарешті aka_{k} кроків в одному з 4 напрямків. Наприклад: у клітинці 12 є скриня, бо, стартувавши з 1 і зробивши 1 крок на Північ і 2 кроки на Схід, потрапляємо саме в 12. У клітинці 1, навпаки, немає жодної скрині, бо в якому б напрямку не зробити один крок, стартувавши з 1, потрапимо в клітинку, відмінну від 1. Доведіть, що є лише скінченна кількість клітинок, у яких закопано скриню.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.