Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 821 задача
Складністьконкурсний, 6–11
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-102

Рівнобічна трапеція з прямим кутом

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція, у якій AD=BC=255AD = BC = 255 і AB=128AB = 128. Нехай MM — середина сторони CDCD, а NN — основа перпендикуляра з AA на пряму CDCD. Якщо ∠MBC=90∘\angle MBC = 90^{\circ}, обчисліть tg⁡∠NBM\operatorname{tg} \angle NBM.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-039

Впорядковані пари сімей власних підмножин

Позначимо P={S,T}P=\{\mathrm{S}, \mathrm{T}\} і нехай P\mathcal{P} — множина всіх власних підмножин PP. (Власна підмножина — це підмножина, яка не збігається із самою множиною.) Скільки існує впорядкованих пар (S,T)(\mathcal{S}, \mathcal{T}) власних підмножин P\mathcal{P} таких, що a) S\mathcal{S} не є власною підмножиною T\mathcal{T}, а T\mathcal{T} не є власною підмножиною S\mathcal{S}; і b) для будь-яких множин S∈SS \in \mathcal{S} і T∈TT \in \mathcal{T}, SS не є власною підмножиною TT, а TT не є власною підмножиною SS?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-040

Математичне сподівання в процесі з підкиданням монети

Нехай pp — дійсне число між 00 і 11. Джоселін має монету, яка випадає гербом з імовірністю pp і решкою з імовірністю 1−p1-p; також у неї на дошці написано число. Щохвилини вона підкидає монету, і якщо випадає герб, то вона замінює число xx на дошці на 3x+13x+1; якщо випадає решка, то вона замінює його на x/2x/2. Відомо, що існують сталі a,ba, b такі, що математичне сподівання числа, написаного на дошці після tt хвилин, можна записати як at+bat+b для всіх натуральних чисел tt. Обчисліть pp.
10–11 класиАрифметична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-149

Невід'ємна таблиця з сумами рядків і стовпців

Скількома способами можна заповнити квадратну таблицю 3×33 \times 3 невід'ємними цілими числами так, щоб жодне ненульове число не траплялося більше ніж один раз в одному рядку або стовпці, а сума чисел у кожному рядку та кожному стовпці дорівнювала 77?
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-041

Медіана площ частин квадрата

Нехай ABCDABCD — квадрат зі стороною 55, а EE — середина сторони ABAB. Нехай PP і QQ — основи перпендикулярів з BB і DD на пряму CECE відповідно, а RR — основа перпендикуляра з AA на пряму DQDQ. Відрізки CECE, BPBP, DQDQ і ARAR розбивають квадрат ABCDABCD на п'ять областей. Чому дорівнює медіана площ цих п'яти областей?
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-121

Очікувана кількість шматків кулі від розрізів ґраткою

На десерт Мелінда їсть сферичну кульку морозива діаметром 22 дюйми. Однак вона любить їсти морозиво шматочками, схожими на кубики. У неї є спеціальна машина, яка для кулі, розміщеної в просторі, розрізає її площинами x=nx=n, y=ny=n та z=nz=n для кожного цілого nn (не обов'язково додатного). Мелінда розміщує центр кульки морозива рівномірно випадково всередині куба 0≤x,y,z≤10 \leq x, y, z \leq 1, а потім розрізає її на шматки за допомогою своєї машини. Знайдіть математичне сподівання кількості шматків, на які буде розрізано морозиво.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-103

Очікувана кількість шляхів на решітці, що оминають точку

Шляхом вгору-вправо між двома точками цілочисельної решітки PP і QQ називається шлях з PP до QQ, який складається з кроків довжини 1 вгору або вправо. Точку цілочисельної решітки (x,y)(x, y) з 0≤x,y≤50 \leq x, y \leq 5 вибрано навмання (усі точки рівноймовірні). Обчисліть математичне сподівання кількості шляхів вгору-вправо з (0,0)(0,0) до (5,5)(5,5), які не проходять через (x,y)(x, y).
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-043

Найменше число з остачами 2,3,4 при діленні на 3,5,7

Яке найменше натуральне число має остачі 2,3,42, 3, 4 при діленні на 3,5,73, 5, 7 відповідно?
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-042

Відношення добутків виразів із радикалами

Нехай A=(1+22+33+66)(2+62+3+36)(3+2+63+26)(6+32+23+6)B=(1+32+23+66)(2+2+63+36)(3+62+3+26)(6+22+33+6)\begin{aligned} & A=(1+2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}+6 \sqrt{6})(2+6 \sqrt{2}+\sqrt{3}+3 \sqrt{6})(3+\sqrt{2}+6 \sqrt{3}+2 \sqrt{6})(6+3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}+\sqrt{6}) \\ & B=(1+3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}+6 \sqrt{6})(2+\sqrt{2}+6 \sqrt{3}+3 \sqrt{6})(3+6 \sqrt{2}+\sqrt{3}+2 \sqrt{6})(6+2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}+\sqrt{6}) \end{aligned} Обчисліть значення A/BA / B.
10–11 класиРозкладання на множники і розкрит…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-140

Площа шестикутника з вкладених квадратів

У трикутнику ABCABC, AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Квадрати ABB1A2ABB_1A_2, BCC1B2BCC_1B_2, CAA1C2CAA_1C_2 побудовано назовні трикутника. Квадрати A1A2A3A4A_1A_2A_3A_4, B1B2B3B4B_1B_2B_3B_4, C1C2C3C4C_1C_2C_3C_4 побудовано назовні шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2. Квадрати A3B4B5A6A_3B_4B_5A_6, B3C4C5B6B_3C_4C_5B_6, C3A4A5C6C_3A_4A_5C_6 побудовано назовні шестикутника A4A3B4B3C4C3A_4A_3B_4B_3C_4C_3. Знайдіть площу шестикутника A5A6B5B6C5C6A_5A_6B_5B_6C_5C_6.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-044

Рекурентне співвідношення з експоненційним зростанням

У році 00 в Кембриджі є одна білка та один кролик. Обидві тварини швидко розмножуються. Зокрема, якщо в році kk є mm білок і nn кроликів, то в році k+1k+1 буде 2m+20192 m + 2019 білок і 4n−24 n - 2 кроликів. У якому році вперше кроликів стане строго більше, ніж білок?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-045

Мінімум 20x+19 і 19x+20 та значення ab + cd

Нехай aa, bb, cc, dd — дійсні числа такі, що min⁡(20x+19,19x+20)=(ax+b)−∣cx+d∣\min (20x+19, 19x+20) = (a x + b) - |c x + d| для всіх дійсних чисел xx. Знайдіть ab+cda b + c d.
10–11 класиЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-047

Шляхи без зіткнень у вершинах квадрата

Четверо гравців стоять у різних вершинах квадрата. Кожен з них незалежно вибирає вершину квадрата (можливо, ту, у якій він стоїть). Потім вони одночасно починають бігти по прямій до обраної вершини зі швидкістю 1010 миль/год, зупиняючись, коли досягнуть вершини. Якщо в будь-який момент двоє гравців, рухаються вони чи ні, опиняються в одному й тому самому місці (у вершині чи у внутрішній точці квадрата), вони зіштовхуються і падають. Скількома різними способами гравці можуть вибрати вершини, куди бігти, щоб ніхто з них не впав?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-052

Рівняння з цифрами двоцифрового числа

Нехай AA, BB — ненульові десяткові цифри, такі, що A⋅AB‾+B=BB‾A \cdot \overline{A B} + B = \overline{B B}. Знайдіть AB‾\overline{A B}.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-050

Ймовірність фальшивої монети з автоматом відбору

У Рейму є 20192019 монет C0,C1,…,C2018C_{0}, C_{1}, \ldots, C_{2018}, одна з яких фальшива, хоча на вигляд вони однакові (тож кожна з них з однаковою ймовірністю може бути фальшивою). У неї є автомат, який бере будь-які дві монети й вибирає одну, що не є фальшивою. Якщо обидві монети не фальшиві, автомат вибирає одну рівноймовірно навмання. Для кожного i=1,2,…,1009i=1,2, \ldots, 1009 вона один раз кладе C0C_{0} і CiC_{i} в автомат, і автомат вибирає CiC_{i}. Яка ймовірність того, що C0C_{0} фальшива?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-051

Трикутник із відношенням площ для вписаного кола

У △ABC\triangle ABC вписане коло з центром II дотикається до сторін ABAB і BCBC у точках XX і YY відповідно. Крім того, площа чотирикутника BXIYBXIY становить 25\frac{2}{5} площі трикутника ABCABC. Нехай pp — найменший можливий периметр такого △ABC\triangle ABC, що задовольняє ці умови та має цілі довжини сторін. Знайдіть найменшу можливу площу такого трикутника з периметром pp.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-054

Найменша сума чисельників дробів зі знаменниками 77, 91, 143

Нехай aa, bb, cc — натуральні числа такі, що a77+b91+c143=1\frac{a}{77} + \frac{b}{91} + \frac{c}{143} = 1 Яке найменше можливе значення a+b+ca + b + c?
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-055

Транзитивні відношення дружби й ворожнечі

На вечірці п'ятеро людей. Кожні двоє з них — друзі, вороги або френемі (що рівносильно тому, що вони одночасно і друзі, і вороги). Відомо, що для будь-яких трьох людей AA, BB, CC: - Якщо AA і BB — друзі, а BB і CC — друзі, то AA і CC — друзі; - Якщо AA і BB — вороги, а BB і CC — вороги, то AA і CC — друзі; - Якщо AA і BB — друзі, а BB і CC — вороги, то AA і CC — вороги. Скільки існує можливих конфігурацій стосунків між цими п'ятьма людьми?
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-056

Довжина DE при CD = 4 у рівносторонньому трикутнику

Рівносторонній △ABC\triangle ABC має сторону завдовжки 66. Нехай ω\omega — коло через AA і BB таке, що прямі CACA і CBCB обидві дотикаються до кола ω\omega. Точка DD на колі ω\omega така, що CD=4CD = 4. Нехай EE — перетин прямої CDCD з відрізком ABAB. Чому дорівнює довжина відрізка DEDE?
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-058

Шестикутник із рівносторонніх трикутників у трикутнику 3-4-5

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=3AB = 3, BC=4BC = 4 і CA=5CA = 5. Нехай A1,A2A_1, A_2 — точки на стороні BCBC, B1,B2B_1, B_2 — точки на стороні CACA, а C1,C2C_1, C_2 — точки на стороні ABAB. Припустимо, що існує точка PP така, що PA1A2PA_1A_2, PB1B2PB_1B_2 і PC1C2PC_1C_2 — рівні рівносторонні трикутники. Знайдіть площу опуклого шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-059

Випадкове блукання з геометричними стрибками

Жабеня Келвін живе у ставку з нескінченною кількістю листків латаття, пронумерованих 0,1,2,30, 1, 2, 3, і так далі. Келвін починає на лататті 00 і стрибає з латаття на латаття в такий спосіб: перебуваючи на лататті ii, він стрибає на латаття (i+k)(i+k) з імовірністю 12k\frac{1}{2^{k}} для k>0k > 0. Яка ймовірність того, що Келвін у якийсь момент своєї подорожі потрапить на латаття 20192019?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-060

Випадкові точки з розфарбуванням і сумою крайніх

2019 точок вибрано незалежно та рівномірно випадковим чином на проміжку [0,1][0,1]. Тайріцу навмання вибирає 1000 з них і фарбує їх у чорний колір, а решту залишає білими. Хікарі потім обчислює суму положень найлівішої білої точки та найправішої чорної точки. Яка ймовірність того, що ця сума не перевищує 1?
10–11 класиЗаміни, породжені симетрією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-061

Сума кубічних коренів для многочлена x³-3x²+1

Многочлен x3−3x2+1x^{3}-3 x^{2}+1 має три дійсні корені r1r_{1}, r2r_{2} і r3r_{3}. Обчисліть 3r1−23+3r2−23+3r3−23\sqrt[3]{3 r_{1}-2}+\sqrt[3]{3 r_{2}-2}+\sqrt[3]{3 r_{3}-2}
10–11 класиТеорема Вієта
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-062

Рівносторонній трикутник на комплексній площині

Комплексні числа a,b,ca, b, c утворюють рівносторонній трикутник зі стороною 1818 на комплексній площині. Якщо ∣a+b+c∣=36|a+b+c|=36, знайдіть ∣bc+ca+ab∣|bc+ca+ab|.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-063

Відношення площ трикутників з вписаним і зовнівписаним колами

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=5AB = 5, BC=8BC = 8, CA=11CA = 11. Вписане коло ω\omega і AA-зовнівписане коло Γ\Gamma мають центри I1I_1 і I2I_2 відповідно та дотикаються до сторони BCBC у точках D1D_1 і D2D_2 відповідно. Знайдіть відношення площі △AI1D1\triangle A I_1 D_1 до площі △AI2D2\triangle A I_2 D_2.
10–11 класиГомотерія і подібність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.