Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 821 задача
Складністьконкурсний, 6–11
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-073

Кількість прохідних лабіринтів 5×5

Лабіринт n×mn \times m — це сітка n×mn \times m, у якій кожна клітинка є або стіною, або порожньою. Лабіринт називається прохідним, якщо існує послідовність сусідніх порожніх клітинок від верхньої лівої клітинки до нижньої правої клітинки, яка не проходить крізь стіни. (Зокрема, верхня ліва та нижня права клітинки мають бути порожніми.) Нехай NN — кількість прохідних лабіринтів 5×55 \times 5. Оцініть NN. Оцінка E>0E>0 приносить ⌊20min⁡(NE,EN)2⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{N}{E}, \frac{E}{N}\right)^{2}\right\rfloor балів.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2018-004

Симетричні кубічні рівняння в дійсних числах

a) Якщо c(a3+b3)=a(b3+c3)=b(c3+a3)c\left(a^{3}+b^{3}\right)=a\left(b^{3}+c^{3}\right)=b\left(c^{3}+a^{3}\right) для додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c, то чи обов'язково a=b=ca=b=c? b) Якщо a(a3+b3)=b(b3+c3)=c(c3+a3)a\left(a^{3}+b^{3}\right)=b\left(b^{3}+c^{3}\right)=c\left(c^{3}+a^{3}\right) для додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c, то чи обов'язково a=b=ca=b=c?
10–11 класиСиметричні системи рівнянь2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-002

Колове розташування кульок із різними кольорами

Маємо 1000 кульок 40 різних кольорів, причому кульок кожного кольору є рівно 25. Знайдіть найменше значення nn з такою властивістю: якщо 1000 кульок довільно розкласти по колу, то завжди знайдуться nn кульок підряд, серед яких трапляються принаймні 20 різних кольорів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-003

Многочлени з умовою на значення в зсунутих коренях

Нехай k≥0k \geq 0 — ціле число. Знайдіть усі дійсні многочлени PP степеня kk з kk різними дійсними коренями, такі, що для всіх коренів aa многочлена PP виконується: P(a+1)=1P(a+1)=1
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…4 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-009

Функції з нерівністю f(x²)-f(y²)≤(f(x)+y)(x-f(y))

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, для яких f(x2)−f(y2)≤(f(x)+y)(x−f(y))f\left(x^{2}\right)-f\left(y^{2}\right) \leq (f(x)+y)(x-f(y)) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-007

Дотична до описаного кола перпендикулярна до сторони

Дано трикутник △ABC\triangle A B C з ∠C=90∘\angle C=90^{\circ}. Середину катета ACA C позначимо через DD, а ортогональну проєкцію CC на пряму BDB D позначимо через EE. Доведіть, що дотична в CC до описаного кола трикутника △AEC\triangle A E C перпендикулярна до гіпотенузи ABA B.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-031

Орієнтований 2-регулярний граф і його 1-регулярні підграфи

У країні Однобамії деякі пари міст сполучені дорогами з одностороннім рухом. Кожна дорога сполучає рівно два міста (дорогам дозволено перетинатися, наприклад, через мости), а між кожною парою міст є не більше однієї дороги. Ба більше, з кожного міста виходять рівно дві дороги і в кожне місто входять рівно дві дороги. Ми хочемо закрити половину доріг Однобамії так, щоб з кожного міста виходила рівно одна дорога і в кожне місто входила рівно одна дорога. Доведіть, що кількість способів зробити це є степенем двійки, більшим за 1 (тобто має вигляд 2n2^n для деякого цілого числа n≥1n \ge 1).
10–11 класиДвочасткові графи
Відбіркові тести на IMOTST-2018-041

Функціональне рівняння з композицією

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що задовольняють f(xy+f(xy))=2xf(y)f(xy + f(xy)) = 2x f(y) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-011

Перестановка з різними остачами часткових добутків

Нехай pp — просте число. Доведіть, що можна вибрати перестановку a1,a2,…,apa_{1}, a_{2}, \ldots, a_{p} чисел 1,2,…,p1,2, \ldots, p так, щоб числа a1,a1a2,a1a2a3,…,a1a2a3⋯apa_{1}, a_{1} a_{2}, a_{1} a_{2} a_{3}, \ldots, a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{p} давали попарно різні остачі при діленні на pp.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-016

Функціональне рівняння із замкненістю множини

Дано множину AA функцій f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Для всіх f1,f2∈Af_1, f_2 \in A існує f3∈Af_3 \in A така, що f1(f2(y)−x)+2x=f3(x+y)f_1\left(f_2(y)-x\right)+2 x=f_3(x+y) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Доведіть, що для всіх f∈Af \in A виконується: f(x−f(x))=0f(x-f(x))=0
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-017

Сума кутів у трикутнику з бісектрисою і центром описаного кола

У нерівнобедреному трикутнику △ABC\triangle A B C виконується ∠BAC=60∘\angle B A C=60^{\circ}. Нехай DD — точка перетину бісектриси кута ∠BAC\angle B A C зі стороною BCB C, OO — центр описаного кола трикутника △ABC\triangle A B C, а EE — точка перетину прямої AOA O з прямою BCB C. Доведіть, що ∠AED+∠ADO=90∘\angle A E D+\angle A D O=90^{\circ}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2018-021

Сума раціональних дробів дорівнює квадратному виразу

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть усі додатні дійсні числа xx, для яких nx2+22x+1+32x+2+…+(n+1)2x+n=nx+n(n+3)2.n x^{2} + \frac{2^{2}}{x+1} + \frac{3^{2}}{x+2} + \ldots + \frac{(n+1)^{2}}{x+n} = n x + \frac{n(n+3)}{2}.
10–11 класиПеретворення дробів
Відбіркові тести на IMOTST-2018-042

Послідовність фібоначчієвого типу з рекурентною сумою

Послідовність додатних дійсних чисел a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots задовольняє рівність an=an−1+an−2a_n = a_{n-1} + a_{n-2} при всіх n≥3n \ge 3. Послідовність b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \dots задана рівностями b1=a1b_1 = a_1, bn=an+(b1+b2+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_1 + b_2 + \dots + b_{n-1}) при парних n>1n > 1, bn=an+(b2+b4+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_2 + b_4 + \dots + b_{n-1}) при непарних n>1n > 1. Доведіть, що при n≥3n \ge 3 виконується 13<bnn⋅an<1\frac{1}{3} < \frac{b_n}{n \cdot a_n} < 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2018-024

Мінімальна кількість обмінів для збалансованих послідовностей

Нехай nn — натуральне число. Послідовність, що складається з 3n3 n літер, назвемо румунською, якщо літери I,MI, M і OO трапляються кожна рівно nn разів. Обмін — це переставлення двох сусідніх літер. Доведіть, що для кожної румунської послідовності XX існує румунська послідовність YY така, що для отримання послідовності YY з послідовності XX потрібно щонайменше 3n22\frac{3 n^{2}}{2} обмінів.
10–11 класиПерестановки2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-002

Двійкові послідовності, що містять 01

Скільки існує послідовностей чисел довжиною вісім, складених лише з 0 і 1, які містять код 01? (A) 64 (B) 128 (C) 192 (D) 247 (E) 255
10–11 класиПравила суму та добутку
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-004

Лицарі та брехуни на переписі

У селі Асіп усі мешканці належать до однієї з двох груп: Лицарі, які завжди кажуть правду, і Брехуни, які завжди брешуть. Сьогодні на щорічний перепис зі столиці прибув Великий Нотар, і всі мешканці вишикувалися один за одним перед ним. Кожен з них заявляє: «Кількість тих, хто не належить до моєї групи і стоїть у черзі переді мною, — парна». Крім цього, перші троє мешканців у черзі заявляють по порядку таке: «У селі є 999 мешканців», «Лицарів рівно 666», «В Асіпі є принаймні три Брехуни». Скільки Лицарів в Асіпі? (A) 0 (B) 1 (C) 501 (D) 666 (E) 997
10–11 класиПарність і непарність2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-005

Площа многокутника з квадратів на трапеції

ABCDABCD — рівнобічна трапеція з довжинами сторін AB=15AB=15, BC=DA=5BC=DA=5, CD=7CD=7. На сторонах трапеції ABCDABCD, зовні трапеції ABCDABCD, побудовано чотири квадрати. Згідно з рисунком, чому дорівнює площа многокутника A1A2B1B2C1C2D1D2A_1A_2B_1B_2C_1C_2D_1D_2? (A) 297+355297+35\sqrt{5} (E) 2005200\sqrt{5} (B) 396 (C) 423 (D) 105+1445105+144\sqrt{5}
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-006

Циклічні заміни у футбольній грі

Анналіза, Бруна і Чечилія грають у футбол: одна з них стоїть у воротах, а дві інші — на полі. Та, що забиває гол, залишається на полі, а та, що не забила, міняється місцями з воротаркою. Відомо, що Анналіза була на полі протягом 12 турів, а Бруна — протягом 21 туру, тоді як Чечилія була у воротах 8 разів. Хто починав у воротах? (A) Анналіза (B) Бруна (C) Чечилія (D) Анналіза або Бруна (але точно не Чечилія) (E) Це могла бути будь-яка з трьох подруг.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-007

Сума обернених добутків непарних чисел

Для кожного натурального числа nn позначимо через f(n)f(n) добуток усіх непарних натуральних чисел, не більших за 2n+12n+1 (наприклад, f(4)=1⋅3⋅5⋅7⋅9f(4)=1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9). Покладемо далі g(n)=nf(n)g(n)=\frac{n}{f(n)}. Що можна сказати про суму S=g(1)+g(2)+⋯+g(30)S=g(1)+g(2)+\cdots+g(30)? (A) S≤0.35S \leq 0.35 (B) 0.35<S≤0.490.35<S \leq 0.49 (C) 0.49<S≤0.500.49<S \leq 0.50 (D) 0.50<S≤0.510.50<S \leq 0.51 (E) S>0.51S>0.51
10–11 класиСуми послідовностей
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-008

Мінімальний степінь частки добутків многочленів

Ангела має в своєму розпорядженні многочлени x−1x-1, (x−1)(x−2)(x-1)(x-2), (x−1)(x−2)(x−3)(x-1)(x-2)(x-3), …\ldots аж до (x−1)(x−2)⋯(x−2017)(x−2018)(x-1)(x-2) \cdots (x-2017)(x-2018), і ділить їх на дві групи. Позначимо через p(x)p(x) добуток многочленів першої групи, а через q(x)q(x) — добуток многочленів другої групи. Ангела помічає, що многочлен p(x)p(x) ділить многочлен q(x)q(x), і що степінь частки q(x)p(x)\frac{q(x)}{p(x)} є найменшим можливим: чому дорівнює цей степінь?
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-001

Трикутник з перпендикулярністю бісектриси

Нехай ABCABC — трикутник, а PP — його внутрішня точка. Нехай HH — точка на стороні BCBC така, що бісектриса кута AHP^\widehat{AHP} перпендикулярна до прямої BCBC. Відомо, що ABC^=HPC^\widehat{ABC}=\widehat{HPC} і BPC^=130∘\widehat{BPC}=130^\circ. Знайдіть величину кута BAC^\widehat{BAC}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-004

Рівнобедрений трикутник з подібними надбудовами

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з основою BC=10BC = 10 і AB=ACAB = AC. На його двох бічних сторонах зовні побудовано два інші рівнобедрені трикутники DABDAB і EACEAC, обидва подібні до ABCABC, причому DA=DBDA = DB і EA=ECEA = EC. Відомо, що DE=45DE = 45. Знайти довжину сторони ABAB. (A) 15 (B) 20 (C) 959\sqrt{5} (D) 22.5 (E) Неможливо визначити, маючи лише наведені дані.
9–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-005

Трицифрові циклічні кратні

Вероніка помічає, що 81⋅3=24381 \cdot 3=243 і 81⋅4=32481 \cdot 4=324 та запитує, скільки існує чисел mm з 10≤m≤9910 \leq m \leq 99 таких, що 3m=ABC3 m=A B C і 4m=CAB4 m=C A B, де A,BA, B і CC — десяткові цифри (допустимими вважаються також випадки, коли одна або кілька з цифр A,B,CA, B, C дорівнюють нулю). (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 6
9–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-007

Радіус кола, описаного навколо точок дотику трьох кіл

Дано три кола Γ,Γ1,Γ2\Gamma, \Gamma_{1}, \Gamma_{2} з радіусами відповідно 6, 3, 2. Кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} дотикаються зовнішньо в точці AA, а Γ\Gamma дотикається до обох інших кіл внутрішньо, відповідно в точках A1A_{1} та A2A_{2}. Визначте радіус кола, описаного навколо трикутника AA1A2A A_{1} A_{2}. (A) 262 \sqrt{6} (B) 5 (C) 2+3+6\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6} (D) 4+34+\sqrt{3} (E) 6
9–11 класиКола, що дотикаються
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-008

Дільники чисел цифрового годинника

Розглянемо цифровий годинник і числа, утворені чотирма цифрами (години і хвилини): 10:45 дає число 1045. Яке найменше натуральне число, яке не ділить жодного з чисел, що з’являються з 11:00 до 12:59?
9–11 класиДільники та кратні (базові власти…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.