Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 821 задача
Складністьконкурсний, 6–11
Відбіркові тести на IMOTST-2014-001

Значення функції з умовою f(n) = f(n/p) − f(p)

Нехай f:Z>0→Rf: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{R} — функція, для якої виконується: для всіх n>1n>1 існує простий дільник pp числа nn такий, що f(n)=f(np)−f(p)f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p) Крім того, відомо, що f(22014)+f(32015)+f(52016)=2013f\left(2^{2014}\right)+f\left(3^{2015}\right)+f\left(5^{2016}\right)=2013. Обчисліть f(20142)+f(20153)+f(20165)f\left(2014^{2}\right)+f\left(2015^{3}\right)+f\left(2016^{5}\right).
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2014-013

Рівні відрізки при перетині медіани та чевіани

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник. Нехай MM — середина сторони BCBC, а DD — внутрішня точка сторони ABAB. Точку перетину відрізків AMAM і CDCD позначимо через EE. Припустімо, що ∣AD∣=∣DE∣|AD|=|DE|. Доведіть, що ∣AB∣=∣CE∣|AB|=|CE|.
10–11 класиТеорема Менелая5 розв’язків
Відбіркові тести на IMOTST-2014-007

Множини сум і часток цілих чисел

Множини AA і BB є підмножинами натуральних чисел. Сума будь-яких двох різних елементів із AA є елементом BB. Частка будь-яких двох різних елементів із BB (при цьому більше ділимо на менше) є елементом AA. Визначте найбільшу можливу кількість елементів у A∪BA \cup B.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-012

Рівняння x f(x y) + f(-y) = x f(x)

Знайдіть усі функції f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}, для яких: xf(xy)+f(−y)=xf(x)x f(x y)+f(-y)=x f(x) для всіх дійсних x,yx, y, відмінних від 00.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-014

Рівні хорди з кола ортоцентра

Нехай HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCA B C. Пряма через AA, перпендикулярна до сторони ACA C, і пряма через BB, перпендикулярна до сторони BCB C, перетинаються в точці DD. Коло з центром CC, що проходить через HH, перетинає описане коло трикутника ABCA B C в точках EE і FF. Доведіть, що ∣DE∣=∣DF∣=∣AB∣|D E|=|D F|=|A B|.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-020

Рівняння 1/(a + bc) + 1/(b + ac) = 1/(a + b)

Нехай aa, bb і cc — раціональні числа, для яких a+bca+b c, b+acb+a c і a+ba+b усі відмінні від 00 і для яких виконується 1a+bc+1b+ac=1a+b\frac{1}{a+b c}+\frac{1}{b+a c}=\frac{1}{a+b} Доведіть, що число (c−3)(c+1)\sqrt{(c-3)(c+1)} раціональне.
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Відбіркові тести на IMOTST-2014-021

Пари простих чисел, сума степенів яких є квадратом

Знайдіть усі пари (p,q)(p, q) простих чисел, для яких pq+1+qp+1p^{q+1} + q^{p+1} є квадратом.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-022

Многочлени P з рівністю (x+2014)P(x)=xP(x+1)

Знайдіть усі многочлени PP з дійсними коефіцієнтами, такі, що для всіх x∈Rx \in \mathbb{R} виконується: (x+2014)P(x)=xP(x+1)(x+2014) P(x) = x P(x+1)
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-023

Многочлен без дійсних коренів з обмеженими коефіцієнтами

Нехай nn — парне натуральне число, а c1,c2,…,cn−1c_1, c_2, \dots, c_{n-1} — дійсні числа, що задовольняють умову ∑i=1n−1∣ci−1∣<1.\sum_{i=1}^{n-1} |c_i - 1| < 1. Доведіть, що многочлен 2xn−cn−1xn−1+cn−2xn−2−⋯−c1x+22x^n - c_{n-1}x^{n-1} + c_{n-2}x^{n-2} - \dots - c_1x + 2 не має дійсних коренів.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2014-029

Покриття чисел перевертанням аркушів

Нехай nn — натуральне число. Даніель і Мерлін грають у гру. Даніель має kk аркушів паперу, що лежать поруч на столі, де kk — натуральне число. Він пише на кожному аркуші паперу кілька з чисел від 1 до nn включно (можна жодного, можна й усі). На звороті кожного аркуша паперу він пише саме решту чисел від 1 до nn включно. Коли Даніель закінчить, Мерлін може покласти кілька аркушів паперу зворотом догори (він може не перевертати жодного аркуша або ж перевернути всі). Якщо йому вдасться зробити всі числа від 1 до nn включно одночасно видимими (повторення дозволені), то він виграє. Знайдіть найменше kk, для якого Мерлін завжди може виграти, що б не робив Даніель.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-035

Спільні ребра двох гамільтонових обходів сітки

Квадрат 7×77 \times 7 поділено на 49 маленьких квадратів 1×11 \times 1. Дві мурахи повзуть уздовж сторін маленьких квадратів, причому кожна мураха проходить власним замкненим шляхом і відвідує всі 64 вершини маленьких квадратів рівно один раз. Яка мінімальна кількість сторін маленьких квадратів, якими проходять обидві мурахи?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2014-001

Трицифрові числа з дільником після викреслення нулів

Для кожного трицифрового натурального числа nn (отже, з першою цифрою, відмінною від нуля) розглянемо число n0n_{0}, отримане з nn викресленням усіх його цифр, що дорівнюють нулю. Наприклад, якщо n=205n=205, то n0=25n_{0}=25. Визначити кількість трицифрових чисел nn, для яких n0n_{0} є дільником числа nn, відмінним від nn.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-004

Ймовірність однакових розфарбованих тетраедрів

Грані двох однакових правильних тетраедрів фарбують у червоний, білий, зелений, синій кольори; кольори вибирають випадково, але всі чотири грані кожного тетраедра мають бути різного кольору. Яка ймовірність того, що після фарбування два тетраедри будуть нерозрізнюваними? (A) 14!\frac{1}{4!} (B) 24!\frac{2}{4!} (C) 14\frac{1}{4} (D) 12\frac{1}{2} (E) 1
9–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-005

Селяни, вовкулаки і некроманти в колі

60 жителів села можуть бути трьох типів: селяни (які завжди кажуть правду), вовкулаки (які завжди брешуть) і некроманти (які відповідають як захочуть). Окрім такої поведінки члени кожної групи зовсім не відрізняються від членів інших. З приходом відвідувача вони стають у коло і кожен заявляє, що житель праворуч від нього — вовкулака. Яке з цих тверджень обов’язково правдиве? (A) Є хоча б один некромант. (B) Вовкулак не більше 20. (C) Селян не більше 30. (D) Некромантів не більше 40. (E) Жодне з попередніх.
9–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-006

Три дотичні піци на прямокутному столі

Троє друзів заходять до піцерії Джорджо і сідають кожен біля одного боку прямокутного столу; перший сидить біля боку довжиною 70 см70~\text{см}, другий і третій сидять один навпроти одного, біля боків довжиною ll. Піци мають діаметр 30 см30~\text{см}; Джорджо подає піцу першому відвідувачу так, щоб вона дотикалася до його боку столу в середній точці, а піци двох інших — так, щоб вони дотикалися до відповідних боків столу і до першої піци. Яке найменше значення ll (у сантиметрах), за якого три піци можуть повністю поміститися на столі? (A) 10510 \sqrt{5} (B) 20+5520+5 \sqrt{5} (C) 15+10515+10 \sqrt{5} (D) 30+10530+10 \sqrt{5} (E) 60
9–11 класиКола, що дотикаються
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-007

Ітероване відображення останніх двох цифр

Давіде грає в таку гру: він починає з цілого числа від 1 до 99 і на кожному ході замінює число nn, яке має в цей момент, на число, утворене останніми двома цифрами числа 51n+5051 n+50 (або лише останньою цифрою, якщо передостання дорівнює 0). Скільки різних чисел він може отримати щонайбільше протягом перших 100 ходів однієї партії? (A) 2 (B) 4 (C) 51 (D) 99 (E) 100
9–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-008

Двоцифрове число зі змішаною подільністю

Алессандро, Даніеле і Мануела обговорюють натуральне двоцифрове число nn. Кожен із них робить два твердження, але оскільки всі вони трохи слабкі в математиці, кожен робить одне правдиве твердження й одне хибне. Алессандро каже: «nn — парне. Крім того, воно кратне 3.»; Даніеле відповідає: «Так, nn кратне 3. Крім того, цифра одиниць числа nn дорівнює 5.»; Мануела каже нарешті: «nn кратне 5. Сума його цифр дорівнює 12.». Скільки значень може набувати nn? (A) Такого nn не існує. (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
9–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-009

Степені четвірки з обмеженими цифрами в трійковій системі

Скільки існує натуральних чисел, які є степенем 44 і записуються в системі числення з основою 33 лише цифрами 00 і 11, причому 00 вживається скільки завгодно разів (можливо, жодного), а 11 — щонайбільше двічі? (A) 44 (B) 22 (C) 11 (D) 00 (E) Нескінченно багато.
9–11 класиСистеми числення
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-010

Дійсні розв'язки симетричної системи

Дано систему {x+y+z=7x2+y2+z2=27xyz=5\begin{cases} x + y + z = 7 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 27 \\ xyz = 5 \end{cases} Скільки впорядкованих трійок дійсних чисел (x,y,z)(x, y, z) є її розв'язками? (A) 6 (B) 3 (C) 2 (D) 0 (E) Нескінченно багато.
9–11 класиСиметричні системи рівнянь
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-011

Вибір напрямків без зіткнень на підйомнику

П’ятеро друзів мають спуститися з п’ятимісної крісельної канатної дороги і можуть зробити це у трьох різних напрямках: ліворуч, прямо або праворуч. Спускаючись із крісельного підйомника, легко зіткнутися зі своїми супутниками. Наприклад: якщо я вирішую їхати прямо, а хтось ліворуч від мене — праворуч, ми зіштовхуємося; те саме трапляється, якщо я вирішую їхати праворуч, а хтось праворуч від мене їде прямо (або ліворуч); якщо ж хтось їде в тому самому напрямку, що й я, ми не зіштовхуємося; і так далі. Якщо кожен із п’ятьох друзів навмання обирає, куди їхати, з імовірністю 1/31 / 3 для кожного напрямку, яка ймовірність того, що зіткнень не буде? (A) 2527\frac{25}{27} (B) 35\frac{3}{5} (C) 4081\frac{40}{81} (D) 13\frac{1}{3} (E) 781\frac{7}{81}
9–11 класиКомбінації
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-012

Ненульові коефіцієнти добутку многочленів

Розглянемо многочлен p(x)=(1+x31)(1+x32)(1+x33)(1+x34)(1+x35)(1+x39)p(x)=\left(1+x^{3^{1}}\right)\left(1+x^{3^{2}}\right)\left(1+x^{3^{3}}\right)\left(1+x^{3^{4}}\right)\left(1+x^{3^{5}}\right)\left(1+x^{39}\right), і розкриємо добуток, отримавши вираз вигляду a0+a1x+a2x2+…+a402x402a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{402} x^{402}, де, наприклад, a0=a402=1a_{0}=a_{402}=1. Скільки серед коефіцієнтів a0,…,a402a_{0}, \ldots, a_{402} відмінних від нуля? (A) 52 (B) 56 (C) 60 (D) 64 (E) 376
9–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-013

Різні підсумкові суми очок за призові місця

Пілот повітряного змія провів цього року вдалий чемпіонат, 16 разів потрапивши на п'єдестал. У кожній гонці переможець здобуває 10 очок, другий — 8, а третій — 5, тоді як, починаючи з четвертого місця, очки не нараховуються. Зі скількома різними підсумковими сумами очок він міг завершити чемпіонат? (A) 153 (B) 80 (C) 78 (D) 75 (E) Жодна з попередніх.
9–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-014

Площа трапеції через бісектриси трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами ABAB, CACA і BCBC завдовжки відповідно 1717, 2525 і 2626. Нехай XX і YY — точки перетину прямої, що проходить через CC паралельно ABAB, з бісектрисами кутів CA^BC\widehat{A}B і AB^CA\widehat{B}C відповідно. Чому дорівнює площа трапеції ABXYABXY? (A) 816 (B) 338(1+2)338(1+\sqrt{2}) (C) 784 (D) 408 (E) Визначити за наявними даними неможливо.
9–11 класиГомотерія і подібність
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-015

Показник двійки в добутку ітерованих степенів п'ятірки

Який показник простого числа 22 в розкладі на множники числа (5−1)(55−1)…(55..5−1)(5-1)\left(5^{5}-1\right) \ldots\left(5^{5 . .^{5}}-1\right) де в кожному множнику в показнику на одну «5» більше, ніж у попередньому, а в останньому множнику п'ятірок у показниках рівно 20142014?
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-016

Шляхи коня на шаховій дошці 3 на 3

Кінь стоїть у кутовій клітинці шахової дошки 3×33 \times 3. Хід полягає в переміщенні коня в клітинку, досяжну двома кроками по горизонталі з подальшим одним кроком по вертикалі, або двома кроками по вертикалі з подальшим одним кроком по горизонталі. Скількома способами можна перемістити його в протилежну кутову клітинку рівно за 12 ходів?
9–11 класиШляхи на графах

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.