Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 821 задача
Складністьконкурсний, 6–11
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-055

Трапеція, вписана в параболу

Трапеція ABCDABCD вписана в параболу y=x2y = x^{2} так, що A=(a,a2)A = (a, a^{2}), B=(b,b2)B = (b, b^{2}), C=(−b,b2)C = (-b, b^{2}) і D=(−a,a2)D = (-a, a^{2}) для деяких додатних дійсних чисел a,ba, b, де a>ba > b. Якщо AD+BC=AB+CDAD + BC = AB + CD, а AB=34AB = \frac{3}{4}, знайдіть aa.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-057

Система квадратних рівнянь у дійсних числах

Знайдіть усі трійки дійсних чисел (a,b,c)(a, b, c) такі, що a2+2b2−2bc=16a^{2}+2 b^{2}-2 b c=16 і 2ab−c2=162 a b-c^{2}=16.
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-058

Переріз гіперкуба з найбільшою кількістю граней

Нехай WW — гіперкуб {(x1,x2,x3,x4)∣0≤x1,x2,x3,x4≤1}\{ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \mid 0 \leq x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \leq 1 \}. Перетин WW з гіперплощиною, паралельною до x1+x2+x3+x4=0x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, є невиродженим тривимірним многогранником. Яка найбільша можлива кількість граней цього многогранника?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-059

Геометрична прогресія з комплексним знаменником

Нехай z0+z1+z2+⋯z_{0} + z_{1} + z_{2} + \cdots — нескінченний геометричний ряд з комплексними членами, такий, що z0=1z_{0} = 1 і z2013=120132013z_{2013} = \frac{1}{2013^{2013}}. Знайдіть суму всіх можливих сум цього ряду.
10–11 класиТеорема Вієта
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-060

Рівносторонні трикутники, що заповнюють прямокутний трикутник

Нехай △XYZ\triangle X Y Z — прямокутний трикутник з ∠XYZ=90∘\angle X Y Z=90^{\circ}. Припустимо, існує нескінченна послідовність рівносторонніх трикутників X0Y0T0,X1Y1T1,…X_{0} Y_{0} T_{0}, X_{1} Y_{1} T_{1}, \ldots така, що X0=XX_{0}=X, Y0=YY_{0}=Y, XiX_{i} лежить на відрізку XZX Z при всіх i≥0i \geq 0, YiY_{i} лежить на відрізку YZY Z при всіх i≥0i \geq 0, XiYiX_{i} Y_{i} перпендикулярний до YZY Z при всіх i≥0i \geq 0, TiT_{i} і YY розділені прямою XZX Z при всіх i≥0i \geq 0, а XiX_{i} лежить на відрізку Yi−1Ti−1Y_{i-1} T_{i-1} при i≥1i \geq 1. Нехай P\mathcal{P} — об'єднання цих рівносторонніх трикутників. Якщо площа фігури P\mathcal{P} дорівнює площі трикутника XYZX Y Z, знайдіть XYYZ\frac{X Y}{Y Z}.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-062

Цілочисельні трійки з симетричною сумою

Знайдіть кількість впорядкованих трійок цілих чисел (a,b,c)(a, b, c) таких, що 1≤a,b,c≤1001 \leq a, b, c \leq 100 і a2b+b2c+c2a=ab2+bc2+ca2a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a = a b^{2} + b c^{2} + c a^{2}.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-066

Ймовірність парності цілої частини кореня з відношення

Нехай xx і yy вибрано випадково й рівномірно з інтервалу (0,1)(0,1). Яка ймовірність того, що ⌊xy⌋\left\lfloor\sqrt{\frac{x}{y}}\right\rfloor парне? Підказка: ∑n=1∞1n2=π26\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-068

Сума степенів зі спадними показниками

Обчисліть значення 125+224+323+…+242+2511^{25} + 2^{24} + 3^{23} + \ldots + 24^{2} + 25^{1}. Якщо ваша відповідь — AA, а правильна відповідь — CC, то ваш результат за цю задачу становитиме ⌊25min⁡((AC)2,(CA)2)⌋\left\lfloor 25 \min \left(\left(\frac{A}{C}\right)^{2}, \left(\frac{C}{A}\right)^{2}\right)\right\rfloor.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-073

Упорядкування трансцендентних і алгебраїчних чисел

Виберіть підмножину з принаймні чотирьох із цих семи чисел, упорядкуйте їх від найменшого до найбільшого та запишіть їхні позначки (відповідні літери від AA до GG) у цьому порядку: (A)(A) π\pi; (B)(B) 2+3\sqrt{2}+\sqrt{3}; (C)(C) 10\sqrt{10}; (D)(D) 355113\frac{355}{113}; (E)(E) 16arctg⁡15−4arctg⁡124016 \operatorname{arctg} \frac{1}{5} - 4 \operatorname{arctg} \frac{1}{240}; (F)(F) ln⁡(23)\ln(23); (G)(G) 2e2^{\sqrt{e}}. Якщо порядок вибраних вами чисел правильний і ви вибрали принаймні 4 числа, то ваш бал за цю задачу становитиме (N−2)(N−3)(N-2)(N-3), де NN — розмір вашої підмножини; інакше ваш бал дорівнює 00.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-024

Країни з простою кількістю робочих груп

У Дивокраї уряд кожної країни складається рівно з aa чоловіків і bb жінок, де aa і bb — фіксовані натуральні числа, причому b>1b > 1. Для поліпшення відносин між країнами утворюють усі можливі робочі групи, що складаються рівно з одного члена уряду від кожної країни, серед яких принаймні nn жінок (де nn — фіксоване невід'ємне ціле число). Одна й та сама особа може належати багатьом робочим групам. Знайдіть усі можливі значення кількості країн у Дивокраї, якщо кількість усіх робочих груп є простою.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Відбіркові тести на IMOTST-2013-025

Прості основи з сумою цифр числа 2013 рівною 11

Знайдіть усі прості числа pp, для яких існують натуральне число mm і невід'ємні цілі числа a0,a1,…,ama_0, a_1, \dots, a_m, менші за pp, такі, що {a0+a1p+⋯+am−1pm−1+ampm=2013,a0+a1+⋯+am−1+am=11.\begin{cases} a_0 + a_1 p + \dots + a_{m-1} p^{m-1} + a_m p^m = 2013, \\ a_0 + a_1 + \dots + a_{m-1} + a_m = 11. \end{cases}
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-029

Розбиття чисел із сумою 2013 на групи з сумою до 1

Натуральне число nn має таку властивість: Для довільних дійсних чисел a1,a2,…,ada_{1}, a_{2}, \ldots, a_{d}, які задовольняють як a1+a2+…+ad=2013a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{d}=2013, так і 0≤ai≤10 \leq a_{i} \leq 1 для i=1,2,…,di=1,2, \ldots, d, існує розбиття множини цих дійсних чисел на nn попарно неперетинних підмножин (деякі з яких можуть бути порожніми), так, щоб сума чисел у кожній підмножині була не більшою за 1. Знайдіть найменше число nn із цією властивістю.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-026

Монети номіналом 11 і 12 та неподільна здобич

Центральний банк Сикінії карбує монети номіналом 11 і 12 кулотників. Під час пограбування 11 сикінійських розбійників зламали сейф і викрали монети загальною вартістю 5940 кулотників. Вони деякий час намагаються поділити здобич порівну між собою — тобто так, щоб кожен отримав однаково, — але їм це ніяк не вдається; через деякий час їхній ватажок заявляє, що обміркував це і що це насправді неможливо. Доведіть, що вони не викрали жодної монети номіналом 12 кулотників.
10–11 класиНСД та НСК
Відбіркові тести на IMOTST-2013-003

Хорда-дотична до внутрішнього кола

На площині лежать два концентричні кола з радіусами r1=13r_{1}=13 і r2=8r_{2}=8. Нехай ABAB — діаметр більшого кола, а BCBC — його хорда, яка дотикається до меншого кола в точці DD. Обчисліть довжину відрізка ADAD.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2013-005

Біноміальна сума, що є квадратом цілого числа

Доведіть, що ∑n=020134026!(n!(2013−n)!)2\sum_{n=0}^{2013} \frac{4026!}{(n!(2013-n)!)^{2}} є квадратом цілого числа.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2013-006

Трапеція з трикутниками рівної площі

У трапеції ABCDA B C D виконується AB∥CDA B \| C D. Нехай MM — середина діагоналі ACA C. Припустимо, що трикутники ABMA B M і ACDA C D мають однакову площу. Доведіть, що DM∥BCD M \| B C.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2013-004

Система симетричних рівнянь з дійсними числами

Знайдіть усі четвірки (a,b,c,d)(a, b, c, d) дійсних чисел, для яких виконується ab+c+d=3,bc+d+a=5,cd+a+b=2,da+b+c=6.\begin{aligned} & a b + c + d = 3, \\ & b c + d + a = 5, \\ & c d + a + b = 2, \\ & d a + b + c = 6. \end{aligned}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Відбіркові тести на IMOTST-2013-009

Допустимі множини цілих чисел

Множина AA цілих чисел називається допустимою, якщо вона має таку властивість: Для x,y∈Ax, y \in A (x=yx = y дозволено) виконується x2+kxy+y2∈Ax^{2} + k x y + y^{2} \in A для кожного цілого числа kk. Знайдіть усі пари m,nm, n відмінних від нуля цілих чисел, для яких єдина допустима множина, що містить як mm, так і nn, — це множина Z\mathbb{Z} усіх цілих чисел.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Відбіркові тести на IMOTST-2013-008

Замкнений шлях у прямокутнику на решітці

Нехай m,n⩾4m, n \geqslant 4 — два цілі числа. Розглянемо клітчастий прямокутник m×nm \times n, утворений із m+1m+1 горизонтальних і n+1n+1 вертикальних відрізків. Точки перетину цих відрізків називаються вершинами. Нехай PP — замкнений шлях без самоперетинів, який проходить через кожну з (m−1)(n−1)(m-1)(n-1) внутрішніх вершин, але не проходить через жодну із зовнішніх вершин. Позначимо через AA кількість внутрішніх вершин, через які PP проходить прямолінійно, через BB — кількість квадратів решітки, у яких PP використовує рівно дві сторони, які до того ж лежать одна навпроти одної, а через CC — кількість квадратів решітки, у яких PP не використовує жодної сторони. Доведіть, що A=B−C+m+n−1A=B-C+m+n-1. (На рисунку показано ситуацію з m=4,n=5,A=4,B=1m=4, n=5, A=4, B=1 і C=5C=5.)
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2013-010

Ціле n, для якого дріб є квадратом раціонального числа

Знайдіть усі цілі числа nn, для яких 4n−2n+5\frac{4 n-2}{n+5} є квадратом раціонального числа. (Раціональне число — це число з Q\mathbb{Q}.)
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-012

Ітероване перетворення трійки через суму-різницю

Дано трійку різних натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c), для яких a+b+c=2013a+b+c=2013. Крок полягає в заміні трійки (x,y,z)(x, y, z) на трійку (y+z−x,z+x−y,x+y−z)(y+z-x, z+x-y, x+y-z). Доведіть, що, починаючи з трійки (a,b,c)(a, b, c), після 10 кроків дістанемо трійку, яка містить принаймні одне від’ємне число.
10–11 класиІнші інваріанти3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-046

Нерівність для зважених сум

Нехай x1,…,xnx_1, \dots, x_n — невід'ємні дійсні числа, не всі з яких дорівнюють нулю. (i) Доведіть, що 1≤(x1+x22+x33+⋯+xnn)⋅(x1+2x2+3x3+⋯+nxn)(x1+x2+x3+⋯+xn)2≤(n+1)24n.1 \le \frac{\left(x_1 + \frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{3} + \dots + \frac{x_n}{n}\right) \cdot \left(x_1 + 2x_2 + 3x_3 + \dots + nx_n\right)}{\left(x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n\right)^2} \le \frac{(n+1)^2}{4n}. (ii) Покажіть, що для кожного n≥1n \ge 1 обидві нерівності можуть виконуватись як рівності.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2013-028

Надійні числа в монотонній послідовності

Нехай a1⩽a2⩽…a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \ldots — монотонно зростаюча послідовність натуральних чисел. Натуральне число nn називається надійним, якщо існує натуральний індекс ii, для якого n=iain=\frac{i}{a_{i}}. Доведіть: якщо 2013 є надійним, то 20 також є надійним.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові тести на IMOTST-2013-017

Функціональне рівняння f(x+yf(x))=f(xf(y))-x+f(y+f(x))

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, які задовольняють рівність f(x+yf(x))=f(xf(y))−x+f(y+f(x))f(x+y f(x))=f(x f(y))-x+f(y+f(x)) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-034

Степені у показниковій послідовності

Назвемо кортеж (bm,bm+1,…,bn)(b_m, b_{m+1}, \dots, b_n) цілих чисел досконалим, якщо виконано обидві такі умови: 1. Існує ціле число a>1a > 1 таке, що bk=ak+1b_k = a^k + 1 для всіх k=m,m+1,…,nk = m, m+1, \dots, n; 2. Для всіх k=m,m+1,…,nk = m, m+1, \dots, n існує просте число qq і невід'ємне ціле число tt такі, що bk=qtb_k = q^t. Доведіть, що якщо n−mn - m достатньо велике, то досконалих кортежів не існує, і знайдіть усі досконалі кортежі з максимальною кількістю компонентів.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.