Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 821 задача
Складністьконкурсний, 6–11
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-035

Біноміальний хвіст з великим відхиленням

Припустімо гіпотетично, що певне дуже корумповане політичне утворення в одному зі всесвітів проводить вибори з двома кандидатами, скажімо AA і BB. Усього подано 5 825 0435\,825\,043 голосів, але через раптову зливу всі бюлетені намокли. Не розгубившись, члени виборчої комісії вирішують вгадати, що написано в бюлетенях. Кожен бюлетень з ймовірністю 51%51\% буде зараховано як голос за AA, а з ймовірністю 49%49\% — як голос за BB. Ймовірність того, що переможе BB, дорівнює 10−X10^{-X}. Чому дорівнює XX, округлене до найближчого десятка?
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-037

Оптимальний маршрут евклідової задачі комівояжера

A=(0,428)B=(9,85)C=(42,865)D=(192,875)E=(193,219)F=(204,108)G=(292,219)H=(316,378)I=(375,688)J=(597,498)K=(679,766)L=(739,641)M=(772,307)N=(793,0)\begin{array}{rlrr} A=(0,428) & B=(9,85) & C=(42,865) & D=(192,875) \\ E=(193,219) & F=(204,108) & G=(292,219) & H=(316,378) \\ I=(375,688) & J=(597,498) & K=(679,766) & L=(739,641) \\ & M=(772,307) & & N=(793,0) \\ & \end{array} Муха стартує з AA, відвідує всі інші точки й повертається до AA так, щоб мінімізувати загальну подолану відстань. Яким шляхом полетіла муха? Наведіть назви точок, які вона відвідує, по порядку. Ваша оцінка становитиме 20+⌊ оптимальна відстань ⌋−⌊ ваша відстань ⌋20+\lfloor\text{ оптимальна відстань }\rfloor-\lfloor\text{ ваша відстань }\rfloor або 00, залежно від того, яке з цих значень більше.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2006-004

Отримання вершини куба відбиттями

Якщо задано множину точок у просторі, то можна точку з цієї множини центрально-симетрично відобразити відносно іншої точки цієї множини і додати її образ до множини. Якщо ми починаємо з множини, що складається із семи з восьми вершин куба, то чи можемо ми після скінченної кількості кроків отримати восьму вершину в множині?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові тести на IMOTST-2006-012

Спільна точка висот у конфігурації двох кіл

Кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} перетинаються в точках PP і QQ. Нехай AA — точка на колі Γ1\Gamma_{1}, відмінна від PP і QQ. Прямі APA P і AQA Q перетинають Γ2\Gamma_{2} ще раз у точках BB і CC відповідно. Доведіть, що висота з AA у трикутнику ABCA B C проходить через точку, незалежну від вибору AA.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2006-015

Рівняння f(x)f(y) + f(a/x)f(a/y) = 2f(xy)

Нехай R>0\mathbb{R}_{>0} — множина додатних дійсних чисел. Нехай a∈R>0a \in \mathbb{R}_{>0} задано. Знайдіть усі функції f:R>0→Rf: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R} такі, що f(a)=1f(a)=1 і ∀x,y∈R>0:f(x)f(y)+f(ax)f(ay)=2f(xy)\forall x, y \in \mathbb{R}_{>0}: f(x) f(y)+f\left(\frac{a}{x}\right) f\left(\frac{a}{y}\right)=2 f(x y)
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2006-018

Біноміальний коефіцієнт мінус ціла частина кратний 7

Нехай ⌊x⌋\lfloor x\rfloor — найбільше ціле число, менше або рівне xx. Нехай задано n∈N,n≥7n \in \mathbb{N}, n \geq 7. Доведіть, що (n7)−⌊n7⌋\binom{n}{7}-\left\lfloor\frac{n}{7}\right\rfloor ділиться на 7.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбіркові тести на IMOTST-2006-024

Нерівність з √ab+c при 1/a+1/b+1/c=1

Нехай a,b,ca, b, c — додатні дійсні числа, для яких 1a+1b+1c=1\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1. Доведіть нерівність ab+c+bc+a+ca+b≥abc+a+b+c\sqrt{a b+c}+\sqrt{b c+a}+\sqrt{c a+b} \geq \sqrt{a b c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Італійська математична олімпіадаITAMO-2006-001

Значення карт із сумою 15

Роза і Савіно грають у таку гру з неаполітанськими картами (40 карт, пронумерованих від 1 до 10 чотирьох різних мастей): спочатку вони ділять між собою всі 40 карт (по 20 кожному), потім по черзі кладуть на стіл по одній карті. Коли деякі з карт на столі мають значення, сума яких точно дорівнює 15, ці карти вилучають з гри (якщо є кілька способів отримати суму 15, гравець, який поклав останню карту, вирішує, які саме карти із сумою значень 15 вилучити). Наприкінці партії в Савіно на руках залишилися 2 карти (5 і 3), на столі — одна карта (9), а в Рози на руках — одна карта. Яке значення карти Рози?
10–11 класиОстача від ділення
Італійська математична олімпіадаITAMO-2006-002

Квадрати, що на 144 більші за степінь простого числа

Знайдіть усі значення m,n,pm, n, p такі, що pn+144=m2p^{n}+144=m^{2}, де mm та nn — натуральні числа, а pp — просте число.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2006-003

Геометричне місце ортоцентра трикутника на колі

Нехай Γ\Gamma — коло, а AA і BB — дві різні точки кола Γ\Gamma, які не є діаметрально протилежними. Нехай PP — змінна точка кола Γ\Gamma, відмінна від AA і від BB, а HH — ортоцентр трикутника ABPA B P. Визначте геометричне місце, яке описує HH при зміні PP.
10–11 класиТочка перетину висот3 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2006-010

Сучасні числа як точні квадрати

Число називається «сучасним», якщо в десятковій системі його можна одержати конкатенацією кількох десяткових записів числа 20062006: наприклад, 200620062006200620062006 — сучасне, тоді як 2020060620200606 і 20062002006200 — ні. Скільки цифр має найменший додатний сучасний точний квадрат? (A) 32 (B) 64 (C) 100 (D) 1000 (E) такого числа не існує.
9–11 класиПарність та непарність
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2006-005

Лицарі та брехуни в барі

Мешканці острова — або брехуни, або лицарі: лицарі завжди кажуть правду, брехуни завжди брешуть. Якось увечері в барі Альберто каже: «Бруно — лицар»; Бруно каже: «......всі троє лицарі» (тієї миті повз проїжджає вантажівка, тож незрозуміло, чи Бруно сказав «Ми всі...» чи «Ми не всі...»); Карло каже: «Бруно сказав, що ми не всі троє лицарі». Скільки з них лицарів? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) неможливо визначити.
9–11 класиРозбиття на випадки2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2006-006

Зростання фігур на трикутній решітці

Розглянемо площину, замощену рівносторонніми трикутниками, і нехай F0F_{0} — довільний з них. Побудуємо послідовність дедалі більших фігур у такий спосіб: F1F_{1} — многокутник, який отримуємо, додаючи до F0F_{0} рамку, утворену всіма трикутниками замощення, що дотикаються до F0F_{0} (стороною або вершиною), F2F_{2} — многокутник, який отримуємо, додаючи до F1F_{1} рамку, утворену трикутниками, що дотикаються до F1F_{1}, і аналогічно будуємо наступні аж до F10F_{10}. Зі скількох трикутників замощення складається цей останній многокутник? (A) 541 (B) 661 (C) 691 (D) 721 (E) 841.
9–11 класиРекурентний підрахунок
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2006-007

Площа перетину однакових кругів

Два кола однакового радіуса перетинаються в точках XX і YY. Нехай PP — точка на тій дузі XYXY одного з кіл, що лежить усередині іншого кола. Відомо, що відрізок XYXY має довжину 33 і що кут XP^YX\widehat{P}Y дорівнює 120∘120^\circ. Яка площа перетину двох кругів? (A) 2(π−143)2\left(\pi-\frac{1}{4} \sqrt{3}\right) (B) 3(π−3)3(\pi-\sqrt{3}) (C) 12(3π−3)\frac{1}{2}(3 \pi-\sqrt{3}) (D) 2(π−233)2\left(\pi-\frac{2}{3} \sqrt{3}\right) (E) 2(π−343)2\left(\pi-\frac{3}{4} \sqrt{3}\right).
9–11 класиПлоща кола і його частин
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2006-008

Симетричні точки й подібні трикутники

Нехай ABCABC — трикутник і нехай A′A' — точка, симетрична AA відносно прямої BCBC; нехай далі трикутник DAA′DAA' подібний до трикутника ABCABC і нехай D′D' — точка, симетрична DD відносно прямої AA′AA'. Відомо, що добуток площ чотирикутників ABA′CABA'C і ADA′D′ADA'D' дорівнює 1616. Тоді довжина відрізка AA′AA'... (A) дорівнює 11 (B) дорівнює 2242 \sqrt[4]{2} (C) дорівнює 22 (D) дорівнює 222 \sqrt{2} (E) не визначається однозначно за цими даними. (Зауваження: подібність між трикутниками DAA′DAA' і ABCABC слід розуміти у впорядкованому сенсі: DA/AB=AA′/BC=A′D/CADA/AB = AA'/BC = A'D/CA)
9–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2006-009

Вкладені квадратні корені менші за двійку

Скільки символів квадратного кореня, щонайменше, має міститися у виразі ⋯123 456 789\sqrt{\cdots \sqrt{\sqrt{123\,456\,789}}}, щоб результат був меншим за 22? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9.
9–11 класиКорені та степені
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2006-012

Значення виразу з кубічними коренями 2±√5

Чому дорівнює 2+53+2−53\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}? (A) 9−453\sqrt[3]{9-4 \sqrt{5}} (B) 1 (C) 32\frac{3}{2} (D) 43\sqrt[3]{4} (E) 2232 \sqrt[3]{2}.
9–11 класиПеретворення ірраціональних вираз…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2006-017

Числа з однаковими двома цифрами в основах 10 і 19

Члени одного племені мають десять пальців на руках і дев'ять на ногах, тому однаково вільно рахують у системах числення з основами 10 і 19. У їхній математичній культурі натуральне число називається «священним», якщо в обох системах числення воно записується тими самими двома цифрами (від 1 до 9). Скільки існує священних чисел?
9–11 класиСистеми числення
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2006-013

Обернення числа з мінімумом і максимумом у стовпчиках

На дошці написано 17-значне число, складене лише з цифр 1 і 2. Паоло заходить і переписує число у зворотному порядку, вирівнюючи його під попереднім. Джанні заходить і під кожним стовпчиком пише найбільшу цифру, яка трапляється в цьому стовпчику. Альберто заходить і під кожним стовпчиком пише найменшу цифру, яка трапляється в цьому стовпчику, а потім стирає перші два рядки. Карла заходить і бачить на дошці числа 12212212221221221 і 11211111211111211, і їй пояснюють, що зробили Паоло, Джанні та Альберто. Скільки різних чисел могло бути написано на дошці як перше число?
9–11 класиПравила суму та добутку
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2006-014

Паралелограм, центроїд і добуток площ

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Відомо, що сторона ABAB дорівнює 66, кут ∠BAD\angle BAD дорівнює 60∘60^\circ, а кут ∠ADB\angle ADB — прямий. Нехай PP — точка перетину медіан (центроїд) трикутника ACDACD. Обчисліть значення добутку площ трикутника ABPABP і чотирикутника ACPDACPD.
9–11 класиТочка перетину медіан
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2006-015

Кут між ребрами піраміди

Піраміда з квадратною основою має сторону основи завдовжки 3\sqrt{3}, а всі ребра бічних граней мають довжину 2\sqrt{2}. Скільки градусів становить кут між двома ребрами, які не належать одній бічній грані?
9–11 класиЗастосування тригонометрії
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2006-016

П'ятицифрові кратні 12 без нулів

Скільки існує п'ятицифрових чисел (тобто від 1000010000 до 9999999999), які не містять нулів і кратні 1212?
9–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2006-001

Числа з непарними цифрами, кратні 5

Нехай k≥1k \geq 1 — натуральне число. Знайдіть залежно від kk кількість натуральних чисел nn з такими властивостями: a. у десятковому записі вони складаються з kk цифр, усі непарні; b. вони діляться на 55, і частка n5\frac{n}{5}, записана в десятковій системі, має знову kk цифр, усі непарні.
9–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2006-002

Чотирикутник і перетини кіл на діаметрах

Нехай ABCDABCD — чотирикутник; позначимо через EE точку перетину (відмінну від AA) кіл з діаметрами ABAB і ACAC, а через FF — точку перетину (також відмінну від AA) кіл з діаметрами ACAC і ADAD. Довести, що: a. якщо EA^D=90∘E\widehat{A}D = 90^\circ, то BCBC паралельна ADAD b. якщо EA^D=FA^B=90∘E\widehat{A}D = F\widehat{A}B = 90^\circ, то ABCDABCD — паралелограм c. якщо ABCDABCD — паралелограм, то EA^D=FA^B=90∘E\widehat{A}D = F\widehat{A}B = 90^\circ.
9–11 класиРадикальна вісь
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2006-001

Куб із центроїдів граней октаедра

Сполучивши центроїди кожної пари сусідніх граней правильного октаедра, можна утворити куб. У скільки разів об’єм куба відрізняється від об’єму октаедра?
7–9 класиТочка перетину медіан

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.