Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-002

Пряма AI, точки дотику вписаного кола і циклічність

У трикутник ABCABC, у якому AB>ACAB > AC, вписано коло з центром у точці II, яке дотикається до сторін BCBC, CACA та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Точка MM — середина сторони BCBC, AHAH — висота трикутника ABCABC. Пряма AIAI перетинає прямі DEDE та DFDF у точках KK і LL відповідно. Доведіть, що точки MM, LL, HH, KK — циклічні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-003

Функціональне рівняння на раціональних числах з трьома змінними

Знайдіть усі функції f:Q→Qf : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}, для яких ∀x,y,z∈Q\forall x, y, z \in \mathbb{Q} справджується рівність f(x+f(y+f(z)))=y+f(x+z).f(x + f(y + f(z))) = y + f(x + z).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-004

Зростаюча послідовність більша за степені та подання чисел

Доведіть, що для довільного числа M>2M > 2 існує зростаюча послідовність натуральних чисел (an)(a_n), яка задовольняє такі умови: ∀i∈Nai>Mi;\forall i \in \mathbb{N} \quad a_i > M^i; ціле число n≠0⇔∃m∈Nn \neq 0 \Leftrightarrow \exists m \in \mathbb{N} та існують b1,b2,…,bm∈{−1,1}b_1, b_2, \ldots, b_m \in \{-1, 1\}, для яких справджується рівність n=b1a1+b2a2+…+bmamn = b_1 a_1 + b_2 a_2 + \ldots + b_m a_m.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-005

Цілі частини кратних пі та арифметичні прогресії

Доведіть, що множина S={[nπ] ⁣:n=0,1,2,3,…}S=\{[n\pi]\colon n=0,1,2,3,\ldots\} містить арифметичну прогресію довільної скінченної довжини, але не містить нескінченної арифметичної прогресії.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-006

Середини на прямій AB і дотична до описаного кола

Трикутник ABCABC має тупий кут при вершині BB, описане коло навколо нього позначимо через ww. Перпендикуляри до прямих CACA та CBCB, проведені в точці CC, перетинають пряму ABAB у точках PP і QQ відповідно. Позначимо середини відрізків BPBP і PQPQ через RR і SS відповідно. Відомо, що CB=CPCB=CP. Доведіть, що: а) CRCR дотикається до кола ww у точці CC; б) якщо TT — точка дотику іншої дотичної до кола ww, що проведена з точки RR, то CT⊥CSCT\perp CS.
10–11 класиДотична кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-007

Максимальна кількість кубів серед попарних добутків 2012 чисел

Для заданих 20122012 натуральних чисел a1a_1, a2a_2, …\ldots, a2012a_{2012}, кожне з яких не є точним кубом цілого числа, рахуються всі можливі попарні добутки aiaja_i a_j, де 1⩽i<j⩽20121\leqslant i<j\leqslant 2012. Яка максимальна кількість серед таких попарних добутків може дорівнювати кубу цілого числа?
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-008

Ітерації многочлена третього степеня і подільність на 101

Нехай многочлен P(x)=x3+14x2−2x+1P(x) = x^3 + 14x^2 - 2x + 1. Позначимо через P(n)(x)=P(P(n−1)(x))P^{(n)}(x) = P\left(P^{(n-1)}(x)\right). Покажіть, що існує таке натуральне NN, що для кожного цілого xx P(N)(x)−x⋮101P^{(N)}(x) - x \vdots 101.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-001

Середина відрізка MN на колі трикутника PQR

Навколо рівнобедреного трикутника ABCABC з основою BCBC описали коло. Відрізок ADAD — діаметр кола, а точка PP лежить на меншій дузі BDBD. Пряма DPDP перетинає промені ABAB та ACAC у точках MM і NN, а прямі BPBP і CPCP перетинають пряму ADAD у точках QQ і RR. Доведіть, що середина відрізка MNMN лежить на описаному колі трикутника PQRPQR.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-002

Найбільша кількість зірочок з умовою на рядки або стовпці

Учитель повідомив Петрику непарне натуральне число l⩽2013l\leqslant 2013 і дав хлопцю домашнє завдання. Петрик має розставити зірочки в комірках таблиці 2013×20132013\times 2013 так, щоб справджувалася умова: якщо в деякій клітинці таблиці стоїть зірочка, то або в рядку, або в стовпчику, де міститься ця клітинка, має стояти не більше ніж ll зірочок (включно з даною). При цьому в кожну комірку таблиці хлопець може поставити щонайбільше одну зірочку. Учитель пообіцяв Петрику, що його оцінка буде пропорційною кількості зірочок, які хлопцю вдасться розставити. Яку найбільшу кількість зірочок зможе розставити в таблиці Петрик?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-003

Многочлени з невід’ємними коефіцієнтами і подільність радикалів

Функцію rad⁡:N∪{0}→N\operatorname{rad} : \mathbb{N} \cup \{0\} \to \mathbb{N} визначено таким чином: rad⁡(0)=rad⁡(1)=1;\operatorname{rad}(0) = \operatorname{rad}(1) = 1; якщо n=p1α1p2α2⋅…⋅pkαkn = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k} — канонічний розклад натурального числа n⩾2n \geqslant 2 на прості множники, то rad⁡(n)=p1p2⋅…⋅pk\operatorname{rad}(n) = p_1 p_2 \cdot \ldots \cdot p_k. Знайдіть усі такі многочлени f(x)f(x) із цілими невід’ємними коефіцієнтами, що для довільного n∈Nn \in \mathbb{N} число rad⁡(f(nrad⁡(n)))\operatorname{rad}(f(n^{\operatorname{rad}(n)})) націло ділиться на rad⁡(f(n))\operatorname{rad}(f(n)).
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-004

Чарівні множини, що містять числа m і n

Назвімо чарівною множину AA цілих чисел, що має таку властивість: якщо x∈Ax \in A, y∈Ay \in A і kk — довільне ціле число, то x2+kxy+y2∈Ax^2 + kxy + y^2 \in A. Знайдіть усі пари m⩽nm \leqslant n цілих чисел, для яких єдиною чарівною множиною, що містить числа mm і nn водночас, є множина всіх цілих чисел.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-005

Нерівність з кубічними коренями при xyz = 1

Для додатних чисел xx, yy та zz, які задовольняють умову xyz=1xyz = 1, доведіть нерівність x+y2z3+y+z2x3+z+x2y3⩽5(x+y+z)+98.\sqrt[3]{\frac{x+y}{2z}} + \sqrt[3]{\frac{y+z}{2x}} + \sqrt[3]{\frac{z+x}{2y}} \leqslant \frac{5(x+y+z)+9}{8}.
10–11 класиЗаміни в виразах з радікалами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-006

Шість точок і перетини серединних перпендикулярів

На площині позначили шість різних точок AA, BB, CC, DD, EE, FF. Жодні чотири з них не належать одному колу, і жодні два відрізки з кінцями в цих точках не лежать на паралельних прямих. Нехай PP, QQ і RR — точки перетину серединних перпендикулярів до пар відрізків (AD,BE)(AD, BE), (BE,CF)(BE, CF) та (CF,DA)(CF, DA) відповідно, а P′P', Q′Q' і R′R' — точки перетину серединних перпендикулярів до пар відрізків (AE,BD)(AE, BD), (BF,CE)(BF, CE) та (CA,DF)(CA, DF) відповідно. Покажіть, що P≠P′P \neq P', Q≠Q′Q \neq Q', R≠R′R \neq R', і доведіть, що прямі PP′PP', QQ′QQ' та RR′RR' перетинаються в одній точці або є паралельними.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-007

2013 користувачів без трьох попарних друзів

У соціальній мережі «Граф» зареєстровано 20132013 користувачів. Деякі користувачі є друзями, причому дружба у «Графі» взаємна. Відомо, що серед користувачів мережі не знайдеться трьох, кожні два з яких дружили б між собою. Знайдіть найбільшу можливу кількість пар друзів у «Графі».
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-008

Бісектриса і коло через B, C, X, Y

Відомо, що сторони ABAB і ACAC трикутника ABCABC мають різну довжину. Нехай точка OO — центр описаного кола, а відрізок ADAD — бісектриса трикутника. Точка EE симетрична точці DD відносно середини сторони BCBC. Пряма, перпендикулярна до BCBC, що проходить через точку DD, перетинає пряму AOAO в точці XX, а пряма, перпендикулярна до BCBC, що проходить через EE, перетинає пряму ADAD у точці YY. Доведіть, що BB, CC, XX та YY лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-009

Функціональне рівняння з квадратами f²(x+y) та f(xy)

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що для довільних дійсних чисел xx і yy задовольняють співвідношення f2(x+y)=f2(x)+2f(xy)+f2(y).f^2(x+y) = f^2(x) + 2f(xy) + f^2(y).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-010

Розбиття цілих і раціональних чисел з неперетинними сумами

Нехай XX і YY — деякі числові множини. Запровадимо позначення X+Y={x+y∣x∈X, y∈Y}.X+Y=\{x+y \mid x\in X,\ y\in Y\}. Інакше кажучи, X+YX+Y — множина, що складається з усіх чисел, які можна подати як суму числа з множини XX і числа з множини YY. Назвімо числову множину SS розбивною, якщо її можна розбити на три непорожні попарно неперетинні підмножини AA, BB та CC (де A∪B∪C=SA\cup B\cup C=S), для яких множини A+BA+B, B+CB+C і C+AC+A також є попарно неперетинними. а) Чи є розбивною множина всіх цілих чисел? б) Чи є розбивною множина всіх раціональних чисел?
10–11 класиКонструкція через періодичність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-011

Прості дільники чисел подвійного степеня двійки плюс а

Задано натуральне число aa. Доведіть, що є нескінченна кількість простих чисел pp таких, що при деякому натуральному nn число 22n+a2^{2^n}+a ділиться на pp.
10–11 класиТеорема Ейлера
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-012

Кількість гарних розфарбувань 4026 точок двох кольорів

На площині відмітили 40264026 точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. При цьому 20132013 точок є вершинами опуклого многокутника, а інші 20132013 точок лежать усередині цього многокутника. Дозволено пофарбувати кожну точку в один із двох кольорів. Розфарбування буде гарним, якщо деякі пари точок можна сполучити відрізками з дотриманням таких умов: - кожен відрізок сполучає точки однакового кольору; - жодні два проведені відрізки не перетинаються у своїх внутрішніх точках; - для довільної пари точок однакового кольору існує шлях по проведених відрізках від однієї точки до іншої. Зверніть увагу, що сторони опуклого 20132013-кутника не є автоматично проведеними відрізками, хоча деякі з них (або й усі) за потреби можна провести. Доведіть, що загальна кількість гарних розфарбувань не залежить від конкретного розташування точок, і знайдіть цю кількість.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-001

Нерівність для суми коренів з 2a²+bc

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа. Доведіть, що 2a2+bc+2b2+ca+2c2+ab⩾3ab+bc+ca.\sqrt{2a^2+bc}+\sqrt{2b^2+ca}+\sqrt{2c^2+ab}\geqslant 3\sqrt{ab+bc+ca}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-002

Вписаний чотирикутник, середини сторін і спільна точка кіл

Нехай EE — точка перетину діагоналей вписаного чотирикутника ABCDABCD, FF — точка перетину прямих ABAB і CDCD, MM — середина сторони ABAB, NN — середина сторони CDCD. Кола, описані навколо трикутників ABEABE та ACNACN, удруге перетинаються в точці KK. Доведіть, що точки FF, KK, MM і NN лежать на одному колі.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-003

Парні досконалі числа у вигляді суми двох кубів

Натуральне число nn називається досконалим, якщо воно дорівнює сумі всіх своїх натуральних дільників, відмінних від самого nn. Наприклад, число 66 — досконале, тому що 6=1+2+36=1+2+3. Знайдіть усі парні досконалі числа, які можна подати як суму двох кубів натуральних чисел.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-004

Геометричне місце точок X при вписаному колі

Вписане в рівнобедрений трикутник ABCABC (AB=ACAB = AC) коло ω\omega дотикається до його сторін ABAB і ACAC у точках KK і LL відповідно. На продовженні сторони BCBC за точку BB вибрано довільну точку MM. Пряма MLML удруге перетинає ω\omega у точці NN, пряма BNBN вдруге перетинає ω\omega у точці PP. На прямій PKPK відмічено точку XX, так що KK лежить між PP та XX і KX=KMKX = KM. Визначте геометричне місце точок XX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-005

Слова з літер М та У і їх кількість

В алфавіті племені муму — усього дві літери: М та У. Словом у мові муму є будь-яка послідовність літер М та У, у якій поряд з кожною літерою М є літера У (наприклад, УУУ та УММУМ є словами, а ММУ — ні). Нехай f(m,u)f(m,u) позначає кількість слів мови муму, у яких є рівно mm літер М та рівно uu літер У. Доведіть, що для будь-яких u⩾2u \geqslant 2 та 3⩽m⩽2u3 \leqslant m \leqslant 2u справджується рівність f(m,u)−f(2u−m+1,u)=f(m,u−1)−f(2u−m+1,u−1).f(m,u)-f(2u-m+1,u)=f(m,u-1)-f(2u-m+1,u-1).
10–11 класиБієкції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-006

Ірраціональність числа з k-тих цифр степенів двійки

Для натурального числа kk позначимо через ana_n kk-ту цифру зліва в десятковому записі числа 2n2^n (an=0a_n = 0, якщо в записі числа 2n2^n менше kk цифр). Розглянемо нескінченний десятковий дріб α=0,a1a2a3…\alpha = 0{,}a_1a_2a_3\ldots. Доведіть, що число α\alpha ірраціональне.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.