Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-001

n прямих, що покривають точки трикутника, і k сонячних

Пряму на координатній площині XOYXOY називатимемо сонячною, якщо вона не є паралельною ані осі OXOX, ані осі OYOY, ані прямій x+y=0x + y = 0. Нехай n⩾3n \geqslant 3 — деяке ціле число. Знайдіть усі невід'ємні цілі числа kk, для яких існують nn різних прямих на цій площині, що задовольняють такі дві умови: - для всіх натуральних чисел aa і bb таких, що a+b⩽n+1a + b \leqslant n + 1, точка з координатами (a,b)(a, b) лежить принаймні на одній із цих nn прямих; - рівно kk із цих nn прямих є сонячними.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-002

Два кола, що перетинаються, і дотична через ортоцентр

Нехай Ω\Omega і Γ\Gamma — такі два кола із центрами в точках MM і NN відповідно, що радіус кола Ω\Omega менший, ніж радіус кола Γ\Gamma. Кола Ω\Omega і Γ\Gamma перетинаються в двох різних точках AA і BB. Пряма MNMN перетинає коло Ω\Omega в точці CC, а коло Γ\Gamma — у точці DD так, що точки CC, MM, NN та DD лежать на прямій MNMN саме в такому порядку. Нехай точка PP — центр описаного кола трикутника ACDACD. Пряма APAP перетинає коло Ω\Omega вдруге в точці E≠AE \neq A, а коло Γ\Gamma — удруге в точці F≠AF \neq A. Нехай HH — ортоцентр трикутника PMNPMN. Доведіть, що пряма, яка проходить через точку HH та паралельна прямій APAP, є дотичною до описаного кола трикутника BEFBEF.
10–11 класиТочка перетину висот
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-003

Дотепні функції та найменша стала c

Нехай N\mathbb{N} — множина натуральних чисел. Функцію f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N} називатимемо дотепною, якщо ba−f(b)f(a)b^a - f(b)^{f(a)} ділиться націло на f(a)f(a) для всіх натуральних чисел aa і bb. Знайдіть найменше значення такої дійсної сталої cc, що нерівність f(n)⩽cnf(n) \leqslant cn справджується для всіх дотепних функцій ff та для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиТеорема Діріхле про арифметичні п…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-004

Послідовність сум трьох найбільших власних дільників та перший член

Власним дільником натурального числа NN називають додатний дільник числа NN, що відмінний від NN. Нескінченна послідовність a1,a2,…a_1, a_2, \ldots складається з натуральних чисел, кожний член якої має щонайменше три власні дільники. Для кожного n⩾1n \geqslant 1 число an+1a_{n+1} є сумою трьох найбільших власних дільників числа ana_n. Знайдіть усі можливі значення першого члена послідовності a1a_1.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-005

Виграшна стратегія в грі з параметром λ

Аліна та Богдан грають у прикольну гру, правила якої залежать від дійсного додатного числа λ\lambda, що відоме обом гравцям до початку гри. На nn-му кроці гри, що починається з n=1n = 1, відбувається таке: - якщо число nn непарне, то Аліна вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x1+x2+…+xn⩽λn;x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leqslant \lambda n; - якщо число nn парне, то Богдан вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x12+x22+…+xn2⩽n.x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leqslant n. Усі вибрані числа відомі обом гравцям. Якщо хтось із гравців не може вибрати належне число xnx_n, то гра зупиняється, а інший гравець визнається переможцем. Якщо гра триває нескінченно довго, то жоден із гравців не визнається переможцем. Знайдіть усі значення λ\lambda, для яких Аліна має виграшну стратегію, а також усі значення λ\lambda, для яких виграшну стратегію має Богдан.
10–11 класиКласичні ігри
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-006

Плитки з однією вільною клітинкою в рядках і стовпцях

Клітчаста дошка має розміри 2025×20252025 \times 2025. Настя розкладає на дошці прямокутні плитки, можливо різних розмірів, у такий спосіб, щоб сторони кожної плитки лежали на лініях дошки і кожна комірка 1×11 \times 1 була накрита щонайбільше однією плиткою. Знайдіть найменшу кількість плиток, які має покласти Настя, щоб у кожному рядку і кожному стовпчику непокритою залишилася рівно одна комірка.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-001

Десята найменша відстань між точками площини

Нехай n>10n>10 — ціле число, і нехай A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n — різні точки на площині такі, що відстані між ними попарно різні. Визначимо f10(j,k)f_{10}(j,k) як 10-ту найменшу за величиною відстань від AjA_j до A1,A2,…,AkA_1, A_2, \ldots, A_k, не включаючи AjA_j, якщо k⩾jk \geqslant j. Припустимо, що для всіх jj і kk, які задовольняють 11⩽j⩽k⩽n11 \leqslant j \leqslant k \leqslant n, виконується нерівність: f10(j,j−1)⩾f10(k,j−1)f_{10}(j, j-1) \geqslant f_{10}(k, j-1). Доведіть, що f10(j,n)⩾12f10(n,n)f_{10}(j, n) \geqslant \frac{1}{2} f_{10}(n, n) для всіх jj у діапазоні 1⩽j⩽n−11 \leqslant j \leqslant n-1.
10–11 класиНерівність трикутника
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-002

Послідовність з повним квадратом добутку і рівні члени

Розглянемо нескінченну послідовність додатних цілих чисел a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots таку, що a1>1a_1 > 1 і для всіх додатних цілих nn, вираз (2an−1)an+1\left(2^{a_n}-1\right)a_{n+1} є повним квадратом. Чи можливо, щоб два члени цієї послідовності були рівними?
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-003

Найменший степінь многочлена для дерева і чисел

Зафіксуємо ціле число n⩾3n \geqslant 3. Знайдіть найменше додатне ціле число kk, яке задовольняє таку умову: для будь-якого дерева TT із вершинами v1,v2,…,vnv_1, v_2, \ldots, v_n і будь-яких попарно різних комплексних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, існує многочлен P(X,Y)P(X, Y) з комплексними коефіцієнтами степеня, не більшими за kk, такий, що для всіх i≠ji \neq j, які задовольняють 1⩽i,j⩽n1 \leqslant i, j \leqslant n, виконується: P(zi,zj)=0P(z_i, z_j) = 0, тоді й тільки тоді, коли в TT є ребро, що з'єднує viv_i з vjv_j. Примітка. Наприклад, степінь многочлена 9X3Y4+XY5+X6−29X^3Y^4+XY^5+X^6-2 дорівнює 77, оскільки 7=3+47=3+4.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-004

Рівняння f(xy + c) = f(x) + f(y)

Нехай Z\mathbb{Z} позначає множину цілих чисел, а S⊂ZS \subset \mathbb{Z} — множина цілих чисел, не менших за 1010010^{100}. Нехай cc — фіксоване додатне ціле число. Знайдіть усі функції f:S→Zf : S \to \mathbb{Z}, що задовольняють рівняння f(xy+c)=f(x)+f(y)f(xy+c) = f(x)+f(y) для всіх x,y∈Sx, y \in S.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-005

Три кола, пов'язані з точками A', F, H

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC, а HH і OO — його ортоцентр та центр описаного кола відповідно. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника BOCBOC. Коло Γ\Gamma перетинає пряму AOAO в точках OO та A′A', а також перетинає коло радіуса AOAO із центром у точці AA в точках OO і FF. Доведіть, що коло, яке має діаметр AA′AA', описане коло трикутника AFHAFH та коло Γ\Gamma проходять через спільну точку.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-006

Підсім'я попарно перетинних монохромних на блоках множин

Нехай kk і mm — цілі числа, більші за 11. Розглянемо kk попарно неперетинних множин S1,S2,…,SkS_1, S_2, \ldots, S_k, кожна з яких має рівно m+1m+1 елементів: один червоний і mm синіх. Нехай ff — сім'я всіх підмножин FF множини S1∪S2∪…∪SkS_1 \cup S_2 \cup \ldots \cup S_k, таких, що для кожного ii перетин F∩SiF \cap S_i є монохромним. Визначте найбільшу можливу кількість множин у підсім'ї g⊆fg \subseteq f, такій, що перетин будь-яких двох множин GG не є порожньою множиною. Примітка. Множина є монохромною, якщо всі її елементи мають один і той самий колір. Зокрема, порожня множина є монохромною.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Балтійський шляхBW-2024-001

Функції з рівнянням xf(x+y) і параметром α

Нехай α\alpha — ненульове дійсне число. Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що xf(x+y)=(x+αy)f(x)+xf(y)xf(x+y) = (x+\alpha y)f(x) + xf(y) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Балтійський шляхBW-2024-002

Функції з сумою дробів при abc = 1

Нехай R+\mathbb{R}^+ — множина всіх додатних дійсних чисел. Знайдіть усі функції f:R+→R+f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ такі, що f(a)1+a+ca+f(b)1+b+ab+f(c)1+c+bc=1\dfrac{f(a)}{1+a+ca} + \dfrac{f(b)}{1+b+ab} + \dfrac{f(c)}{1+c+bc} = 1 для всіх a,b,c∈R+a, b, c \in \mathbb{R}^+ таких, що abc=1abc = 1.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Балтійський шляхBW-2024-003

Перетворення двох чисел на дошці до одного числа

Додатні дійсні числа a1,a2,…,a2024a_1, a_2, \ldots, a_{2024} записані на дошці. За один хід вибирають два числа xx і yy, що записані на дошці, їх стирають та записують число x2+6xy+y2x+y\dfrac{x^2+6xy+y^2}{x+y}. Після 20232023 ходів на дошці залишиться одне число cc. Доведіть, що c<2024(a1+a2+…+a2024).c < 2024(a_1+a_2+\ldots+a_{2024}).
10–11 класиНапівінваріанти
Балтійський шляхBW-2024-004

Найбільше α для нерівності з x, y і z

Знайдіть найбільше дійсне число α\alpha таке, що для всіх невід'ємних дійсних чисел x,yx, y і zz справджується нерівність: (x+y+z)3+α(x2z+y2x+z2y)⩾α(x2y+y2z+z2x).(x+y+z)^3 + \alpha(x^2z+y^2x+z^2y) \geqslant \alpha(x^2y+y^2z+z^2x).
10–11 класиНерівність Коші
Балтійський шляхBW-2024-005

Обмеженість послідовності з параметром λ і середнім

Знайдіть усі додатні дійсні числа λ\lambda такі, що кожна послідовність a1,a2,…a_1, a_2, \ldots додатних дійсних чисел така, що an+1=λ⋅a1+a2+…+anna_{n+1} = \lambda \cdot \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} для всіх n⩾20242024n \geqslant 2024^{2024}, є обмеженою.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Балтійський шляхBW-2024-006

Лабіринт з 2024 печер і ходи Еріка

Лабіринт — це система з 2024 печер та 2023 (двосторонніх) коридорів, що не перетинаються, де кожний коридор з'єднує рівно дві печери, а з кожної печери можна дістатися до будь-якої іншої через певну послідовність коридорів. Спочатку Ерік стоїть у коридорі, що з'єднує якісь дві печери. За один хід він може пройти через одну з печер в інший коридор, що з'єднує цю печеру з третьою печерою. Однак при цьому коридор, яким він щойно пройшов, магічним чином зникне і буде замінений новим коридором, який з'єднує кінець його нового коридору з початком його старого коридору (тобто, якщо Ерік був у коридорі, що з'єднував печери aa і bb, і пройшов через печеру bb у коридор, що з'єднує печери bb і cc, то коридор між печерами aa і bb зникне, а новий коридор з'явиться між печерами aa і cc). Оскільки Ерік любить придумувати лабіринти й має особливий задум для свого наступного лабіринту, він цікавиться, чи може він перетворити лабіринт у той, який він задумав, використовуючи ці ходи. Доведіть, що це дійсно можливо незалежно від початкового лабіринту і положення Еріка в ньому.
10–11 класиДерева
Балтійський шляхBW-2024-007

Розрізання дошки 45×45 без центру на прямокутники 1×n

Із квадратної дошки 45×4545 \times 45 прибрали центральну клітинку. Для яких додатних цілих чисел nn можливо розрізати решту дошки на прямокутники 1×n1 \times n і n×1n \times 1?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Балтійський шляхBW-2024-008

Гра на дошці n×n зі шляхом між кутовими клітинками

Нехай a,b,na, b, n — додатні цілі числа такі, що a+b⩽n2a+b \leqslant n^2. Стефанія та Степанко грають у гру на (спочатку незафарбованій) дошці n×nn \times n таким чином: - спочатку Стефанія фарбує aa клітинок у зелений колір; - потім Степанко фарбує bb інших (незафабованих) клітинок у синій колір. Стефанія виграє, якщо зможе знайти шлях із не синіх клітинок, що починається з нижньої лівої клітинки й закінчується у верхній правій клітинці (де шляхом є послідовність клітинок така, що дві сусідні мають спільну сторону), інакше виграє Степанко. Визначте, у залежності від aa, bb та nn, хто має виграшну стратегію.
10–11 класиШляхи на графах
Балтійський шляхBW-2024-009

Функція-степінь для кожного n та умова f(f(x)) = f(x)

Нехай SS — скінченна множина. Для цілого додатного nn функція f:S→Sf: S \to S є nn-им степенем, якщо існує деяка функція g:S→Sg: S \to S така, що f(x)=g(g(…g(x)…))⏟g використано n разівf(x) = \underbrace{g(g(\ldots g(x) \ldots))}_{g \text{ використано } n \text{ разів}} для кожного x∈Sx \in S. Припустимо, що функція f:S→Sf: S \to S є nn-им степенем для кожного додатного цілого nn. Чи обов'язково f(f(x))=f(x)f(f(x)) = f(x) виконується для кожного x∈Sx \in S?
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Балтійський шляхBW-2024-010

Стрибки жаби та клітинка на 2024 на північ

Жаба розташована на клітинці нескінченної дошки, орієнтованої за сторонами світу. За один хід жаба стрибає на одну або дві клітинки у напрямку, у якому вона дивиться, а потім розвертається згідно з такими правилами: - якщо жаба стрибає на одну клітинку, вона повертається на 90∘90^\circ праворуч; - якщо жаба стрибає на дві клітинки, вона повертається на 90∘90^\circ ліворуч. Чи можливо, щоб жаба досягла клітинки, що знаходиться рівно на 2024 клітинки на північ від початкової, після скінченної кількості ходів, якщо спочатку вона дивиться: а) на північ; б) на схід?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Балтійський шляхBW-2024-011

Перпендикулярні діагоналі вписаного чотирикутника та дотична

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник із центром описаного кола OO такий, що відрізок ACAC перпендикулярний до BDBD. Точки XX і YY вибрано на описаному колі трикутника BODBOD так, що ∠AXO=∠CYO=90∘\angle AXO = \angle CYO = 90^\circ. Нехай MM — середина відрізка ACAC. Доведіть, що BDBD дотикається до описаного кола трикутника MXYMXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Балтійський шляхBW-2024-012

Рівність відрізків AE і AF у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega, причому AB<ACAB < AC. Нехай точка MM — середина дуги BCBC кола ω\omega, що містить точку AA, і нехай X≠MX \neq M — інша точка на колі ω\omega, така, що AX=AMAX = AM. Точки EE та FF вибрані на сторонах ACAC та ABAB трикутника ABCABC відповідно так, що EX=ECEX = EC і FX=FBFX = FB. Доведіть, що AE=AFAE = AF.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Балтійський шляхBW-2024-013

Відображення сторін трикутника та колінеарність точок D, P, H

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH. Нехай DD — точка поза описаним колом трикутника ABCABC, така, що ∠ABD=∠DCA\angle ABD = \angle DCA. Відображення ABAB відносно BDBD перетинає CDCD у точці XX. Відображення ACAC відносно CDCD перетинає BDBD у точці YY. Прямі, перпендикулярні до ACAC і ABAB, проведені через точки XX і YY відповідно, перетинаються в точці PP. Доведіть, що точки DD, PP і HH колінеарні.
10–11 класиГомотерія і подібність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.