Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Європейський математичний кубокEMC-2024-007

Півколо, паралелограм і середина відрізка PQ

Нехай ω\omega — півколо з діаметром ABAB і точка MM — середина відрізка ABAB. Нехай XX та YY — точки в тій самій півплощині, що й ω\omega відносно прямої ABAB, так що AMXYAMXY — паралелограм. Нехай II — центр вписаного кола трикутника MXYMXY. Прямі MXMX та MYMY перетинають півколо ω\omega у точках CC та DD відповідно. Нехай T=AC∩BDT = AC \cap BD, E=MT∩XYE = MT \cap XY, P=EI∩ABP = EI \cap AB, а точка QQ є проєкцією точки EE на пряму ABAB. Доведіть, що точка MM є серединою відрізка PQPQ.
10–11 класиІнверсія
Європейський математичний кубокEMC-2024-008

Функціональне рівняння з виразом x + y f(x)

Знайдіть усі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f: (0, +\infty) \to (0, +\infty), при яких для всіх додатних чисел x,yx, y справджується рівність: f(x+yf(x))=xf(1+y).f(x + yf(x)) = xf(1+y).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-001

Подільність на n сум цілих частин кратних α

Знайдіть усі такі дійсні числа α\alpha, що для кожного натурального nn число Sn=[α]+[2α]+…+[nα]S_n = [\alpha] + [2\alpha] + \ldots + [n\alpha] ділиться націло на число nn. Примітка. Тут через [z][z] позначено найбільше ціле число, що не перевищує zz. Наприклад, [−π]=−4[-\pi] = -4 та [2]=[2,9]=2[2] = [2{,}9] = 2.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-002

Сталий НСД чисел aⁿ + b, bⁿ + a

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел, для яких існують такі натуральні числа gg та NN, що рівність НСД(an+b,bn+a)=g\text{НСД}(a^n + b, b^n + a) = g справджується при всіх натуральних числах n⩾Nn \geqslant N. Примітка. Тут через НСД (x,y)(x, y) позначено найбільший спільний дільник натуральних чисел xx та yy.
10–11 класиМала теорема Ферма
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-003

Нескінченна послідовність з умовою на кількість повторень

Нехай a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел та нехай NN — деяке натуральне число. Відомо, що для кожного натурального числа n>Nn > N число an−1a_{n-1} трапляється поміж чисел a1,a2,…,an−1a_1, a_2, \ldots, a_{n-1} рівно ana_n разів. Доведіть, що принаймні одна з послідовностей — a1,a3,a5,…a_1, a_3, a_5, \ldots або a2,a4,a6,…a_2, a_4, a_6, \ldots — стає періодичною, починаючи з деякого номера. Примітка. Нескінченну послідовність b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots називають періодичною, починаючи з деякого номера, якщо існують такі натуральні числа pp та MM, коли рівність bm+p=bmb_{m+p} = b_m справджується при всіх натуральних числах m⩾Mm \geqslant M.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-004

Кути KIL і YPX у трикутнику з вписаним колом

Дано трикутник ABCABC, у якому AB<AC<BCAB < AC < BC. Точка II — центр вписаного кола ω\omega трикутника ABCABC. Нехай XX, де X≠CX \neq C, — така точка на прямій BCBC, що пряма, яка проходить через точку XX паралельно прямій ACAC, дотикається до кола ω\omega. Аналогічно нехай YY, де Y≠BY \neq B, — така точка на прямій BCBC, що пряма, яка проходить через точку YY паралельно прямій ABAB, дотикається до кола ω\omega. Нехай пряма AIAI вдруге перетинає описане коло ω\omega трикутника ABCABC у точці P≠AP \neq A. Точки KK та LL — середини сторін ACAC та ABAB відповідно. Доведіть, що ∠KIL+∠YPX=180∘\angle KIL + \angle YPX = 180^\circ.
10–11 класиСиметрія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-005

Гарантований прохід равлика повз монстрів до останнього рядка

Равлик Богдан грає на дошці, що має 20242024 рядки та 20232023 стовпці. У клітинках дошки ховаються 20222022 монстри, кожен з яких займає рівно одну клітинку. Спочатку Богдан не знає розташування жодного монстра, але знає, що в кожному рядку, крім першого й останнього, ховається рівно один монстр. Богдан також знає, що в кожному стовпчику ховається не більше ніж один монстр. У декілька спроб Богдан намагається перейти з першого рядка в останній. Кожна спроба починається з того, що Богдан вибирає будь-яку початкову клітинку в першому рядку. Далі він рухається клітинками, послідовно переходячи з одної клітинки на сусідню, що має спільну сторону з попередньою. Під час однієї спроби Богдан може повертатися до клітинок, на яких він вже бував раніше. Якщо Богдан потрапляє на клітинку з монстром, спроба завершується, і він переноситься в перший рядок для нової спроби. Монстри не рухаються дошкою, і Богдан пам’ятає, чи є монстри в клітинках, у яких він бував раніше. Якщо Богдан потрапляє в будь-яку клітинку останнього рядка, спроба та гра завершуються. Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого Богдан має таку стратегію, щоб гарантовано потрапити в останній рядок на nn-й спробі або раніше, незалежно від розташування монстрів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-006

Чарівні функції та суми значень у протилежних точках

Нехай Q\mathbb{Q} — множина раціональних чисел. Функцію f:Q→Qf : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} назвемо чарівною, якщо справджується така властивість: для будь-яких чисел x,y∈Qx, y \in \mathbb{Q} має місце рівність f(x+f(y))=f(x)+yабоf(f(x)+y)=x+f(y).f(x + f(y)) = f(x) + y \quad \text{або} \quad f(f(x) + y) = x + f(y). Доведіть, що існує таке ціле число cc, коли для будь-якої чарівної функції ff існують не більше ніж cc різних раціональних чисел вигляду f(r)+f(−r)f(r) + f(-r), де r∈Qr \in \mathbb{Q}, та знайдіть найменше значення числа cc.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-012

Дільник плюс один — просте число або дільник

Знайдіть усі натуральні числа nn з такою властивістю: для всіх додатних дільників dd числа nn виконується: d+1∣nd+1 \mid n або d+1d+1 — просте число.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…5 розв’язків
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-007

Максимальна сума балів за забіги

Нехай nn — натуральне число. Клас з nn учнів проводить nn забігів, у кожному з яких учні посідають місця без нічиїх. Учень може претендувати на рейтинг (a,b)(a, b) для натуральних чисел aa і bb, якщо він потрапляє до перших bb місць принаймні в aa забігах. Його підсумковий бал — це найбільше можливе значення a−ba-b серед усіх рейтингів, на які він може претендувати. Знайдіть найбільшу можливу суму всіх балів nn учнів.
10–11 класиПідрахунок двома способами4 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-003

Серединні перпендикуляри у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник такий, що AC<BD<ADAC < BD < AD і ∠DBA<90∘\angle DBA < 90^{\circ}. Точка EE лежить на прямій через DD, паралельній ABAB, причому EE і CC лежать по різні боки від прямої ADAD, і AC=DEAC = DE. Точка FF лежить на прямій через AA, паралельній CDCD, причому FF і CC лежать по різні боки від прямої ADAD, і BD=AFBD = AF. Доведіть, що серединні перпендикуляри до відрізків BCBC і EFEF перетинаються на описаному колі чотирикутника ABCDABCD.
10–11 класиПоворотна гомотетія3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-008

Парні круті числа для дошки з умовою на суми підквадратів

Нехай nn — натуральне число. Числа 1,2,3,…,n21, 2, 3, \ldots, n^{2} треба записати в клітинки дошки n×nn \times n так, щоб кожне число було записане рівно в одній клітинці й кожна клітинка містила рівно одне число. Для кожного цілого dd, для якого d∣nd \mid n, dd-розбиттям дошки називається розбиття дошки на (n/d)2(n / d)^{2} піддошок, що не перетинаються, кожна розміру d×dd \times d, так, щоб кожна клітинка містилася рівно в одній піддошці d×dd \times d. Будемо казати, що nn — круте число, якщо числа можна записати на дошці n×nn \times n так, що для кожного цілого dd, для якого d∣nd \mid n і 1<d<n1 < d < n, у dd-розбитті дошки сума чисел, записаних у кожній піддошці d×dd \times d, не кратна dd. Визначте всі парні круті числа.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-009

Виграшна стратегія у грі зі стиранням чисел

Нехай NN — натуральне число. Джефф і Сері грають у гру, в якій спочатку записують на дошці числа 1,2,…,N1, 2, \ldots, N. Потім вони ходять по черзі, починає Джефф. Кожен хід полягає у виборі пари цілих чисел (k,n)(k, n), де k⩾0k \geqslant 0 і nn — одне з чисел на дошці, а потім стирання кожного числа ss на дошці такого, що 2k∣n−s2^{k} \mid n-s. Гра триває, доки дошка не стане порожньою. Гравець, який стирає останнє число на дошці, програє. Визначте всі значення NN, для яких Джефф може гарантувати собі перемогу, як би не грала Сері.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-004

Бісектриси кутів, що перетинають описане коло

Нехай ABCABC — трикутник, II — центр його вписаного кола, і нехай Ω\Omega — описане коло трикутника BICBIC. Нехай KK — точка всередині відрізка BCBC така, що ∠BAK<∠KAC\angle BAK < \angle KAC. Бісектриса кута ∠BKA\angle BKA перетинає Ω\Omega у точках WW і XX так, що AA і WW лежать по один бік від прямої BCBC, а бісектриса кута ∠CKA\angle CKA перетинає Ω\Omega у точках YY і ZZ так, що AA і YY лежать по один бік від прямої BCBC. Доведіть, що ∠WAY=∠ZAX\angle WAY = \angle ZAX.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-001

Періодичність послідовності, заданої середніми

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — нескінченна строго зростаюча послідовність натуральних чисел така, що для кожного n⩾1n \geqslant 1 виконується an∈{an−1+an+12,an−1⋅an+1}a_{n} \in\left\{\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}\right\} Нехай b1,b2,…b_{1}, b_{2}, \ldots — нескінченна послідовність літер, визначена як bn={A, якщо an=12(an−1+an+1)G, інакше b_{n}= \begin{cases}A, & \text{ якщо } a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+a_{n+1}\right) \\ G, & \text{ інакше }\end{cases} Доведіть, що існують натуральні числа n0n_{0} і dd такі, що для всіх n⩾n0n \geqslant n_{0} виконується bn+d=bnb_{n+d}=b_{n}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-013

Хороші многочлени та подільність

Нехай nn — натуральне число. Скажемо, що многочлен PP з цілими коефіцієнтами є nn-хорошим, якщо існує многочлен QQ степеня 2 з цілими коефіцієнтами такий, що Q(k)(P(k)+Q(k))Q(k)(P(k)+Q(k)) не ділиться на nn для жодного цілого kk. Визначте всі цілі nn, для яких кожен многочлен з цілими коефіцієнтами є nn-хорошим многочленом.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…4 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-010

Перекладання кульок з обмеженим дисбалансом

Нехай nn і TT — натуральні числа. Джеймс має 4n4 n кульок вагою 1,2,…,4n1,2, \ldots, 4 n. Він кладе їх на шальки терезів так, щоб ваги обох шальок були рівні. Ендрю може перекладати кульку з однієї шальки терезів на іншу так, щоб абсолютна різниця ваг двох шальок залишалася не більшою за TT. Знайдіть залежно від nn найменше натуральне число TT таке, що Ендрю може виконати послідовність ходів, після якої кожна кулька опиниться на протилежній шальці, незалежно від того, як Джеймс спочатку розклав кульки.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-005

Бісектриса кута через центр зовнівписаного кола

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якого AB<ACAB < AC, а Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC. Точки XX і YY лежать на колі Γ\Gamma так, що прямі XYXY і BCBC перетинаються на зовнішній бісектрисі кута ∠BAC\angle BAC. Припустимо, що дотичні до кола Γ\Gamma в точках XX і YY перетинаються в точці TT, що лежить з того самого боку від прямої BCBC, що й AA, і що TXTX і TYTY перетинають BCBC у точках UU і VV відповідно. Нехай JJ — центр зовнівписаного кола трикутника TUVTUV, протилежного вершині TT. Доведіть, що AJAJ ділить навпіл ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-014

Функціональне рівняння з умовою взаємної простоти

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел. Нехай f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} — функція, що задовольняє таку властивість: для m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0} рівність f(mn)2=f(m2)f(f(n))f(mf(n))f(m n)^2 = f\left(m^2\right) f(f(n)) f(m f(n)) виконується тоді й лише тоді, коли mm і nn взаємно прості. Для кожного натурального числа nn визначте всі можливі значення f(n)f(n).
10–11 класиПрості числа (базові властивості)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-011

Зафарбовування дошки квадратами два на два

Нехай nn — натуральне число. Дано дошку n×nn \times n, клітинка у верхньому лівому куті спочатку зафарбована в чорний колір, а інші клітинки зафарбовані в білий. Потім до дошки застосовують серію операцій фарбування. У кожній операції вибирають квадрат 2×22 \times 2 з рівно однією чорною клітинкою і фарбують решту три клітинки цього квадрата 2×22 \times 2 в чорний колір. Визначте всі значення nn, для яких можна зафарбувати всю дошку в чорний колір.
10–11 класиДерева2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-002

Послідовності з фіксованим розмахом на вікні

Нехай p≠qp \neq q — взаємно прості натуральні числа. Знайдіть усі нескінченні послідовності a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots натуральних чисел такі, що для всіх n⩾1n \geqslant 1 виконуються такі умови: max⁡(an,an+1,…,an+p)−min⁡(an,an+1,…,an+p)=p і max⁡(an,an+1,…,an+q)−min⁡(an,an+1,…,an+q)=q.\begin{aligned} & \max \left(a_{n}, a_{n+1}, \ldots, a_{n+p}\right)-\min \left(a_{n}, a_{n+1}, \ldots, a_{n+p}\right)=p \quad \text{ і } \\ & \max \left(a_{n}, a_{n+1}, \ldots, a_{n+q}\right)-\min \left(a_{n}, a_{n+1}, \ldots, a_{n+q}\right)=q . \end{aligned}
10–11 класиПослідовності (інші властивості)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-006

Інцентри на одному колі та прямі, що перетинаються в одній точці

Нехай ABCABC — трикутник, у якого AB<AC<BCAB < AC < BC, а DD — точка у внутрішності відрізка BCBC. Нехай EE — точка на описаному колі трикутника ABCABC така, що AA і EE лежать по різні боки від прямої BCBC і ∠BAD=∠EAC\angle BAD = \angle EAC. Нехай I,IB,IC,JBI, I_{B}, I_{C}, J_{B} і JCJ_{C} — інцентри трикутників ABC,ABD,ADC,ABEABC, ABD, ADC, ABE і AECAEC відповідно. Доведіть, що IB,IC,JBI_{B}, I_{C}, J_{B} і JCJ_{C} лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли прямі AI,IBJCAI, I_{B}J_{C} і JBICJ_{B}I_{C} перетинаються в одній точці.
10–11 класиПоворотна гомотетія3 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-001

Перестановки слонів стрибками з першого в останній рядок

Нехай nn — це натуральне число. У клітинках першого рядка шахової дошки розміром 2n×2n2^n \times 2^n стоять шахові слони, пронумеровані зліва направо числами від 11 до 2n2^n. Назвемо стрибком одночасний хід усіх слонів, що задовольняє такі умови: - кожен слон переміщується на декілька клітинок уздовж деякої діагоналі; - наприкінці стрибків усі слони стоять у різних клітинках одного рядка. Знайдіть кількість можливих перестановок σ\sigma чисел 1,2,…,2n1, 2, \ldots, 2^n, що задовольняють таку умову: існує послідовність стрибків така, що в кінці всі слони опиняться в останньому рядку та розташовуються в порядку σ(1),σ(2),…,σ(2n)\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(2^n) зліва направо.
10–11 класиСистеми числення
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-002

Перестановка чисел із частковими сумами не кратними p

Розглянемо непарне просте число pp та натуральне число N<50pN < 50p. Нехай a1,a2,…,aNa_1, a_2, \ldots, a_N — це такий набір натуральних чисел, менших за pp, що будь-яке значення зустрічається поміж них щонайбільше 51100N\frac{51}{100}N разів і при цьому сума a1+a2+…+aNa_1 + a_2 + \ldots + a_N не ділиться на pp. Доведіть, що існує перестановка b1,b2,…,bNb_1, b_2, \ldots, b_N набору a1,a2,…,aNa_1, a_2, \ldots, a_N така, що для будь-якого k=1,2,…,Nk = 1, 2, \ldots, N сума b1+b2+…+bkb_1 + b_2 + \ldots + b_k не ділиться на pp.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-003

N-допустима множина і трикутники з кутами до 61°

Для натурального числа nn множину SS назвемо nn-допустимою, якщо: - кожен елемент множини SS є невпорядкованою трійкою чисел у множині {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}, ∣S∣=n−2;|S| = n - 2; - для кожного натурального числа kk, такого, що 1⩽k⩽n−21 \leqslant k \leqslant n - 2, та для будь-яких kk попарно різних елементів A1,A2,…,Ak∈SA_1, A_2, \ldots, A_k \in S справджується умова ∣A1∪A2∪…∪Ak∣⩾k+2.|A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k| \geqslant k + 2. Чи дійсно для всіх n>3n > 3 та для кожної nn-допустимої множини SS існують попарно різні точки P1,P2,…,PnP_1, P_2, \ldots, P_n на площині такі, що для будь-якої трійки {i,j,k}\{i, j, k\} у множині SS градусні міри кутів трикутника PiPjPkP_iP_jP_k є меншими за 61∘61^\circ?
10–11 класиКомплексні числа

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.