Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-061

Рівняння з попарно різними додатними числами a, b, c

Для довільних попарно різних додатних чисел aa, bb, cc розв’яжіть рівняння x3a−xa3+a3b−ab3+b3x−bx3=(x−a)(x−b)(x−c)(a−b).x^3a - xa^3 + a^3b - ab^3 + b^3x - bx^3 = (x-a)(x-b)(x-c)(a-b).
10 класКорені многочлена, розклад на мно…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-062

Найменше натуральне m у рівності репюнітів

Знайдіть найменше натуральне число mm, для якого існують такі натуральні числа n>k>1n > k > 1, що виконується рівність 11…1⏟n=11…1⏟k⋅m\underbrace{11\ldots1}_{n} = \underbrace{11\ldots1}_{k} \cdot m.
10 класРозклад по розрядах, десяткові др…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-063

Гра з розламуванням палиці довжиною 15 см

Вінні-Пух і П’ятачок грають у гру за такими правилами. Є палиця довжиною 1515 см. Першим ходом П’ятачок розламує її на дві частини, далі гравці по черзі розламують на дві частини один з наявних шматків. При цьому шматки повинні мати довжину, що виражена натуральними числами (у сантиметрах), і не можуть дорівнювати 11 см. Програє той, хто не зможе зробити хід. У кого з гравців стратегія є виграшною?
10 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-064

Циклічна сума a√3a²+6b² і квадрат суми

Для невід’ємних чисел aa, bb, cc доведіть нерівність a3a2+6b2+b3b2+6c2+c3c2+6a2⩾(a+b+c)2.a\sqrt{3a^2+6b^2}+b\sqrt{3b^2+6c^2}+c\sqrt{3c^2+6a^2} \geqslant (a+b+c)^2.
10 класЧислові нерівності
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-065

Точка P на колі та рівність PM і PN

Кола w1w_1 та w2w_2 із центрами в точках O1O_1 та O2O_2 відповідно перетинаються в точках AA та BB. Навколо трикутника O1O2BO_1O_2B описали коло ww із центром у точці OO, яке перетинає кола w1w_1 та w2w_2 вдруге в точках KK та LL відповідно. Пряма OAOA перетинає кола w1w_1 та w2w_2 у точках MM та NN відповідно. Прямі MKMK та NLNL перетинаються в точці PP. Доведіть, що точка PP лежить на колі ww та PM=PNPM = PN.
10 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-066

Система двох квадратних рівнянь з x та y

Розв’яжіть систему рівнянь {x2+3xy=3y+x,y2−yx=3x+y.\begin{cases} x^2 + 3xy = 3y + x, \\ y^2 - yx = 3x + y. \end{cases}
10 класКвадратні рівняння та системи
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-067

Відношення відрізків на стороні чотирикутника з паралельними прямими

Точки XX, YY вибрано на сторонах ABAB і ADAD відповідно опуклого чотирикутника ABCDABCD. Знайдіть відношення AX:BXAX : BX, якщо відомо, що CX∥DACX \parallel DA, DX∥CBDX \parallel CB, BY∥CDBY \parallel CD та CY∥BACY \parallel BA.
10 класПаралельні прямі і теорема Фалеса
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-068

Функціональне рівняння на множині без мінус одиниці

Знайдіть усі такі функції f:R∖{−1}→Rf:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}, що для всіх x, y∈R∖{−1}x,\ y\in\mathbb{R}\setminus\{-1\} задовольняють рівність f(x)+f(y)=(x+y+2) f(x) f(y).f(x) + f(y) = (x + y + 2)\,f(x)\,f(y).
10 класБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-069

Поразки гравців тенісного турніру за кількостями перемог

У тенісному турнірі беруть участь n⩾3n \geqslant 3 гравців, яким надали номери 1,2,…,n1, 2, \ldots, n. Турнір проходить за такою схемою. Спочатку всіх вишикували в чергу за порядком номерів від 11-го до nn-го. Першу гру грають тенісисти з номерами 11 та 22. Той, хто програв, переходить у кінець черги, наступну гру він зіграє останнім з усіх, а переможець зіграє наступну гру з першим у черзі і так далі. По проведенні NN матчів турнір завершився. Виявилося, що перший гравець виграв a1a_1 матчів, другий — a2a_2, …, nn-й виграв ana_n матчів. Зрозуміло, що a1+a2+…+an=Na_1 + a_2 + \ldots + a_n = N. Скільки матчів програв кожний із гравців?
10 класЦіла та дробова частини числа
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-070

Дільники числа m^4+1 на проміжку

Доведіть, що число m4+1m^4+1 не має дільників на проміжку [m2−2m,m2+2m][m^2-2m, m^2+2m] для кожного натурального m>2m > 2.
10 класАлгоритм Евкліда
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-071

Найбільша кількість триелементних множин з одним попарним перетином

Визначте найбільшу можливу кількість триелементних множин, серед яких кожні дві такі множини мають рівно один спільний елемент, але не існує елемента, що належить усім множинам одночасно.
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-072

Прості числа з рівністю та найбільший добуток

Прості числа pp, qq, rr, де p+q<111p + q < 111, задовольняють умову p+qr=p−q+r\frac{p+q}{r} = p - q + r. Знайдіть найбільше можливе значення добутку pqrpqr.
10 класПарність та непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-097

Рівняння з котангенсами цілої та дробової частин

Розв’яжіть рівняння ctg⁡[x]⋅ctg⁡{x}=1.\operatorname{ctg}[x] \cdot \operatorname{ctg}\{x\} = 1. Примітка. Тут через [a][a] позначено цілу частину числа aa, тобто найбільше ціле число, що не перевищує aa, а через {a}\{a\} — дробову частину числа aa, тобто {a}=a−[a]\{a\} = a - [a].
10 класТригонометричні рівняння
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-098

Точка в правильному трикутнику та суми векторів

Усередині правильного трикутника ABCABC вибрано точку MM. Нехай точки M1M_1, M2M_2, M3M_3 симетричні їй відносно сторін BCBC, ACAC, ABAB трикутника відповідно. Доведіть, що сума векторів MM1→+MM2→+MM3→\overrightarrow{MM_1}+\overrightarrow{MM_2}+\overrightarrow{MM_3} дорівнює сумі векторів MA→+MB→+MC→\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.
10 класВекторний метод
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-099

Квадрат (p²+1)/2 при p=2^a−1

Натуральні числа aa, pp задовольняють умову p=2a−1p = 2^a - 1. Знайдіть усі значення aa, для яких число 12(p2+1)\frac{1}{2}(p^2 + 1) є квадратом цілого числа.
10 класМетод факторизації (розкладання н…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-100

Найменше кінцеве число після вилучення менших з пар

Задано скінченний набір натуральних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. За один хід дозволено вибрати довільну пару чисел з тих, що залишилися, менше з двох вилучити, а більше — збільшити на 11. Яке найменше число можна одержати в кінці?
10 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-101

Найбільше кратне 7 з непарними цифрами і сумою 2015

Знайдіть найбільше натуральне число, що ділиться націло на 77 та має у своєму записі лише непарні цифри, сума яких 20152015.
10 класСтепені за модулем. Періодичність…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-102

Картки з числами і зафарбування всіх точок квадрата

а) Андрій та Олеся отримали по набору карток, на яких написані всі цілі числа від 11 до 20152015. Після цього Олеся залишає собі деяку кількість карток (але не всі) зі свого набору, а решту відкладає. Андрій робить так само. На координатній площині розглядають ті 201522015^2 точок, які мають обидві цілі координати в межах від 11 до 20152015 кожна. Олеся фарбує в блакитний колір ті із цих точок, у яких перша координата дорівнює числу на одній з її карток, а друга — числу на одній з Андрієвих карток. Андрій фарбує в жовтий колір ті точки, у яких перша координата дорівнює числу на одній з його карток, а друга — числу на одній з Олесиних карток (при цьому деякі точки можуть бути пофарбовані у два кольори). Доведіть, що в разі будь-якого вибору карток вони не зможуть досягти того, щоб кожна з 201522015^2 точок була пофарбована принаймні в один із двох кольорів. б) До Андрія та Олесі приєдналася Оксана, яка взяла собі всі картки, які відклали Олеся та Андрій. Після цього вони вже втрьох фарбують точки на новій чистій площині таким чином: Олеся фарбує в блакитний колір ті із цих точок, у яких перша координата дорівнює числу на одній з її карток, а друга — числу на одній з Андрієвих карток. Андрій фарбує в жовтий колір ті точки, у яких перша координата дорівнює числу на одній з його карток, а друга — числу на одній з Оксаниних карток. Оксана фарбує в зелений колір ті точки, у яких перша координата дорівнює числу на одній з її карток, а друга — числу на одній з Олесиних карток (знову при цьому деякі точки можуть бути пофарбовані в декілька кольорів). При якому виборі карток Олесею та Андрієм вони втрьох зафарбують кожну з 201522015^2 точок принаймні в один колір?
10 класРозбиття на випадки
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-103

Одна пряма через точки дотику та основу висоти

У гострокутному трикутнику ABCABC висоти AA1AA_1 та BB1BB_1 перетинаються в точці HH. Побудуємо два кола w1w_1 та w2w_2 із центрами в точках HH та BB і радіусами HB1HB_1 та BB1BB_1 відповідно. З точки CC до кіл w1w_1 та w2w_2 проведемо дотичні, які дотикаються до цих кіл відповідно в точках NN та KK, відмінних від B1B_1. Доведіть, що точки A1A_1, NN та KK лежать на одній прямій.
10 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-104

Функціональне рівняння з x + f(y) і xy

Знайдіть усі такі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що для всіх дійсних xx, yy справджується рівність 4f(x+f(y))=f(x)+f(y)+f(xy)+1.4f(x+f(y))=f(x)+f(y)+f(xy)+1.
10 класВластивості ін'єктивність або сюр…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-019

Функціональне рівняння з f(f(x - y)) і xy

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що ∀x, y∈R\forall x,\ y \in \mathbb{R}, задовольняють умову f(f(x−y))=f(x)f(y)−f(x)+f(y)−xy.f(f(x-y)) = f(x)f(y) - f(x) + f(y) - xy.
10 класБазові підстановки (однакові аргу…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-020

Нерівність для кількості перестановок з обмеженням

Нехай sns_n позначає кількість перестановок (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n) чисел 1, 2, …, n1,\ 2,\ \ldots,\ n таких, що 1⩽∣ai−i∣⩽21 \leqslant |a_i - i| \leqslant 2 для всіх ii: 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n. Доведіть, що для всіх n>6n > 6 виконується нерівність 7sn−14<sn<2sn−1\dfrac{7s_{n-1}}{4} < s_n < 2s_{n-1}.
10 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-021

Точки на колі і прямі через A та B

Задано коло ω\omega та точки AA, BB на прямій, яка не перетинає коло ω\omega. На колі вибрано довільну точку X0X_0 і далі побудовано такі послідовності точок (Yn)(Y_n) та (Xn)(X_n): YnY_n — друга точка перетину прямої AXnAX_n з колом ω\omega, n⩾0n \geqslant 0, а Xn+1X_{n+1} — друга точка перетину прямої BYnBY_n з колом ω\omega, n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що коли для деякої точки X0X_0 та для деякого натурального kk точка Xk=X0X_k = X_0, то Xk=X0X_k = X_0 при довільному виборі точки X0X_0.
10 класІнверсія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-022

Спільна дотична двох кіл, пряма Ейлера і прогресія кутів

Доведіть, що в нерівнобедреному трикутнику ABCABC спільна дотична до кола дев'яти точок та вписаного кола паралельна прямій Ейлера тоді і тільки тоді, коли кути трикутника утворюють арифметичну прогресію. Пряму, що проходить через центр описаного кола та ортоцентр трикутника, називають прямою Ейлера трикутника. Коло дев'яти точок — це коло, що проходить через такі точки: середину кожної сторони трикутника; основи кожної висоти та середини відрізків, що сполучають вершини трикутника з ортоцентром.
10 класКоло Ейлера (коло 9 точок)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-023

Таблиця 7×7 з числами 1–49 і однакові числа

Числа від 11 до 4949 по одному записано в комірках таблиці 7×77 \times 7, як це показано на рис. 3.2. За один хід дозволяється вибрати довільну комірку та збільшити (зменшити) число в цій комірці на 11 і водночас із цим у деяких двох комірках, сусідніх по стороні з вибраною, зменшити (збільшити) на 11 числа в цих комірках. а) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю, у всіх комірках якої записано однакові числа? б) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю, у всіх комірках якої записано число 20132013? | | | | | | | | |---|---|---|---|---|---|---| | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | | 88 | 99 | 1010 | 1111 | 1212 | 1313 | 1414 | | 1515 | 1616 | 1717 | 1818 | 1919 | 2020 | 2121 | | 2222 | 2323 | 2424 | 2525 | 2626 | 2727 | 2828 | | 2929 | 3030 | 3131 | 3232 | 3333 | 3434 | 3535 | | 3636 | 3737 | 3838 | 3939 | 4040 | 4141 | 4242 | | 4343 | 4444 | 4545 | 4646 | 4747 | 4848 | 4949 | Рис. 3.2
10 класКольорові інваріанти (розфарбуван…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.