Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-031

Мінімальна кількість відкритих карток для однозначної змійки

Фокусник розкладає на дошці 3×1003 \times 100 картки з числами від 11 до 300300 «змійкою» так, що послідовні числа стоять у сусідніх по стороні клітинках (по горизонталі або по вертикалі, але не по діагоналі). Числа написані на нижніх боках карток, верхні боки порожні. Після цього фокусник за власним вибором перевертає kk карток. При якому найменшому kk може трапитися так, що відкриті картки однозначно визначають усю змійку?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-020

Три прямі перетинаються в одній точці — трикутник рівнобедрений

Коло з центром OO проходить через вершини BB і CC трикутника ABCABC і вдруге перетинає відрізки ABAB і ACAC у точках C1C_1 і B1B_1 відповідно. Прямі AOAO, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в одній точці. Доведіть, що трикутник ABCABC рівнобедрений.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-032

Скорочення рядка з дозволеними вставками

Хакерка замкнена в підземному промисловому комплексі. Перед нею екран комп'ютера, на якому з'являється довге повідомлення довжини 7272, що складається із символів EE, XX, II, TT, по рівно 1818 літер кожного виду в деякому на вигляд випадковому порядку. Повідомленням можна маніпулювати, вставляючи в довільне місце повідомлення будь-яку з комбінацій EXEX, XEXE, ITIT, TITI, IXIXIIXIXI Таку комбінацію можна також стирати, де б вона не траплялася в повідомленні. Хакерка може втекти, коли систему буде зламано, а це відбувається тоді, коли на екрані залишиться лише слово EXIT. Покажіть, що вона може втекти, використавши менше ніж 20192019 операцій.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-021

Середина відрізка MN у прямокутному трикутнику

ACAC — гіпотенуза прямокутного трикутника ABCABC, BHBH — його висота. Точки MM і NN — середини відрізків AHAH і CHCH відповідно. Прямі BMBM і BNBN вдруге перетинають описане коло трикутника ABCABC у точках PP і QQ відповідно. Відрізки AQAQ і CPCP перетинаються в точці RR. Доведіть, що пряма BRBR проходить через середину відрізка MNMN.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-010

Суми добутків з фіксованою сумою

Визначте всі цілі числа, які можна подати у вигляді x1x2+x2x3+⋯+xk−1xk,x_1x_2 + x_2x_3 + \dots + x_{k-1}x_k, де x1,x2,…,xkx_1, x_2, \dots, x_k — натуральні числа, сума яких дорівнює 20192019.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-022

Ворожі многокутники та опуклість

Нехай n≥4n \ge 4, і розглянемо nn-кутник P1P2...PnP_1P_2...P_n без самоперетинів на площині. Припустимо, що для кожної вершини PkP_k існує єдина інша вершина QkQ_k серед P1,...,PnP_1, ..., P_n, найближча до неї. Многокутник називається ворожим, якщо Qk≠Pk±1Q_k \ne P_{k \pm 1} для всіх kk (індекси вважаються циклічними). a. Доведіть, що не існує опуклих ворожих многокутників. b. Знайдіть усі nn, для яких існує вгнутий ворожий nn-кутник.
10–11 класиНерівність трикутника
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-033

Гра зі з'єднанням вершин сніжинок

Дві жінки, Інґер та Еллен, грають у таку гру. На великому аркуші паперу є 20192019 шестипроменевих сніжинок ∗*, розміщених у загальному положенні (і таких, що не дотикаються). Кожен із шести променів сніжинки має крайній кінець, що називається вершиною. Хід полягає в проведенні кривої, що з'єднує дві вершини, які можуть належати одній і тій самій сніжинці. Крива не може перетинати сама себе і не може дотикатися до жодної з раніше проведених кривих. Також вона не може дотикатися до жодної зі сніжинок (крім двох вершин, які є її кінцями). Кожну вершину можна використати лише один раз. Інґер робить перший хід, а далі гравці ходять по черзі. Гравець, який першим не може зробити хід, програє. Який гравець має виграшну стратегію?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-034

Незростаючі функції з нерухомими точками

Для натурального числа nn розглянемо всі незростаючі функції f:{1,…,n}→{1,…,n}f: \{1, \dots, n\} \to \{1, \dots, n\}. Деякі з них мають нерухому точку (c=f(c)c = f(c)), а деякі — ні. Яких більше? Знайдіть різницю між кількостями функцій цих двох видів.
10–11 класиБієкції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-011

Ітеративна заміна в послідовності добутків

Нехай m≥2m \ge 2 — натуральне число. Розглянемо 2m2m чисел 1⋅2,2⋅3,3⋅4,…,2m(2m+1).1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \dots, 2m(2m + 1). Хід полягає у виборі трьох чисел a,b,ca, b, c і заміні їх одним числом abcab+bc+ca.\frac{abc}{ab + bc + ca}. Після m−1m-1 таких ходів залишаться лише два числа. Припустивши, що одне з них дорівнює 43\frac{4}{3}, доведіть, що інше перевищує 4.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-035

Відокремлення точок кругами

На площині задано декілька точок. Дитина хоче намалювати kk (замкнених) кругів так, щоб для будь-яких двох точок A,BA, B (A≠BA \neq B) існував круг, який містить лише одну з цих точок. Яке найменше kk, таке, що для будь-якої початкової конфігурації з 2019 точок можна намалювати kk кругів із зазначеною властивістю?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-001

Трійки дійсних чисел з рівностями на добутки

Знайдіть усі трійки дійсних чисел (a,b,c)(a, b, c), що задовольняють умови: ab+bc+ca=1 та a2b+c=b2c+a=c2a+b.ab + bc + ca = 1 \text{ та } a^2b + c = b^2c + a = c^2a + b.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-002

Найбільша кількість доміно на дошці 2n × 2n

Дано натуральне число nn. На дошці розміром 2n×2n2n \times 2n розташовано декілька фігурок доміно таким чином, що кожна клітинка дошки є сусідньою рівно до однієї клітинки, що покрита фігуркою доміно. Для кожного nn знайдіть найбільшу кількість фігурок доміно, які можна так розташувати. Примітка. Фігуркою доміно вважаємо прямокутники розміром 2×12 \times 1 або 1×21 \times 2. Кожну фігурку доміно розміщуємо таким чином, щоб вона покривала рівно дві одиничні клітинки дошки, а жодні дві з них не накладались одна на одну. Дві клітинки назвемо сусідніми, якщо вони різні та мають спільну сторону.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-003

Бісектриси кутів DAB та CXB і пряма BC

Нехай трикутник ABCABC з інцентром у точці II такий, що ∠CAB>∠ABC\angle CAB > \angle ABC. Нехай точка DD на відрізку BCBC така, що ∠CAD=∠ABC\angle CAD = \angle ABC. Нехай коло ww дотикається до сторони ACAC у точці AA та проходить через інцентр II. Нехай точка XX є другою точкою перетину кола ww та описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що бісектриси кутів DABDAB та CXBCXB перетинаються в точці, що належить прямій BCBC.
10–11 класиТеорема про тризуб
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-004

Пряма через точки на сторонах і вписане коло трикутника

Нехай трикутник ABCABC має інцентр у точці II. Коло, що проходить через точку BB та дотикається до прямої AIAI в точці II, перетинає сторону ABAB удруге в точці PP. Коло, що проходить через точку CC та дотикається до прямої AIAI в точці II, перетинає сторону ACAC удруге в точці QQ. Доведіть, що пряма PQPQ є дотичною до вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиДотична кола
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-005

Наступники чисел з різними остачами та малою сумою

Нехай n⩾2n \geqslant 2 є цілим числом та нехай a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n є натуральними числами. Доведіть, що існують натуральні числа b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n, що задовольняють такі три умови: а) ai⩽bia_i \leqslant b_i, i=1,n‾i = \overline{1, n}; б) остачі від ділення чисел b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n на число nn є попарно різними; в) b1+b2+…+bn⩽n(n−12+[a1+a2+…+ann])b_1 + b_2 + \ldots + b_n \leqslant n\left(\dfrac{n-1}{2} + \left[\dfrac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\right]\right). Примітка. Через [x][x] позначено цілу частину числа xx, тобто найбільше ціле число, що не перевищує xx.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-006

2019 хорд у колі з числами 0 і 1

У колі Аліна провела 20192019 хорд з попарно різними кінцями. Назвемо точку особливою, якщо для неї виконується одна з умов: - а) вона є однією із 40384038 кінців проведених хорд; - б) вона є точкою перетину щонайменше двох хорд. Поряд з кожною особливою точкою з тих 40384038 точок, що задовольняють умову а), Аліна записує таке число: поряд з якимись 20192019 точками — число 00, поряд з іншими 20192019 точками — число 11. Поряд з точками, що задовольняють умову б), вона записує довільне ціле число (не обов'язково додатне). На кожній хорді Аліна розглядає відрізки, що сполучають дві сусідні особливі точки. Хорда з kk особливими точками має (k−1)(k-1) такий відрізок. Для кожного такого відрізка вона записує жовтим кольором суму чисел, записаних на кінцях цього відрізка, а синім кольором — модуль їхньої різниці. Аліна помітила, що N+1N+1 пораховане жовте число — це точно числа 0,1,…,N0, 1, \ldots, N. Доведіть, що хоча б одне записане синім кольором число ділиться на 33.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-001

Функціональне рівняння f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b))

Нехай ZZ — множина всіх цілих чисел. Знайдіть усі функції f:Z→Zf : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} такі, що для будь-яких цілих чисел aa і bb справджується рівність f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b)).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-002

Точки на чевіанах трикутника на одному колі

У трикутнику ABCABC точка A1A_1 лежить на відрізку BCBC, а точка B1B_1 — на відрізку ACAC. Нехай точки PP і QQ вибрано на відрізках AA1AA_1 та BB1BB_1 відповідно так, що пряма PQ∥ABPQ \parallel AB. Точку P1P_1 вибрано на прямій PB1PB_1 так, що точка B1B_1 розміщується строго між точками PP і P1P_1, при цьому ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C = \angle BAC. Аналогічно точку Q1Q_1 вибрано на прямій QA1QA_1 так, що точка A1A_1 розміщується строго між точками QQ і Q1Q_1, при цьому ∠QQ1C=∠CBA\angle QQ_1C = \angle CBA. Доведіть, що точки PP, QQ, P1P_1 і Q1Q_1 належать одному колу.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-003

Соціальна мережа з 2019 користувачів і зміни дружби

У соціальній мережі є 20192019 користувачів. Деякі користувачі товаришують з деякими іншими, при цьому якщо користувач AA є другом користувача BB, то BB також є другом AA. Зміни наступного типу здійснюються послідовно, по одній зміні за раз: обирають трьох користувачів AA, BB та CC таких, що AA є другом BB та CC, але BB і CC не є друзями; після цього BB та CC стають друзями, але AA перестає бути другом BB і CC. У всіх інших парах відношення не змінюються. Спочатку 10101010 користувачів мають по 10091009 друзів кожен, а 10091009 користувачів мають по 10101010 друзів кожен. Доведіть, що існує послідовність змін, після яких кожен користувач матиме не більш як одного друга.
10–11 класиЗв’язність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-004

Факторіал, що дорівнює добутку різниць степенів двійки

Знайдіть усі пари натуральних чисел (k,n)(k, n) таких, що k!=(2n−1)(2n−2)(2n−4)…(2n−2n−1).k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\ldots(2^n-2^{n-1}).
10–11 класиФормула Лежандра
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-005

Перевертання k-ї монети в ряді та середня тривалість процесу

Банк міста Бат карбує монети з літерою HH на одному боці та літерою TT на другому боці. Гаррі виклав nn таких монет у ряд зліва направо. Він послідовно виконує таку операцію: якщо в ряду рівно k>0k > 0 монет лежать догори літерою HH, то він перевертає kk-ту зліва монету; інакше всі монети лежать догори літерою TT, і він зупиняється. Наприклад, якщо n=3n = 3 і процес перегортання монет починається з конфігурації THTTHT, то послідовність операцій матиме такий вигляд: THT→HHT→HTT→TTTTHT \to HHT \to HTT \to TTT, тобто процес припиниться після трьох операцій. а) Доведіть, що для будь-якої початкової конфігурації процес припиниться після скінченної кількості операцій. б) Для кожної початкової конфігурації CC позначимо за L(C)L(C) кількість операцій, після яких процес припиниться, наприклад L(THT)=3L(THT) = 3 та L(TTT)=0L(TTT) = 0. Знайдіть середнє арифметичне значень L(C)L(C), якщо CC пробігає всі 2n2^n можливих початкових конфігурацій.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-006

Перетин прямих DI і PQ на перпендикулярі до AI

Нехай точка II — центр вписаного кола гострокутного трикутника ABCABC та AB≠ACAB \neq AC. Вписане коло ww трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC і ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Пряма, що проходить через точку DD перпендикулярно до прямої EFEF, удруге перетинає коло ww у точці RR. Пряма ARAR удруге перетинає коло ww у точці PP. Описані кола трикутників PCEPCE та PBFPBF удруге перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі DIDI та PQPQ перетинаються на прямій, яка проходить через вершину AA перпендикулярно до прямої AIAI.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-005

Дотичні у точках перетину кола з трикутником

Нехай ABCABC — трикутник. Коло Γ\Gamma проходить через AA, перетинає відрізки ABAB і ACAC ще раз у точках DD і EE відповідно та перетинає відрізок BCBC у точках FF і GG так, що FF лежить між BB і GG. Дотична до кола BDFBDF у точці FF і дотична до кола CEGCEG у точці GG перетинаються в точці TT. Припустимо, що точки AA і TT різні. Доведіть, що пряма ATAT паралельна BCBC.
10–11 класиДотична кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-010

Послідовність з біноміальною властивістю суми

Нескінченна послідовність a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots (не обов'язково різних) цілих чисел має такі властивості: 0⩽ai⩽i0 \leqslant a_{i} \leqslant i для всіх цілих i⩾0i \geqslant 0, і (ka0)+(ka1)+⋯+(kak)=2k\binom{k}{a_{0}}+\binom{k}{a_{1}}+\cdots+\binom{k}{a_{k}}=2^{k} для всіх цілих k⩾0k \geqslant 0. Доведіть, що всі цілі числа N⩾0N \geqslant 0 трапляються в послідовності (тобто для всіх N⩾0N \geqslant 0 існує i⩾0i \geqslant 0 таке, що ai=Na_{i}=N).
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-017

Сума кубів дорівнює квадрату добутку

Знайдіть усі трійки (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, таких, що a3+b3+c3=(abc)2a^{3} + b^{3} + c^{3} = (a b c)^{2}.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.