Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-041

Покриття трикутної сітки лініями

Гра проводиться на правильному трикутнику, який прямими, паралельними до однієї зі сторін трикутника, поділено на n2n^2 рівних менших правильних трикутників. «Лінією трикутників» назвемо всі трикутники, розміщені між двома сусідніми паралельними прямими, що утворюють сітку. На початку гри всі трикутники білі. За кожен хід одну лінію трикутників, що містить принаймні один білий трикутник, фарбують у чорний колір. Ситуацію при n=6n=6 після можливих 4 ходів показано на рисунку 1. Гра закінчується, коли всі трикутники стануть чорними. Знайдіть найменшу і найбільшу можливі кількості ходів у грі. Рисунок 1
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2013-001

Прямокутність трикутника з рівними відрізками на продовженнях

На продовженні сторони BCBC трикутника ABCABC за точку CC відмітили точку DD так, що CD=BCCD=BC, а на продовженні сторони CACA за точку AA відмітили точку EE так, що AE=2CAAE=2CA. Доведіть, що коли AD=BEAD=BE, то трикутник ABCABC є прямокутним.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2013-002

Квадрат, розрізаний на п’ять прямокутників зі сторонами 1–10

Знайдіть усі цілі числа mm, для яких квадрат m×mm\times m може бути розрізаний на 5 прямокутників, довжинами сторін яких є числа 1,2,…,101, 2, \ldots, 10, узяті в деякому порядку.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2013-003

Найменші спільні кратні пар у множині з 6n чисел

Нехай nn — натуральне число. а) Доведіть, що існує множина SS, яка складається з 6n6n попарно різних натуральних чисел, причому найменше спільне кратне довільних двох елементів множини SS не перевищує 32n232n^2. б) Доведіть, що у довільній множині TT, яка складається із 6n6n попарно різних натуральних чисел, знайдуться два елементи, найменше спільне кратне яких буде більшим за 9n29n^2.
10–11 класиНСД та НСК
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2013-004

Три послідовні цілі значення дробу з n⁵

Знайдіть усі натуральні числа aa і bb, для яких існує три послідовні цілі числа, при яких значення многочлена P(n)=n5+abP(n)=\frac{n^5+a}{b} є цілими.
10–11 класиМіркування за модулем
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2013-005

Дотичне коло трикутника, паралельна пряма і кути

Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC. Коло ω\omega дотикається до сторін ACAC, BCBC і внутрішнім чином дотикається до кола Ω\Omega в точці PP. Пряма, що паралельна прямій ABAB і перетинає трикутник ABCABC, дотикається до кола ω\omega в точці QQ. Довідіть, що ∠ACP=∠QCB\angle ACP = \angle QCB.
10–11 класиКола, що дотикаються
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2013-006

Сім гномів у шахті та на ягодах шістнадцять днів

Білосніжка та семеро гномів живуть у своєму будиночку в лісі. У кожен із 1616 послідовних днів деякі гноми працювали в діамантовій шахті, у той час як усі інші гноми збирали в лісі ягоди. (Жоден гном не виконував обидва типи роботи протягом одного дня.) У будь-які два різні дні хоча б три гноми виконували обидва типи роботи. Також відомо, що в перший день усі сім гномів працювали в шахті. Доведіть, що в один із цих 1616 днів усі сім гномів збирали ягоди.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-001

Добуток k множників вигляду 1 + 1/m

Доведіть, що для будь-якої пари натуральних чисел kk і nn існують kk (не обов'язково різних) натуральних чисел m1m_1, m2m_2, …\ldots, mkm_k таких, що виконується рівність 1+2k−1n=(1+1m1)⋅(1+1m2)⋅…⋅(1+1mk).1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{m_k}\right).
10–11 класиМетод математичної індукції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-002

Найменша кількість прямих для розділення чорних і сірих точок

Колумбійською конфігурацією будемо називати такий набір з 40274027 точок на площині, що жодні три з них не лежать на одній прямій, при цьому 20132013 з них пофарбовано в чорний колір, а решту 20142014 — у сірий. Розглянемо набір прямих, що розділяють площину на декілька областей. Назвемо цей набір прямих гарним для даної колумбійської конфігурації точок, якщо виконуються такі умови: - жодна пряма не проходить через жодну точку конфігурації; - жодна область розбиття не містить точок обох кольорів. Знайдіть найменше можливе значення kk таке, що для довільної колумбійської конфігурації з 40274027 точок існує гарний набір з kk прямих.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-003

Точки дотику зовнівписаних кіл і описані кола

Нехай зовнівписане коло трикутника ABCABC, що лежить навпроти вершини AA, дотикається до сторони BCBC у точці A1A_1. Точки B1B_1 на стороні ACAC і C1C_1 на стороні ABAB визначаються аналогічним чином з використанням зовнівписаних кіл, що лежать навпроти вершин BB і CC відповідно. Відомо, що центр описаного кола трикутника A1B1C1A_1B_1C_1 лежить на колі, описаному навколо трикутника ABCABC. Доведіть, що трикутник ABCABC прямокутний.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-004

Пряма через ортоцентр і кінці діаметрів

Нехай HH — точка перетину висот гострокутного трикутника ABCABC. Нехай WW — довільна точка на відрізку BCBC, що відмінна від точок BB та CC. Позначимо через MM і NN основи висот трикутника ABCABC, що проведені з вершин BB і CC відповідно. Нехай w1w_1 — описане коло трикутника BWNBWN, а XX — така точка на w1w_1, що WXWX — діаметр кола w1w_1. Аналогічно нехай w2w_2 — описане коло трикутника CWMCWM та YY — така точка на w2w_2, що WYWY — діаметр кола w2w_2. Доведіть, що точки XX, YY і HH лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-005

Функція на додатних раціональних числах з нерівностями

Позначимо через Q+\mathbb{Q}^+ множину всіх додатних раціональних чисел. Нехай f ⁣:Q+→Rf\colon \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{R} — функція, що задовольняє такі умови: - для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^+ виконується нерівність f(x) f(y)⩾f(xy)f(x)\,f(y) \geqslant f(xy); - для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^+ виконується нерівність f(x)+f(y)⩽f(x+y)f(x) + f(y) \leqslant f(x+y); - існує раціональне число a>1a > 1 таке, що f(a)=af(a) = a. Доведіть, що f(x)=xf(x) = x для всіх x∈Q+x \in \mathbb{Q}^+.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-006

Чудові позначення точок кола числами від 0 до n

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — ціле число. Розглянемо коло і n+1n + 1 точку на ньому, що ділять його на рівні дуги. Розглянемо всі способи позначити ці точки числами 0,1,…,n0, 1, \ldots, n так, що кожне число використовується рівно один раз. Два способи, що відрізняються поворотом, вважаються однаковими. Спосіб позначення назвемо чудовим, якщо для довільних чотирьох міток a<b<c<da < b < c < d таких, що a+d=b+ca + d = b + c, хорда, що сполучає вершини з мітками aa і dd, не перетинає хорду, що сполучає точки з мітками bb і cc. Нехай MM — кількість чудових способів позначення. Нехай NN — кількість упорядкованих пар (x,y)(x, y) натуральних чисел, що задовольняють умови x+y⩽nx + y \leqslant n і (x,y)=1(x, y) = 1. Доведіть, що M=N+1.M = N + 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-007

Розбиття на групи з сумою не більше одиниці

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть найменше ціле число kk з такою властивістю: для будь-яких дійсних чисел a1,…,ada_{1}, \ldots, a_{d} таких, що a1+a2+⋯+ad=na_{1}+a_{2}+\cdots+a_{d}=n і 0⩽ai⩽10 \leqslant a_{i} \leqslant 1 при i=1,2,…,di=1,2, \ldots, d, ці числа можна розбити на kk груп (деякі з яких можуть бути порожніми) так, щоб сума чисел у кожній групі не перевищувала 11.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-013

Функції з подільністю mf(m)+n на m²+f(n)

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} — множина натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} такі, що m2+f(n)∣mf(m)+nm^{2}+f(n) \mid m f(m)+n для всіх натуральних чисел mm і nn.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-001

Симетрія в рекурентно заданих послідовностях

Нехай nn — натуральне число, а a1,…,an−1a_{1}, \ldots, a_{n-1} — довільні дійсні числа. Визначимо послідовності u0,…,unu_{0}, \ldots, u_{n} та v0,…,vnv_{0}, \ldots, v_{n} індуктивно рівностями u0=u1=v0=1u_{0}=u_{1}=v_{0}=1 і uk+1=uk+akuk−1,vk+1=vk+an−kvk−1 для k=1,…,n−1.u_{k+1}=u_{k}+a_{k} u_{k-1}, \quad v_{k+1}=v_{k}+a_{n-k} v_{k-1} \quad \text{ для } k=1, \ldots, n-1 . Доведіть, що un=vnu_{n}=v_{n}.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-005

Середини сторін, середина дуги і рівність відрізків

Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCA B C. Позначимо через MM і NN середини сторін ABA B і ACA C відповідно, а через TT — середину дуги BCB C кола ω\omega, яка не містить AA. Описані кола трикутників AMTA M T і ANTA N T перетинають серединні перпендикуляри до сторін ACA C і ABA B у точках XX і YY відповідно; припустимо, що XX і YY лежать усередині трикутника ABCA B C. Прямі MNM N і XYX Y перетинаються в точці KK. Доведіть, що KA=KTK A=K T.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-008

Відокремлення різнокольорових точок прямими

На площині позначено 2013 червоних точок і 2014 синіх точок так, що жодні три з позначених точок не лежать на одній прямій. Треба провести kk прямих, які не проходять через позначені точки й розбивають площину на кілька областей. Мета — зробити це так, щоб жодна область не містила точок обох кольорів. Знайдіть найменше значення kk, при якому мети можна досягти для будь-якої можливої конфігурації з 4027 точок.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-006

Ромб, вписаний у чотирикутник бісектрис

У трикутнику ABCA B C нехай DD і EE — основи бісектрис кутів AA і BB відповідно. У чотирикутник AEDBA E D B вписано ромб (усі вершини ромба лежать на різних сторонах чотирикутника AEDBA E D B). Нехай φ\varphi — нетупий кут ромба. Доведіть, що φ⩽max⁡{∠BAC,∠ABC}\varphi \leqslant \max \{\angle B A C, \angle A B C\}.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-009

Операції над графом з видаленням вершин непарного степеня

Божевільний фізик відкрив новий вид частинок, які він назвав імонами, після того, як деякі з них загадково з'явилися в його лабораторії. Деякі пари імонів у лабораторії можуть бути заплутаними, і кожен імон може брати участь у багатьох відношеннях заплутаності. Фізик знайшов спосіб виконувати з цими частинками такі два види операцій, по одній операції за раз. (i) Якщо деякий імон заплутаний з непарною кількістю інших імонів у лабораторії, то фізик може його знищити. (ii) У будь-який момент він може подвоїти все сімейство імонів у своїй лабораторії, створивши копію I′I^{\prime} кожного імона II. Під час цієї процедури дві копії I′I^{\prime} і J′J^{\prime} стають заплутаними тоді й лише тоді, коли вихідні імони II і JJ заплутані, і кожна копія I′I^{\prime} стає заплутаною зі своїм вихідним імоном II; жодні інші заплутаності в цей момент не виникають і не зникають. Доведіть, що фізик може застосувати послідовність таких операцій, у результаті якої дістане сімейство імонів, жодні два з яких не заплутані.
10–11 класиСтепені вершин2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-002

Періодична послідовність з обмеженням на суму

Нехай nn — натуральне число. Розглянемо послідовність a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} з натуральних чисел. Продовжимо її періодично до нескінченної послідовності a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots, визначивши an+i=aia_{n+i}=a_{i} для всіх i⩾1i \geqslant 1. Якщо a1⩽a2⩽⋯⩽an⩽a1+na_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \cdots \leqslant a_{n} \leqslant a_{1}+n і aai⩽n+i−1 для i=1,2,…,na_{a_{i}} \leqslant n+i-1 \quad \text{ для } i=1,2, \ldots, n доведіть, що a1+⋯+an⩽n2.a_{1}+\cdots+a_{n} \leqslant n^{2} .
10–11 класиПідрахунок двома способами3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-014

Нескінченна послідовність із квадратами-суфіксами

З'ясуйте, чи існує нескінченна послідовність ненульових цифр a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots і натуральне число NN такі, що для кожного цілого k>Nk > N число akak−1…a1‾\overline{a_{k} a_{k-1} \ldots a_{1}} є повним квадратом.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-010

Різні частини в оптимальному розбитті

Нехай nn — натуральне число, а AA — підмножина {1,…,n}\{1, \ldots, n\}. AA-розбиттям nn на kk частин називається подання nn у вигляді суми n=a1+⋯+akn=a_{1}+\cdots+a_{k}, де частини a1,…,aka_{1}, \ldots, a_{k} належать AA і не обов’язково різні. Кількістю різних частин у такому розбитті називається кількість (різних) елементів множини {a1,a2,…,ak}\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\right\}. Будемо казати, що AA-розбиття nn на kk частин є оптимальним, якщо не існує AA-розбиття nn на rr частин із r<kr<k. Доведіть, що будь-яке оптимальне AA-розбиття nn містить не більше ніж 6n3\sqrt[3]{6 n} різних частин.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-011

Періодичність послідовності з рівності сум

Нехай rr — натуральне число, а a0,a1,…a_{0}, a_{1}, \ldots — нескінченна послідовність дійсних чисел. Припустімо, що для всіх невід’ємних цілих чисел mm і ss існує натуральне число n∈[m+1,m+r]n \in [m+1, m+r] таке, що am+am+1+⋯+am+s=an+an+1+⋯+an+sa_{m}+a_{m+1}+\cdots+a_{m+s}=a_{n}+a_{n+1}+\cdots+a_{n+s} Доведіть, що послідовність є періодичною, тобто існує таке p⩾1p \geqslant 1, що an+p=ana_{n+p}=a_{n} для всіх n⩾0n \geqslant 0.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-003

Функціональне рівняння на невід'ємних цілих числах

Нехай Z⩾0\mathbb{Z}_{\geqslant 0} — множина всіх невід'ємних цілих чисел. Знайдіть усі функції f:Z⩾0→Z⩾0f: \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\geqslant 0}, які задовольняють співвідношення f(f(f(n)))=f(n+1)+1f(f(f(n)))=f(n+1)+1 для всіх n∈Z⩾0n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.