Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-045

Послідовність із відніманням найбільшого квадрата

Починаючи з натурального числа nn, створюють послідовність за таким правилом: кожен член отримують із попереднього відніманням найбільшого повного квадрата, який менший або дорівнює попередньому члену, аж доки не дійдемо до числа нуль. Наприклад, якщо n=142n=142, матимемо таку послідовність із 5 членів: a1=142,a2=21,a3=5,a4=1,a5=0a_{1}=142, a_{2}=21, a_{3}=5, a_{4}=1, a_{5}=0 бо 21=142−11221=142-11^{2}, 5=21−425=21-4^{2}, 1=5−221=5-2^{2} і 0=1−120=1-1^{2}. a) Наведіть приклад послідовності, яка має рівно 6 членів. b) Знайдіть найменше значення nn, для якого створена таким чином послідовність має рівно 7 членів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-002

Пряма через інцентр прямокутного трикутника

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ} та II — точка перетину його бісектрис. Пряма, що проходить через II, перетинає сторони ABAB та ACAC у точках PP та QQ відповідно. Вписане коло трикутника дотикається до сторін ABAB та ACAC у точках MM та NN відповідно. Відстань від II до сторони BCBC дорівнює 1 см1~\text{см}. a) Знайдіть значення PM⋅NQPM \cdot NQ. b) Визначте мінімально можливе значення площі трикутника APQAPQ. Підказка: Якщо xx та yy — два невід’ємні дійсні числа, то x+y≥2xyx+y \geq 2 \sqrt{x y}.
10–11 класиОзнаки подібності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-046

Раціональні пари з вкладеними радикалами

Кажемо, що число є раціональним, якщо його можна записати у вигляді pq\frac{p}{q}, де pp і qq — цілі числа. Якщо дійсне число не є раціональним, кажемо, що воно ірраціональне. Наприклад, 14\frac{1}{4} — раціональне число, а 3\sqrt{3} — ірраціональне. Знайдіть усі пари раціональних чисел (a,b)(a, b) такі, що a+b=2+3\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2+\sqrt{3}}
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-047

Корінь кубічного рівняння та розклад на множники

Розгляньмо дійсні числа pp і qq та кубічне рівняння: x3+px+q=0x^{3}+p x+q=0 a) Якщо x0x_{0} — дійсний корінь рівняння, то x3+px+q=(x−x0)(x2+ax+b)x^{3}+p x+q=\left(x-x_{0}\right)\left(x^{2}+a x+b\right) Доведіть, що a=x0a=x_{0}. b) Доведіть, що p2≥4x0qp^{2} \geq 4 x_{0} q.
10–11 класиМетод невизначених коефіцієнтів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-048

Коло на діагоналі квадрата

У квадраті ABCDA B C D точки MM і NN є внутрішніми точками сторін BCB C і CDC D так, що ∠MAN=45∘\angle M A N=45^{\circ}. Нехай OO — точка перетину кола, яке проходить через C,MC, M і NN, з відрізком ACA C. a) Доведіть, що OM=ONO M=O N. b) Доведіть, що OO є центром кола, яке проходить через A,MA, M і NN.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-049

Подібні трикутники в прямокутнику з перпендикулярами

Нехай ABCDABCD — прямокутник з BC=2⋅ABBC = 2 \cdot AB. Нехай EE — середина сторони BCBC, а PP — довільна внутрішня точка сторони ADAD. Нехай FF і GG — основи перпендикулярів, проведених із AA до прямої BPBP та із DD до прямої CPCP. Відомо, що ∠BPC=85∘\angle BPC = 85^\circ. a) Доведіть, що трикутники BEFBEF і BEPBEP подібні. b) Знайдіть значення суми кутів ∠BEF+∠CEG\angle BEF + \angle CEG.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-050

Добуток виразів із квадратами чисел Фібоначчі

Послідовність Фібоначчі задано рекурентно рівністю Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} для n∈Zn \in \mathbb{Z} і F1=F2=1F_{1}=F_{2}=1. Знайдіть значення: (1−F22F32)(1−F32F42)⋅…⋅(1−F20192F20202)\left(1-\frac{F_{2}^{2}}{F_{3}^{2}}\right)\left(1-\frac{F_{3}^{2}}{F_{4}^{2}}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1-\frac{F_{2019}^{2}}{F_{2020}^{2}}\right)
10–11 класиЧисла Фібоначі
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-051

Дотичні та кут у колі

На рисунку нижче відрізки AMA M, AKA K, B2C2B_{2} C_{2} і B1C1B_{1} C_{1} є дотичними до кола з центром OO. Якщо ∠B1OB2=30∘\angle B_{1} O B_{2} = 30^{\circ}, знайдіть величину кута ∠B1DB2\angle B_{1} D B_{2}.
10–11 класиДотична кола
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-052

Непарна періодична функція

Нехай f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} — непарна функція, тобто функція, яка задовольняє −f(x)=f(−x)-f(x)=f(-x) для всіх x∈Rx \in \mathbb{R}. Припустимо, що f(x+5)=f(x)f(x+5)=f(x) для всіх x∈Rx \in \mathbb{R} і що f(1/3)=1f(1 / 3)=1. Знайдіть значення суми: f(16/3)+f(29/3)+f(12)+f(−7)f(16 / 3)+f(29 / 3)+f(12)+f(-7)
10–11 класиПеріодичні функції
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-003

Трикутник зі співвідношенням кутів і висотою

На малюнку нижче ∠CAB=2⋅∠CBA\angle C A B = 2 \cdot \angle C B A, ADA D — висота, а MM — середина сторони ABA B. Якщо AC=2 смA C = 2~\text{см}, знайдіть довжину відрізка DMD M.
10–11 класиОписане коло
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-053

Квадрат з перетином діагоналей і площа чотирикутника

Квадрат ABCDA B C D зі стороною 1 см1~\text{см} вписано в коло з центром OO. Точка MM лежить на дузі BCB C, відрізок AMA M перетинає BDB D в точці PP, відрізок DMD M перетинає ACA C в точці QQ. a) Перевірте, що ∠AQD=∠PAD\angle A Q D=\angle P A D. b) Знайдіть площу чотирикутника APQDA P Q D.
10–11 класиОзнаки подібності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-054

Симетрія суми значень показникової функції

Нехай f(x)=9x9x+3f(x)=\frac{9^{x}}{9^{x}+3}. а) Знайдіть значення f(x)+f(1−x)f(x)+f(1-x). б) Обчисліть значення суми f(12020)+f(22020)+f(32020)+…+f(20192020)f\left(\frac{1}{2020}\right)+f\left(\frac{2}{2020}\right)+f\left(\frac{3}{2020}\right)+\ldots+f\left(\frac{2019}{2020}\right)
10–11 класиЗаміни, породжені симетрією
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-055

Прямокутник з півколом і довжинами відрізків

Нехай ABCDABCD — прямокутник такий, що AB=2BCAB = \sqrt{2} BC. Нехай EE — точка на півколі з діаметром ABAB, як показано на рисунку нижче. Нехай KK і LL — точки перетину відрізка ABAB з відрізками EDED і ECEC відповідно. Якщо AK=2 смAK = 2\ \text{см} і BL=9 смBL = 9\ \text{см}, обчисліть, у см\text{см}, довжину відрізка KLKL.
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-056

Двозначні числа, що ділять своїх родичів

Нехай ab‾\overline{a b} — двозначне ціле число. Додатне ціле число nn є родичем числа ab‾\overline{a b}, якщо: i) цифра одиниць числа nn також дорівнює bb. ii) інші цифри числа nn відмінні від нуля і в сумі дають aa. Наприклад, родичами числа 31 є 31, 121, 211 і 1111. Знайдіть усі двозначні числа, які ділять усіх своїх родичів.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-057

Адитивна функція з умовою для простих чисел

Для кожного натурального числа nn задано невід'ємне ціле число f(n)f(n) так, що виконуються такі три правила: i) f(ab)=f(a)+f(b)f(a b)=f(a)+f(b). ii) f(n)=0f(n)=0, якщо nn — просте число, більше за 10.. iii) f(1)<f(243)<f(2)<11f(1)<f(243)<f(2)<11. Відомо, що f(2106)<11f(2106)<11. Знайдіть значення f(96)f(96).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-058

Сто учнів, сто шафок і кількість зачинених

У школі є 100 учнів і 100 шафок, пронумерованих від 1 до 100. Спочатку всі шафки зачинені. Перший учень проходить і відчиняє всі шафки; другий проходить і зачиняє всі шафки з парними номерами; третій проходить і змінює стан усіх шафок, кратних 3, тобто відчинені він зачиняє, а зачинені відчиняє; четвертий учень змінює стан усіх шафок з номерами, кратними 4; і так далі аж до сотого учня, який змінює стан шафок з номерами, кратними 100. Скільки шафок залишаться зачиненими, коли пройдуть усі учні?
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-059

Послідовні щасливі числа

Будемо казати, що натуральне число є щасливим, якщо, додавши квадрати його цифр і повторюючи цю операцію послідовно, отримаємо число 11. Наприклад, число 19001900 є щасливим, оскільки 1900→82→68→100→11900 \rightarrow 82 \rightarrow 68 \rightarrow 100 \rightarrow 1 a) Знайдіть два послідовні двоцифрові щасливі числа. b) Доведіть, що для кожного n>2020n>2020 існують два послідовні щасливі числа з nn цифр.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-060

Покриття пар альянсами обмеженого розміру

На планеті XX є 100 інопланетних країн, що конфліктують між собою. Щоб уникнути світової війни, ці країни об'єднуються в групи військових альянсів для взаємного захисту. Відомо, що альянси підпорядковуються таким правилам: 1) Жоден альянс не містить понад 50 країн. 2) Будь-які дві країни належать принаймні до одного альянсу. а) Чи можливо, що якась країна бере участь у менш ніж трьох військових альянсах? б) Яка найменша можлива кількість альянсів, за якої ці дві умови виконуються?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-061

Точки третин рівностороннього трикутника та відношення EG до GD

На малюнку поруч трикутник ABCA B C є рівностороннім, точки DD, EE, FF лежать на сторонах ABA B, BCB C, CAC A відповідно, BD=CE=AF=AB3B D = C E = A F = \frac{A B}{3}, а GG — точка перетину відрізків BFB F і DED E. Відношення EGGD\frac{E G}{G D} можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n) = 1. Чому дорівнює m+nm+n?
10–11 класиВідношення площ трикутників
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-062

Симетрична кубічна система від трьох змінних

Нагадаємо, що (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3ac2+3a2c+3b2c+3bc2+6abc\begin{aligned} (a+b+c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 3 a c^{2} + 3 a^{2} c + 3 b^{2} c + 3 b c^{2} + 6 a b c \end{aligned} Знайдіть усі розв'язки системи рівнянь a3+3ab2+3ac2−6abc=1b3+3ba2+3bc2−6abc=1c3+3ca2+3cb2−6abc=1\begin{aligned} a^{3} + 3 a b^{2} + 3 a c^{2} - 6 a b c & = 1 \\ b^{3} + 3 b a^{2} + 3 b c^{2} - 6 a b c & = 1 \\ c^{3} + 3 c a^{2} + 3 c b^{2} - 6 a b c & = 1 \end{aligned}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-063

Підмножина без прямокутників на дошці 7 на 7

На дошці 7×77 \times 7 скажемо, що 4 клітинки, позначені XX, утворюють замок, якщо вони є вершинами прямокутника зі сторонами, паралельними сторонам дошки, як показано на рисунку нижче: a) Позначте 21 клітинку знаком XX на дошці 7×77 \times 7 так, щоб серед них не було жодного замку. b) Доведіть, що за будь-якого вибору 22 клітинок зі знаком XX завжди існуватиме замок.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-064

Заміна трьох чисел на дошці одним числом

На дошці записано 2020 чисел 1⋅2,2⋅3,3⋅4,…,2020⋅20211 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots, 2020 \cdot 2021 Один хід полягає у виборі трьох чисел a,b,ca, b, c, записаних на дошці, їх стиранні та записуванні на дошку числа abcab+bc+ac\frac{a b c}{a b + b c + a c} a) Перевірте, що 1a+1b+1c=(abcab+bc+ac)−1\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \left(\frac{a b c}{a b + b c + a c}\right)^{-1} b) Користуючись 1k(k+1)=1k−1k+1\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} знайдіть значення суми 11⋅2+12⋅3+13⋅4+…+12020⋅2021\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{2020 \cdot 2021} c) Після 1009 ходів на дошці залишаються два числа. Доведіть, що якщо одне з них дорівнює 4/34/3, то інше більше за 44.
10–11 класиІнші інваріанти
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-004

Рукостискання в прямокутній сітці

На змаганнях учасники займають усі місця в прямокутному залі, де сидіння розташовані рядами та стовпцями таким чином, що є більше двох рядів і в кожному ряду більше двох місць. У певний момент ці учасники отримують наказ потиснути руку лише своїм безпосереднім сусідам у залі, тобто тим, хто знаходиться ліворуч, праворуч, спереду, ззаду та по діагоналі. Хтось помітив, що було зроблено 1020 рукостискань. Нехай nn — кількість рядів, а mm — кількість місць у кожному ряду. a) Які кількості рукостискань міг зробити учасник у залі? b) Для кожної з кількостей xx, описаних у попередньому пункті, обчисліть, скільки учасників зробили xx рукостискань. c) Визначте кількість учасників, які були в залі.
10–11 класиСтепені вершин
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-005

Дільники суми послідовних простих чисел

Нехай p≥5p \geq 5 — просте число, нехай qq — найменше просте число таке, що q>pq>p, і нехай nn — кількість додатних дільників числа p+qp+q (1 і p+qp+q включно). a) Доведіть, що незалежно від того, яке просте число pp обрано, число nn більше або дорівнює 4. b) Знайдіть найменше можливе значення mm, якого nn може набувати серед усіх можливих виборів pp. Тобто: b1b_{1}) Наведіть приклад простого числа pp, для якого досягається значення mm. b2b_{2}) Доведіть, що не існує простого числа pp, для якого значення nn менше за mm.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-001

Паралельні прямі в конфігурації з колом

Нехай kk — коло з центром OO. Нехай A,B,CA, B, C і DD — чотири різні точки на колі kk у цьому порядку, причому ABA B — діаметр кола kk. Описане коло трикутника CODC O D перетинає ACA C вдруге в точці PP. Доведіть, що прямі OPO P і BDB D паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.