Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-056

Максимум подвійної суми мінімумів

Нехай (a1,…,a20)(a_{1}, \ldots, a_{20}) і (b1,…,b20)(b_{1}, \ldots, b_{20}) — дві послідовності цілих чисел такі, що послідовність (a1,…,a20,b1,…,b20)(a_{1}, \ldots, a_{20}, b_{1}, \ldots, b_{20}) містить кожне з чисел 1,…,401, \ldots, 40 рівно один раз. Яке найбільше можливе значення суми ∑i=120∑j=120min⁡(ai,bj)?\sum_{i=1}^{20} \sum_{j=1}^{20} \min (a_{i}, b_{j}) ?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-057

Трикутник з перетинів парабол

Нехай у трикутнику ABCABC парабола з фокусом AA і директрисою BCBC перетинає сторони ABAB і ACAC у точках A1A_1 і A2A_2 відповідно. Аналогічно, нехай парабола з фокусом BB і директрисою CACA перетинає сторони BCBC і BABA у точках B1B_1 і B2B_2 відповідно. Нарешті, нехай парабола з фокусом CC і директрисою ABAB перетинає сторони CACA і CBCB у точках C1C_1 і C2C_2 відповідно. Якщо трикутник ABCABC має сторони завдовжки 55, 1212 і 1313, знайдіть площу трикутника, утвореного прямими A1C2A_1C_2, B1A2B_1A_2 і C1B2C_1B_2.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-058

Степені комплексного числа через суму з оберненим

Нехай xx — комплексне число таке, що x+x−1x + x^{-1} є коренем многочлена p(t)=t3+t2−2t−1p(t) = t^{3} + t^{2} - 2 t - 1. Знайдіть усі можливі значення x7+x−7x^{7} + x^{-7}.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-059

Многочлени з умовою знакозмінної суми

Нехай f(n)f(n) і g(n)g(n) — многочлени степеня 20142014 такі, що f(n)+(−1)ng(n)=2nf(n)+(-1)^{n} g(n)=2^{n} для n=1,2,…,4030n=1,2, \ldots, 4030. Знайдіть коефіцієнт при x2014x^{2014} у g(x)g(x).
10–11 класиІнтерполяційні многочлени
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-060

Очікувана кількість кроків для зафарбовування відрізка

У Наталі є одиничний відрізок [0,1][0,1], пофарбований у білий колір. Також у неї є чорний маркер, і вона фарбує відрізок у такий спосіб: на кожному кроці вона вибирає значення x∈[0,1]x \in [0,1] рівномірно навмання, і a. Якщо x≤12x \leq \frac{1}{2}, вона зафарбовує проміжок [x,x+12]\left[x, x+\frac{1}{2}\right] своїм маркером. b. Якщо x>12x > \frac{1}{2}, вона зафарбовує проміжки [x,1][x, 1] і [0,x−12]\left[0, x-\frac{1}{2}\right] своїм маркером. Чому дорівнює математичне сподівання кількості кроків, які знадобляться Наталі, щоб зафарбувати весь відрізок у чорний колір?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-061

Геометричне місце інцентра при фіксованій хорді

Нехай ω\omega — фіксоване коло радіуса 11, а BCBC — фіксована хорда кола ω\omega така, що BC=1BC = 1. Геометричне місце інцентрів трикутника ABCABC, коли точка AA рухається по колу ω\omega, обмежує область R\mathcal{R} на площині. Знайдіть площу області R\mathcal{R}.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-062

Трикутник, у якого лінія центрів паралельна стороні

Нехай ABCABC — трикутник із центром описаного кола OO, центром вписаного кола II, ∠B=45∘\angle B = 45^{\circ} і OI∥BCOI \parallel BC. Знайдіть cos⁡∠C\cos \angle C.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-063

Очікувана кількість кидків до нестрогого спадання

Припустімо, що ми кидаємо чесний 2014-гранний гральний кубик (грані якого позначено 1,2,…,20141,2, \ldots, 2014), доки не отримаємо значення, менше або рівне попередньому. Нехай EE — математичне сподівання кількості кидків кубика. Знайдіть найближче ціле число до 100E100 E.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-064

Нескінченні ковтки з трикутної чашки

Плаский Альберт і його приятель Майк дивляться гру в неділю вдень. Альберт п’є лимонад із двовимірної чашки, що є рівнобедреним трикутником, висота й основа якого дорівнюють 99 см і 66 см; отвір чашки відповідає основі, яка напрямлена вгору. Щохвилини після початку гри відбувається таке: якщо минуло nn хвилин, Альберт енергійно розмішує свій напій і робить ковток висотою 1n2\frac{1}{n^{2}} см. Невдовзі після цього, поки Альберт захоплено дивиться гру, Майк доливає в чашку журавлинний сік, доки вона знову не стане повною, намагаючись створити журавлинний лимонад Майка. Альберт робить ковтки точно щохвилини, і його перший ковток відбувається рівно за хвилину після початку гри. Нехай AA — кількість журавлинного соку, долитого за нескінченно довгий час (у квадратних сантиметрах). Знайдіть ціле число, найближче до 27π2A\frac{27}{\pi^{2}} A.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-065

Комплексна пара з оберненою сумою

Знайдіть усі впорядковані пари (a,b)(a, b) комплексних чисел, для яких a2+b2≠0a^{2}+b^{2} \neq 0, a+10ba2+b2=5a+\frac{10 b}{a^{2}+b^{2}}=5 і b+10aa2+b2=4b+\frac{10 a}{a^{2}+b^{2}}=4.
10–11 класиКомплексні числа2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-066

Ітерації квадратичної функції за модулем 89

Нехай f(x)=x2−2f(x) = x^{2} - 2, а fnf^{n} позначає функцію ff, застосовану nn разів. Обчисліть остачу від ділення f24(18)f^{24}(18) на 8989.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-067

Шляхи на ґратці, що оминають центральний квадрат

Шляхом угору-вправо з (a,b)∈R2(a, b) \in \mathbb{R}^{2} до (c,d)∈R2(c, d) \in \mathbb{R}^{2} називається скінченна послідовність (x1,y1),…,(xk,yk)\left(x_{1}, y_{1}\right), \ldots,\left(x_{k}, y_{k}\right) точок з R2\mathbb{R}^{2} така, що (a,b)=(x1,y1),(c,d)=(xk,yk)(a, b)=\left(x_{1}, y_{1}\right),(c, d)=\left(x_{k}, y_{k}\right), і для кожного 1≤i<k1 \leq i<k виконується або (xi+1,yi+1)=(xi+1,yi)\left(x_{i+1}, y_{i+1}\right)=\left(x_{i}+1, y_{i}\right), або (xi+1,yi+1)=(xi,yi+1)\left(x_{i+1}, y_{i+1}\right)=\left(x_{i}, y_{i}+1\right). Нехай SS — множина всіх шляхів угору-вправо з (−400,−400)(-400,-400) до (400,400)(400,400). Яку частку шляхів множини SS становлять шляхи, що не містять жодної точки (x,y)(x, y) такої, що ∣x∣,∣y∣≤10|x|,|y| \leq 10? Відповідь запишіть десятковим числом між 0 і 1. Якщо CC — точна відповідь на це запитання, а AA — ваша відповідь, то ваш результат за цю задачу становить ⌈max⁡{25(1−10∣C−A∣),0}⌉\lceil\max \{25(1-10|C-A|), 0\}\rceil.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-068

Замощення дошки після вилучення однієї клітинки

Скільки існує способів вилучити одну клітинку з клітинної дошки 2014×20142014 \times 2014 так, щоб фігуру, що залишилася, можна було замостити прямокутниками 1×31 \times 3 і 3×13 \times 1?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-069

Стрибки жаби повз випадкових змій

Розглянемо числову пряму, на кожній цілій точці якої розташоване латаття. Жаба стоїть на лататті в точці 00 і хоче дістатися до латаття в точці 20142014. Якщо жаба стоїть у точці nn, вона може безпосередньо стрибнути або в точку n+2n+2, або в точку n+3n+3. Кожен з листків латаття в точках 1,⋯ ,20131, \cdots, 2013 незалежно з імовірністю 1/21 / 2 містить змію. Нехай pp — імовірність того, що жаба зможе деякою послідовністю стрибків дістатися до латаття в точці 20142014, жодного разу не приземлившись на латаття зі змією. Чому дорівнює p1/2014p^{1 / 2014}? Відповідь запишіть десятковим числом. Якщо CC — справжня відповідь на це запитання, а AA — ваша відповідь, то ваш бал за цю задачу становить ⌈max⁡{25(1−20∣C−A∣),0}⌉\lceil\max \{25(1-20|C-A|), 0\}\rceil.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-070

Оцінка кількості дільників факторіала

Нехай MM — кількість натуральних чисел, що ділять 2014!2014!, а NN — ціле число, найближче до ln⁡(M)\ln (M). Оцініть значення NN. Якщо ваша відповідь — натуральне число AA, ваш бал за цю задачу дорівнюватиме більшому з чисел 00 і ⌊20−18∣A−N∣⌋\left\lfloor 20-\frac{1}{8}|A-N|\right\rfloor. Інакше ваш бал дорівнюватиме нулю.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-071

Зв’язні графи на колі з десятьма точками

Десять точок рівномірно розміщено на колі. Граф — це множина відрізків (можливо, порожня), проведених між парами точок, так, що будь-які дві точки з’єднано або жодним, або одним відрізком. Два графи вважаються однаковими, якщо один можна отримати з іншого перестановкою точок. Нехай NN позначає кількість графів з властивістю, що для будь-яких двох точок існує шлях від однієї до іншої серед відрізків графа. Оцініть значення NN. Якщо ваша відповідь — натуральне число AA, ваш результат за цю задачу дорівнюватиме більшому з 0 і ⌊20−5∣ln⁡(A/N)∣⌋\lfloor 20-5|\ln (A / N)|\rfloor. Інакше ваш результат дорівнюватиме нулю.
10–11 класиЗв’язність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-072

Хронологія теорем про трикутники

Виберіть підмножину з принаймні чотирьох із наведених нижче геометричних теорем, упорядкуйте їх від найранішої до найпізнішої за датою публікації та запишіть їхні позначки (по одній великій літері) у цьому порядку. Якщо теорему відкривали кілька разів, використовуйте дату публікації, що відповідає геометру, на честь якого названо теорему. C. (Чева) Три чевіани ADAD, BEBE, CFCF трикутника ABCABC перетинаються в одній точці тоді й лише тоді, коли BDDCCEEAAFFB=1\frac{BD}{DC} \frac{CE}{EA} \frac{AF}{FB}=1. E. (Ейлер) У трикутнику ABCABC з інцентром II і центром описаного кола OO маємо IO2=R(R−2r)IO^{2}=R(R-2r), де rr — радіус вписаного кола, а RR — радіус описаного кола трикутника ABCABC. H. (Герон) Площа трикутника ABCABC дорівнює s(s−a)(s−b)(s−c)\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, де s=12(a+b+c)s=\frac{1}{2}(a+b+c). M. (Менелай) Якщо D,E,FD, E, F лежать на прямих BC,CA,ABBC, CA, AB, то вони лежать на одній прямій тоді й лише тоді, коли BDDCCEEAAFFB=−1\frac{BD}{DC} \frac{CE}{EA} \frac{AF}{FB}=-1, де відношення напрямлені. P. (Паскаль) Точки перетину протилежних сторін вписаного шестикутника лежать на одній прямій. S. (Стюарт) Нехай ABCABC — трикутник, а DD — точка на стороні BCBC. Покладемо m=BD,n=CD,d=ADm=BD, n=CD, d=AD. Тоді man+dad=bmb+cncman+dad=bmb+cnc. V. (Варіньйон) Середини сторін довільного чотирикутника є вершинами паралелограма. Якщо ваша відповідь — це список з 4≤N≤74 \leq N \leq 7 позначок у правильному порядку, ваш бал дорівнюватиме (N−2)(N−3)(N-2)(N-3). Інакше ваш бал дорівнюватиме нулю.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові тести на IMOTST-2014-003

Многочлен з обмеженими коефіцієнтами і дійсним коренем

Знайти найменше натуральне число nn, для якого існує многочлен P(X)=a2nX2n+a2n−1X2n−1+…+a1X+a0P(X)=a_{2 n} X^{2 n}+a_{2 n-1} X^{2 n-1}+\ldots+a_{1} X+a_{0} з дійсними коефіцієнтами, який має обидві такі властивості: - Для i=0,1,…,2ni=0,1, \ldots, 2 n виконується 2014≤ai≤20152014 \leq a_{i} \leq 2015. - Існує дійсне число ξ\xi, для якого P(ξ)=0P(\xi)=0.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-004

Рівняння з кубічним коренем у цілих числах

Знайдіть усі пари (x,y)(x, y) цілих чисел, які задовольняють рівняння 7x2−13xy+7y23=∣x−y∣+1\sqrt[3]{7 x^{2}-13 x y+7 y^{2}} = |x-y| + 1
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Відбіркові тести на IMOTST-2014-005

Сума та сума квадратів двох цілих чисел

Знайдіть усі невід'ємні цілі числа nn, для яких існують цілі числа aa і bb такі, що n2=a+bn^{2}=a+b і n3=a2+b2n^{3}=a^{2}+b^{2}.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-006

Пари натуральних чисел з подільністю a²+b і b²-a

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел, для яких a2+b∣a2b+aіb2−a∣ab2+b.a^{2}+b \mid a^{2} b+a \quad \text{і} \quad b^{2}-a \mid a b^{2}+b .
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-001

Значення функції з умовою f(n) = f(n/p) − f(p)

Нехай f:Z>0→Rf: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{R} — функція, для якої виконується: для всіх n>1n>1 існує простий дільник pp числа nn такий, що f(n)=f(np)−f(p)f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p) Крім того, відомо, що f(22014)+f(32015)+f(52016)=2013f\left(2^{2014}\right)+f\left(3^{2015}\right)+f\left(5^{2016}\right)=2013. Обчисліть f(20142)+f(20153)+f(20165)f\left(2014^{2}\right)+f\left(2015^{3}\right)+f\left(2016^{5}\right).
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2014-002

Рухомі перпендикуляри та нерухома точка

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, а XX — змінна внутрішня точка меншої дуги BC^\widehat{BC} його описаного кола. Нехай PP і QQ — основи перпендикулярів, опущених із XX на прямі CACA і CBCB відповідно. Нехай RR — точка перетину прямої PQPQ із перпендикуляром, опущеним із BB на ACAC. Нехай ℓ\ell — пряма, що проходить через PP паралельно до XRXR. Доведіть, що коли XX рухається меншою дугою BC^\widehat{BC}, пряма ℓ\ell завжди проходить через деяку нерухому точку. (Точніше: доведіть, що існує точка FF, визначена трикутником ABCABC, така, що незалежно від того, де саме лежить XX на дузі BC^\widehat{BC}, пряма ℓ\ell проходить через FF.)
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2014-037

Подібність трикутників, породжена серединами дуг

Нехай ABCABC — трикутник, а D,E,FD, E, F — середини дуг BC,CA,ABBC, CA, AB на описаному колі. Пряма lal_a проходить через основи перпендикулярів, опущених з AA на прямі DBDB і DCDC. Пряма mam_a проходить через основи перпендикулярів, опущених з DD на прямі ABAB і ACAC. Нехай A1A_1 — точка перетину прямих lal_a і mam_a. Точки B1B_1 і C1C_1 визначимо аналогічно. Доведіть, що трикутники DEFDEF і A1B1C1A_1B_1C_1 подібні.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2014-010

Некішні числа серед послідовних чисел

Натуральне число nn називається некішним, якщо його можна записати у вигляді n=ab+bn = a^{b} + b з двома цілими числами a,b≥2a, b \geq 2. З'ясуйте, чи існують 102 послідовні натуральні числа, серед яких рівно 100 некішних.
10–11 класиНСД та НСК

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.