Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Відбіркові тести на IMOTST-2014-031

Цілі середні двох різних натуральних чисел

Доведіть, що не існує двох різних натуральних чисел, для яких середнє гармонічне, середнє геометричне, середнє арифметичне та середнє квадратичне були б усі натуральними числами.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Відбіркові тести на IMOTST-2014-040

Функціональне рівняння з ітераціями на добутку abc

Нехай N\mathbb{N} — множина натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, які задовольняють рівняння fabc−a(abc)+fabc−b(abc)+fabc−c(abc)=a+b+cf^{abc-a}(abc) + f^{abc-b}(abc) + f^{abc-c}(abc) = a + b + c для всіх a,b,c≥2a, b, c \ge 2. (Тут f1(n)=f(n)f^1(n) = f(n) і fk(n)=f(fk−1(n))f^k(n) = f(f^{k-1}(n)) для кожного цілого kk, більшого за 1.)
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Відбіркові тести на IMOTST-2014-032

Велика вільна від сум підгрупа в ℤ/pℤ

Для простого числа pp підмножину SS лишків за модулем pp називають вільною від сум мультиплікативною підгрупою Fp\mathbb{F}_p, якщо: існує ненульовий лишок α\alpha за модулем pp такий, що S={1,α1,α2,… }S = \{1, \alpha^1, \alpha^2, \dots\} (усе розглядається за модулем pp), і немає таких a,b,c∈Sa, b, c \in S (не обов'язково різних), що a+b≡c(modp)a + b \equiv c \pmod p. Доведіть, що для кожного цілого числа NN існують такі просте число pp і вільна від сум мультиплікативна підгрупа SS у Fp\mathbb{F}_p, що ∣S∣≥N|S| \ge N.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Відбіркові тести на IMOTST-2014-033

Дотичні кола й прямокутний трикутник

Два кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дотикаються в точці AA і містяться всередині кола Ω\Omega. При цьому ω1\omega_{1} дотикається до кола Ω\Omega в точці BB, а ω2\omega_{2} дотикається до кола Ω\Omega в точці CC. Пряма ACA C перетинає ω1\omega_{1} ще раз у точці DD. Доведіть, що DBCD B C — прямокутний трикутник, якщо A,BA, B і CC не лежать на одній прямій.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-041

Остовні дерева з забороненими ребрами

Країна має nn міст, позначених 11, 22, 33, …\dots, nn. Вона хоче прокласти рівно n−1n-1 доріг між деякими парами міст так, щоб з кожного міста можна було потрапити до кожного іншого певною послідовністю доріг. Однак не дозволяється прокладати дороги між парами міст, номери яких відрізняються рівно на 11, і так само не дозволяється прокладати дорогу між містами 11 і nn. Нехай TnT_n — загальна кількість можливих способів прокласти ці дороги. a. Для всіх непарних nn доведіть, що TnT_n ділиться на nn. b. Для всіх парних nn доведіть, що TnT_n ділиться на n/2n/2.
10–11 класиДерева2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-042

Рекурентна послідовність із різними остачами

Нехай функція f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} задана умовами f(1)=1f(1) = 1, f(n+1)=f(n)+2f(n)f(n + 1) = f(n) + 2^{f(n)} для кожного натурального числа nn. Доведіть, що числа f(1),f(2),…,f(32013)f(1), f(2), \dots, f(3^{2013}) дають попарно різні остачі при діленні на 320133^{2013}.
10–11 класиТеорема Ейлера
Відбіркові тести на IMOTST-2014-034

Шляхи без перетинів у множині точок

Нехай nn — натуральне число, а A={P1,P2,…,Pn}A=\{P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}\} — множина з nn точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Шлях через множину AA складається з n−1n-1 відрізків Pσ(i)Pσ(i+1)P_{\sigma(i)} P_{\sigma(i+1)} для i=1,…,n−1i=1, \ldots, n-1, де σ\sigma — перестановка множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}, така, що жодні два відрізки не перетинаються. Доведіть, що кількість різних шляхів через множину AA є мінімальною тоді й лише тоді, коли точки з AA утворюють опуклий nn-кутник.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбіркові тести на IMOTST-2014-043

Раціональні косинуси та множини, інваріантні відносно повороту

Нехай rr — раціональне число з проміжку [−1,1][-1, 1], і нехай θ=cos⁡−1r\theta = \cos^{-1} r. Підмножину SS площини назвемо доброю, якщо SS не змінюється при повороті на кут θ\theta навколо довільної точки з SS (як за годинниковою стрілкою, так і проти неї). Знайдіть усі значення rr, що мають таку властивість: середина відрізка з кінцями в будь-яких двох точках доброї множини також належить цій множині.
10–11 класиКомплексні числа
Відбіркові тести на IMOTST-2014-035

Спільні ребра двох гамільтонових обходів сітки

Квадрат 7×77 \times 7 поділено на 49 маленьких квадратів 1×11 \times 1. Дві мурахи повзуть уздовж сторін маленьких квадратів, причому кожна мураха проходить власним замкненим шляхом і відвідує всі 64 вершини маленьких квадратів рівно один раз. Яка мінімальна кількість сторін маленьких квадратів, якими проходять обидві мурахи?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-036

Натуральні числа з вільними від квадратів остачами

Знайдіть усі натуральні числа nn з такою властивістю: для всіх простих чисел p<np < n число n−⌊np⌋pn - \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor p не ділиться на квадрат натурального числа, більшого за 11.
10–11 класиМіркування за модулем
Італійська математична олімпіадаITAMO-2014-001

Трицифрові числа з дільником після викреслення нулів

Для кожного трицифрового натурального числа nn (отже, з першою цифрою, відмінною від нуля) розглянемо число n0n_{0}, отримане з nn викресленням усіх його цифр, що дорівнюють нулю. Наприклад, якщо n=205n=205, то n0=25n_{0}=25. Визначити кількість трицифрових чисел nn, для яких n0n_{0} є дільником числа nn, відмінним від nn.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2014-002

НСД сум трьох послідовних степенів

Для кожного натурального числа nn нехай DnD_{n} — найбільший спільний дільник усіх чисел вигляду an+(a+1)n+(a+2)na^{n} + (a+1)^{n} + (a+2)^{n}, де aa пробігає всі натуральні числа. a. Доведіть, що для кожного nn число DnD_{n} має вигляд 3k3^{k} для деякого цілого k≥0k \geq 0. b. Доведіть, що для кожного k≥0k \geq 0 існує ціле число nn таке, що Dn=3kD_{n} = 3^{k}.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-004

Ймовірність однакових розфарбованих тетраедрів

Грані двох однакових правильних тетраедрів фарбують у червоний, білий, зелений, синій кольори; кольори вибирають випадково, але всі чотири грані кожного тетраедра мають бути різного кольору. Яка ймовірність того, що після фарбування два тетраедри будуть нерозрізнюваними? (A) 14!\frac{1}{4!} (B) 24!\frac{2}{4!} (C) 14\frac{1}{4} (D) 12\frac{1}{2} (E) 1
9–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-005

Селяни, вовкулаки і некроманти в колі

60 жителів села можуть бути трьох типів: селяни (які завжди кажуть правду), вовкулаки (які завжди брешуть) і некроманти (які відповідають як захочуть). Окрім такої поведінки члени кожної групи зовсім не відрізняються від членів інших. З приходом відвідувача вони стають у коло і кожен заявляє, що житель праворуч від нього — вовкулака. Яке з цих тверджень обов’язково правдиве? (A) Є хоча б один некромант. (B) Вовкулак не більше 20. (C) Селян не більше 30. (D) Некромантів не більше 40. (E) Жодне з попередніх.
9–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-006

Три дотичні піци на прямокутному столі

Троє друзів заходять до піцерії Джорджо і сідають кожен біля одного боку прямокутного столу; перший сидить біля боку довжиною 70 см70~\text{см}, другий і третій сидять один навпроти одного, біля боків довжиною ll. Піци мають діаметр 30 см30~\text{см}; Джорджо подає піцу першому відвідувачу так, щоб вона дотикалася до його боку столу в середній точці, а піци двох інших — так, щоб вони дотикалися до відповідних боків столу і до першої піци. Яке найменше значення ll (у сантиметрах), за якого три піци можуть повністю поміститися на столі? (A) 10510 \sqrt{5} (B) 20+5520+5 \sqrt{5} (C) 15+10515+10 \sqrt{5} (D) 30+10530+10 \sqrt{5} (E) 60
9–11 класиКола, що дотикаються
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-007

Ітероване відображення останніх двох цифр

Давіде грає в таку гру: він починає з цілого числа від 1 до 99 і на кожному ході замінює число nn, яке має в цей момент, на число, утворене останніми двома цифрами числа 51n+5051 n+50 (або лише останньою цифрою, якщо передостання дорівнює 0). Скільки різних чисел він може отримати щонайбільше протягом перших 100 ходів однієї партії? (A) 2 (B) 4 (C) 51 (D) 99 (E) 100
9–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-008

Двоцифрове число зі змішаною подільністю

Алессандро, Даніеле і Мануела обговорюють натуральне двоцифрове число nn. Кожен із них робить два твердження, але оскільки всі вони трохи слабкі в математиці, кожен робить одне правдиве твердження й одне хибне. Алессандро каже: «nn — парне. Крім того, воно кратне 3.»; Даніеле відповідає: «Так, nn кратне 3. Крім того, цифра одиниць числа nn дорівнює 5.»; Мануела каже нарешті: «nn кратне 5. Сума його цифр дорівнює 12.». Скільки значень може набувати nn? (A) Такого nn не існує. (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
9–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-009

Степені четвірки з обмеженими цифрами в трійковій системі

Скільки існує натуральних чисел, які є степенем 44 і записуються в системі числення з основою 33 лише цифрами 00 і 11, причому 00 вживається скільки завгодно разів (можливо, жодного), а 11 — щонайбільше двічі? (A) 44 (B) 22 (C) 11 (D) 00 (E) Нескінченно багато.
9–11 класиСистеми числення
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-010

Дійсні розв'язки симетричної системи

Дано систему {x+y+z=7x2+y2+z2=27xyz=5\begin{cases} x + y + z = 7 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 27 \\ xyz = 5 \end{cases} Скільки впорядкованих трійок дійсних чисел (x,y,z)(x, y, z) є її розв'язками? (A) 6 (B) 3 (C) 2 (D) 0 (E) Нескінченно багато.
9–11 класиСиметричні системи рівнянь
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-011

Вибір напрямків без зіткнень на підйомнику

П’ятеро друзів мають спуститися з п’ятимісної крісельної канатної дороги і можуть зробити це у трьох різних напрямках: ліворуч, прямо або праворуч. Спускаючись із крісельного підйомника, легко зіткнутися зі своїми супутниками. Наприклад: якщо я вирішую їхати прямо, а хтось ліворуч від мене — праворуч, ми зіштовхуємося; те саме трапляється, якщо я вирішую їхати праворуч, а хтось праворуч від мене їде прямо (або ліворуч); якщо ж хтось їде в тому самому напрямку, що й я, ми не зіштовхуємося; і так далі. Якщо кожен із п’ятьох друзів навмання обирає, куди їхати, з імовірністю 1/31 / 3 для кожного напрямку, яка ймовірність того, що зіткнень не буде? (A) 2527\frac{25}{27} (B) 35\frac{3}{5} (C) 4081\frac{40}{81} (D) 13\frac{1}{3} (E) 781\frac{7}{81}
9–11 класиКомбінації
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-012

Ненульові коефіцієнти добутку многочленів

Розглянемо многочлен p(x)=(1+x31)(1+x32)(1+x33)(1+x34)(1+x35)(1+x39)p(x)=\left(1+x^{3^{1}}\right)\left(1+x^{3^{2}}\right)\left(1+x^{3^{3}}\right)\left(1+x^{3^{4}}\right)\left(1+x^{3^{5}}\right)\left(1+x^{39}\right), і розкриємо добуток, отримавши вираз вигляду a0+a1x+a2x2+…+a402x402a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{402} x^{402}, де, наприклад, a0=a402=1a_{0}=a_{402}=1. Скільки серед коефіцієнтів a0,…,a402a_{0}, \ldots, a_{402} відмінних від нуля? (A) 52 (B) 56 (C) 60 (D) 64 (E) 376
9–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-013

Різні підсумкові суми очок за призові місця

Пілот повітряного змія провів цього року вдалий чемпіонат, 16 разів потрапивши на п'єдестал. У кожній гонці переможець здобуває 10 очок, другий — 8, а третій — 5, тоді як, починаючи з четвертого місця, очки не нараховуються. Зі скількома різними підсумковими сумами очок він міг завершити чемпіонат? (A) 153 (B) 80 (C) 78 (D) 75 (E) Жодна з попередніх.
9–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-014

Площа трапеції через бісектриси трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами ABAB, CACA і BCBC завдовжки відповідно 1717, 2525 і 2626. Нехай XX і YY — точки перетину прямої, що проходить через CC паралельно ABAB, з бісектрисами кутів CA^BC\widehat{A}B і AB^CA\widehat{B}C відповідно. Чому дорівнює площа трапеції ABXYABXY? (A) 816 (B) 338(1+2)338(1+\sqrt{2}) (C) 784 (D) 408 (E) Визначити за наявними даними неможливо.
9–11 класиГомотерія і подібність
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-015

Показник двійки в добутку ітерованих степенів п'ятірки

Який показник простого числа 22 в розкладі на множники числа (5−1)(55−1)…(55..5−1)(5-1)\left(5^{5}-1\right) \ldots\left(5^{5 . .^{5}}-1\right) де в кожному множнику в показнику на одну «5» більше, ніж у попередньому, а в останньому множнику п'ятірок у показниках рівно 20142014?
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-016

Шляхи коня на шаховій дошці 3 на 3

Кінь стоїть у кутовій клітинці шахової дошки 3×33 \times 3. Хід полягає в переміщенні коня в клітинку, досяжну двома кроками по горизонталі з подальшим одним кроком по вертикалі, або двома кроками по вертикалі з подальшим одним кроком по горизонталі. Скількома способами можна перемістити його в протилежну кутову клітинку рівно за 12 ходів?
9–11 класиШляхи на графах

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.