Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-053

Максимізація суми при обмеженні на площу

Нехай a,ba, b — додатні дійсні числа, причому a>b>12aa > b > \frac{1}{2} a. Два квадрати з довжинами сторін a,ba, b поставлено поруч так, щоб більший квадрат мав лівий нижній кут у точці (0,0)(0,0), а менший квадрат — лівий нижній кут у точці (a,0)(a, 0). Через точки (0,a)(0, a) і (a+b,0)(a+b, 0) проведено пряму. Частина двох квадратів, яка лежить вище цієї прямої, має площу 20132013. Якщо (a,b)(a, b) — єдина пара, що максимізує a+ba+b, обчисліть ab\frac{a}{b}.
10–11 класиЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-054

Комплексна послідовність з умовою дійсності відношення

Послідовність комплексних чисел (zn)\left(z_{n}\right) має такі властивості: - z1z_{1} і z2z_{2} не є дійсними. - zn+2=zn+12znz_{n+2}=z_{n+1}^{2} z_{n} для всіх цілих n≥1n \geq 1. - zn+3zn2\frac{z_{n+3}}{z_{n}^{2}} є дійсним для всіх цілих n≥1n \geq 1. - ∣z3z4∣=∣z4z5∣=2\left|\frac{z_{3}}{z_{4}}\right|=\left|\frac{z_{4}}{z_{5}}\right|=2. Знайдіть добуток усіх можливих значень z1z_{1}.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-055

Трапеція, вписана в параболу

Трапеція ABCDABCD вписана в параболу y=x2y = x^{2} так, що A=(a,a2)A = (a, a^{2}), B=(b,b2)B = (b, b^{2}), C=(−b,b2)C = (-b, b^{2}) і D=(−a,a2)D = (-a, a^{2}) для деяких додатних дійсних чисел a,ba, b, де a>ba > b. Якщо AD+BC=AB+CDAD + BC = AB + CD, а AB=34AB = \frac{3}{4}, знайдіть aa.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-056

Трикутник, висоти якого утворюють трикутник

Трикутник ABCABC має периметр 11. Його три висоти є довжинами сторін деякого трикутника. Знайдіть множину всіх можливих значень min⁡(AB,BC,CA)\min(AB, BC, CA).
10–11 класиНерівність трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-057

Система квадратних рівнянь у дійсних числах

Знайдіть усі трійки дійсних чисел (a,b,c)(a, b, c) такі, що a2+2b2−2bc=16a^{2}+2 b^{2}-2 b c=16 і 2ab−c2=162 a b-c^{2}=16.
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-058

Переріз гіперкуба з найбільшою кількістю граней

Нехай WW — гіперкуб {(x1,x2,x3,x4)∣0≤x1,x2,x3,x4≤1}\{ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \mid 0 \leq x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \leq 1 \}. Перетин WW з гіперплощиною, паралельною до x1+x2+x3+x4=0x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, є невиродженим тривимірним многогранником. Яка найбільша можлива кількість граней цього многогранника?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-059

Геометрична прогресія з комплексним знаменником

Нехай z0+z1+z2+⋯z_{0} + z_{1} + z_{2} + \cdots — нескінченний геометричний ряд з комплексними членами, такий, що z0=1z_{0} = 1 і z2013=120132013z_{2013} = \frac{1}{2013^{2013}}. Знайдіть суму всіх можливих сум цього ряду.
10–11 класиТеорема Вієта
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-060

Рівносторонні трикутники, що заповнюють прямокутний трикутник

Нехай △XYZ\triangle X Y Z — прямокутний трикутник з ∠XYZ=90∘\angle X Y Z=90^{\circ}. Припустимо, існує нескінченна послідовність рівносторонніх трикутників X0Y0T0,X1Y1T1,…X_{0} Y_{0} T_{0}, X_{1} Y_{1} T_{1}, \ldots така, що X0=XX_{0}=X, Y0=YY_{0}=Y, XiX_{i} лежить на відрізку XZX Z при всіх i≥0i \geq 0, YiY_{i} лежить на відрізку YZY Z при всіх i≥0i \geq 0, XiYiX_{i} Y_{i} перпендикулярний до YZY Z при всіх i≥0i \geq 0, TiT_{i} і YY розділені прямою XZX Z при всіх i≥0i \geq 0, а XiX_{i} лежить на відрізку Yi−1Ti−1Y_{i-1} T_{i-1} при i≥1i \geq 1. Нехай P\mathcal{P} — об'єднання цих рівносторонніх трикутників. Якщо площа фігури P\mathcal{P} дорівнює площі трикутника XYZX Y Z, знайдіть XYYZ\frac{X Y}{Y Z}.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-061

Пари неперетинних множин з єдиним перетином

Нехай A1,A2,…,AmA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m} — скінченні множини, кожна з яких містить 20122012 елементів, а B1,B2,…,BmB_{1}, B_{2}, \ldots, B_{m} — скінченні множини, кожна з яких містить 20132013 елементів, такі, що Ai∩Bj=∅A_{i} \cap B_{j} = \emptyset тоді й лише тоді, коли i=ji = j. Знайдіть найбільше можливе значення mm.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-062

Цілочисельні трійки з симетричною сумою

Знайдіть кількість впорядкованих трійок цілих чисел (a,b,c)(a, b, c) таких, що 1≤a,b,c≤1001 \leq a, b, c \leq 100 і a2b+b2c+c2a=ab2+bc2+ca2a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a = a b^{2} + b c^{2} + c a^{2}.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-063

Рівняння з НСК із параметром

Скільки існує натуральних чисел kk таких, що k2013(a+b)=НСК(a,b)\frac{k}{2013}(a+b)=\text{НСК}(a, b) має розв'язок у натуральних числах (a,b)(a, b)?
10–11 класиНСД та НСК
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-064

Ортоцентри у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, вписаний в одиничне коло з центром OO. Припустимо, що ∠AOB=∠COD=135∘\angle AOB = \angle COD = 135^{\circ}, BC=1BC = 1. Нехай B′B' і C′C' — образи точки AA при симетрії відносно прямих BOBO і COCO відповідно. Нехай H1H_1 і H2H_2 — ортоцентри трикутників AB′C′AB'C' і BCDBCD відповідно. Якщо MM — середина відрізка OH1OH_1, а O′O' — образ точки OO при симетрії відносно середини відрізка MH2MH_2, обчисліть довжину відрізка OO′OO'.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-065

Прямокутник у колі з перпендикулярними хордами

Хорди AB‾\overline{AB} і CD‾\overline{CD} кола ω\omega перетинаються в точці EE так, що AE=8AE=8, BE=2BE=2, CD=10CD=10 і ∠AEC=90∘\angle AEC=90^{\circ}. Нехай RR — прямокутник усередині кола ω\omega зі сторонами, паралельними AB‾\overline{AB} і CD‾\overline{CD}, такий, що жодна внутрішня точка RR не лежить на AB‾\overline{AB}, CD‾\overline{CD} чи на межі кола ω\omega. Знайдіть найбільшу можливу площу прямокутника RR.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-066

Ймовірність парності цілої частини кореня з відношення

Нехай xx і yy вибрано випадково й рівномірно з інтервалу (0,1)(0,1). Яка ймовірність того, що ⌊xy⌋\left\lfloor\sqrt{\frac{x}{y}}\right\rfloor парне? Підказка: ∑n=1∞1n2=π26\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-067

Випадкові блукання суміжних блоків камінців

Для парного натурального числа nn Кевін має стрічку довжини 4n4n з позначками −2n,−2n+1,…,2n−1,2n-2n, -2n+1, \ldots, 2n-1, 2n. Далі він навмання вибирає nn точок із множини −n,−n+1,−n+2,…,n−1,n-n, -n+1, -n+2, \ldots, n-1, n і кладе по камінцю на кожну з цих точок. Камінець називаємо «застряглим», якщо він стоїть на 2n2n або −2n-2n, або всі точки праворуч від нього, або всі точки ліворуч від нього містять камінці. Потім щохвилини Кевін зсуває незастряглі камінці в такий спосіб: - Він навмання рівномірно вибирає незастряглий камінець і підкидає чесну монету. - Якщо випав герб, він пересуває цей камінець і кожен камінець із найбільшої суцільної множини, що містить цей камінець, на одну точку ліворуч. Якщо випала решка, він замість цього пересуває кожен камінець із цієї множини на одну точку праворуч. - Він повторює, доки всі камінці не застрягнуть. Нехай pkp_{k} — ймовірність того, що наприкінці процесу рівно kk камінців опиняться у правій половині. Обчисліть pn−1−pn−2+pn−3−…+p3−p2+p1pn−1+pn−2+pn−3+…+p3+p2+p1\frac{p_{n-1}-p_{n-2}+p_{n-3}-\ldots+p_{3}-p_{2}+p_{1}}{p_{n-1}+p_{n-2}+p_{n-3}+\ldots+p_{3}+p_{2}+p_{1}} через nn.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-068

Сума степенів зі спадними показниками

Обчисліть значення 125+224+323+…+242+2511^{25} + 2^{24} + 3^{23} + \ldots + 24^{2} + 25^{1}. Якщо ваша відповідь — AA, а правильна відповідь — CC, то ваш результат за цю задачу становитиме ⌊25min⁡((AC)2,(CA)2)⌋\left\lfloor 25 \min \left(\left(\frac{A}{C}\right)^{2}, \left(\frac{C}{A}\right)^{2}\right)\right\rfloor.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-069

Площа потрійного перетину трикутників

На кожній стороні прямокутника 66 на 88 побудовано рівносторонній трикутник, для якого ця сторона є однією зі сторін, так, що внутрішність трикутника перетинається з внутрішністю прямокутника. Яка сумарна площа всіх областей, що містяться рівно в 33 із 44 рівносторонніх трикутників?
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-070

Числа, що діляться на точні куби

Знайдіть кількість натуральних чисел, менших за 10000001000000, які діляться на деякий точний куб, більший за 11. Ваша кількість балів дорівнюватиме max⁡{0,⌊20−200∣1−kS∣⌋}\max \left\{0,\left\lfloor 20-200\left|1-\frac{k}{S}\right|\right\rfloor\right\}, де kk — ваша відповідь, а SS — правильна відповідь.
10–11 класиФормула включення-виключення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-071

Сума цілих чисел зі знаками дорівнює 168

Скільки існує невпорядкованих множин {a,b,c,d}\{a, b, c, d\} з натуральних чисел, жодне з яких не перевищує 168168, для яких існують цілі числа w,x,y,zw, x, y, z такі, що (−1)wa+(−1)xb+(−1)yc+(−1)zd=168(-1)^{w} a + (-1)^{x} b + (-1)^{y} c + (-1)^{z} d = 168? Якщо ваша відповідь дорівнює AA, а правильна відповідь дорівнює CC, то ваш результат за цю задачу становитиме ⌊25e−3∣C−A∣C⌋\left\lfloor 25 e^{-3 \frac{|C-A|}{C}}\right\rfloor.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-072

Впорядковані розбиття числа 2013 на прості числа

Нехай PP — кількість способів розбити 20132013 на впорядкований кортеж простих чисел. Чому дорівнює log⁡2(P)\log_{2}(P)? Якщо ваша відповідь дорівнює AA, а правильна відповідь дорівнює CC, то ваша оцінка за цю задачу становитиме ⌊1252(min⁡(CA,AC)−35)⌋\left\lfloor\frac{125}{2}\left(\min \left(\frac{C}{A}, \frac{A}{C}\right)-\frac{3}{5}\right)\right\rfloor або нуль, залежно від того, яке з цих значень більше.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-073

Упорядкування трансцендентних і алгебраїчних чисел

Виберіть підмножину з принаймні чотирьох із цих семи чисел, упорядкуйте їх від найменшого до найбільшого та запишіть їхні позначки (відповідні літери від AA до GG) у цьому порядку: (A)(A) π\pi; (B)(B) 2+3\sqrt{2}+\sqrt{3}; (C)(C) 10\sqrt{10}; (D)(D) 355113\frac{355}{113}; (E)(E) 16arctg⁡15−4arctg⁡124016 \operatorname{arctg} \frac{1}{5} - 4 \operatorname{arctg} \frac{1}{240}; (F)(F) ln⁡(23)\ln(23); (G)(G) 2e2^{\sqrt{e}}. Якщо порядок вибраних вами чисел правильний і ви вибрали принаймні 4 числа, то ваш бал за цю задачу становитиме (N−2)(N−3)(N-2)(N-3), де NN — розмір вашої підмножини; інакше ваш бал дорівнює 00.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-024

Країни з простою кількістю робочих груп

У Дивокраї уряд кожної країни складається рівно з aa чоловіків і bb жінок, де aa і bb — фіксовані натуральні числа, причому b>1b > 1. Для поліпшення відносин між країнами утворюють усі можливі робочі групи, що складаються рівно з одного члена уряду від кожної країни, серед яких принаймні nn жінок (де nn — фіксоване невід'ємне ціле число). Одна й та сама особа може належати багатьом робочим групам. Знайдіть усі можливі значення кількості країн у Дивокраї, якщо кількість усіх робочих груп є простою.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Відбіркові тести на IMOTST-2013-025

Прості основи з сумою цифр числа 2013 рівною 11

Знайдіть усі прості числа pp, для яких існують натуральне число mm і невід'ємні цілі числа a0,a1,…,ama_0, a_1, \dots, a_m, менші за pp, такі, що {a0+a1p+⋯+am−1pm−1+ampm=2013,a0+a1+⋯+am−1+am=11.\begin{cases} a_0 + a_1 p + \dots + a_{m-1} p^{m-1} + a_m p^m = 2013, \\ a_0 + a_1 + \dots + a_{m-1} + a_m = 11. \end{cases}
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-029

Розбиття чисел із сумою 2013 на групи з сумою до 1

Натуральне число nn має таку властивість: Для довільних дійсних чисел a1,a2,…,ada_{1}, a_{2}, \ldots, a_{d}, які задовольняють як a1+a2+…+ad=2013a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{d}=2013, так і 0≤ai≤10 \leq a_{i} \leq 1 для i=1,2,…,di=1,2, \ldots, d, існує розбиття множини цих дійсних чисел на nn попарно неперетинних підмножин (деякі з яких можуть бути порожніми), так, щоб сума чисел у кожній підмножині була не більшою за 1. Знайдіть найменше число nn із цією властивістю.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-026

Монети номіналом 11 і 12 та неподільна здобич

Центральний банк Сикінії карбує монети номіналом 11 і 12 кулотників. Під час пограбування 11 сикінійських розбійників зламали сейф і викрали монети загальною вартістю 5940 кулотників. Вони деякий час намагаються поділити здобич порівну між собою — тобто так, щоб кожен отримав однаково, — але їм це ніяк не вдається; через деякий час їхній ватажок заявляє, що обміркував це і що це насправді неможливо. Доведіть, що вони не викрали жодної монети номіналом 12 кулотників.
10–11 класиНСД та НСК

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.