Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-005

Аналіз стратегії подвоєння в рулетці

Мартіно думає, що відкрив метод, щоб вигравати в рулетку, або принаймні щоб не програвати забагато грошей. Він завжди ставить на червоне. Починає зі ставки 1 євро; щоразу, коли програє, подвоює попередню ставку, а щоразу, коли виграє, у наступній ставці ставить 1 євро. Одного дня він має при собі 31 євро і йде грати, вирішивши, що піде геть, щойно або програє 5 разів поспіль, або виграє 5 разів поспіль, або ж залишиться без грошей раніше, ніж станеться одна з цих двох можливостей. a. Якою буде найменша кількість ігор, яку він муситиме зіграти, щоб закінчити гру з 31 євро, якщо він виходить із 5 поразками? b. Якою буде найменша кількість ігор, яку він муситиме зіграти, щоб закінчити гру з 31 євро, якщо він виходить із 5 перемогами? c. Якщо він виходить із 5 перемогами, яким щонайменше буде його підсумковий капітал?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-007

Повторене число і подільність на 9 та 11

Для довільного натурального числа nn назвемо циклостилатом числа nn число, яке дістаємо, записавши поспіль 2012 копій числа nn (у десятковій системі). Наприклад, циклостилатом числа 314 є 314314314…314314314314 \ldots 314, де запис «314» повторюється 2012 разів. a) Знайдіть усі натуральні числа mm такі, що циклостилат числа mm кратний 9. b) Знайдіть усі натуральні числа mm такі, що циклостилат числа mm кратний 11.
10–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-006

Рекурентний дефіцит сну

Зазвичай Давіде потрібно спати щонайменше 8 годин за ніч. Якщо однієї ночі він спить на kk годин менше, ніж йому потрібно, то виявляється, що в кожну з kk наступних ночей йому потрібно на kk годин сну більше. Щоночі він усе одно спить цілу кількість годин, не більшу за його потребу. Наприклад, якщо в ніч на понеділок йому потрібно 8 годин, а спить він 7, то у вівторок йому знадобиться 9 годин. Якщо в середу йому потрібно 8 годин, а спить він 6, то в четвер і п'ятницю йому знадобиться щонайменше 10 годин сну; якщо в четвер він спить лише 9, то в п'ятницю він відчуватиме потребу в 11 годинах (8(8, плюс 2 за години, втрачені в середу, плюс 1 за годину, недоспану в четвер). Одного понеділка вночі Давіде мав потребу спати 8 годин; те саме відбувається в ніч на понеділок наступного тижня. Протягом тижня було 7 годин, які йому треба було проспати, але він цього не зробив: скільки годин щонайменше проспав Давіде за сім ночей від понеділка до неділі?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-008

Квадратичне рекурентне співвідношення зі сталою послідовністю

Послідовність {xn∣n=0,1,2,…}\{x_{n} \mid n=0,1,2, \ldots\} дійсних чисел задано залежно від дійсного параметра aa так: {x0=axn+1=2−xn2 при n≥0\left\{ \begin{array}{l} x_{0}=a \\ x_{n+1}=2-x_{n}^{2} \quad \text{ при } n \geq 0 \end{array} \right. a. Знайдіть усі значення aa, для яких xnx_{n} є сталою (тобто виконується xn=ax_{n}=a для всіх nn). b. Доведіть, що для одного зі значень, знайдених у пункті (a) (позначимо його yy), якщо ∣a∣<∣y∣|a|<|y|, то ∣xn∣<∣y∣\left|x_{n}\right|<|y| для всіх nn. c. Доведіть, що якщо ∣a∣>∣y∣|a|>|y|, то послідовність xnx_{n} строго спадна.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-010

Центр описаного кола і подібні трикутники в гострокутному трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC з AB<ACAB < AC бісектриса, проведена з AA, перетинає сторону BCBC у точці PP. Пряма, що проходить через PP паралельно стороні ABAB, перетинає сторону ACAC у точці QQ; на цій прямій нехай RR — точка, що лежить на промені з початком у QQ, який не містить PP, і така, що QR=QAQR = QA. Позначимо далі через SS ортогональну проєкцію RR на пряму BCBC, а через TT — перетин сторони ACAC з прямою, що проходить через PP і перпендикулярна до APAP. a. Доведіть, що центром описаного кола трикутника APRAPR є QQ; b. Доведіть, що трикутник STCSTC подібний до трикутника APCAPC.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-009

Перетин висоти з описаним колом і рівність трикутників

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник; нехай OO — центр його описаного кола, а P,QP, Q — точки (відмінні від AA), в яких відповідно висота, проведена з вершини AA, і продовження відрізка AOAO перетинають описане коло трикутника ABCABC. a. Доведіть, що кути BA^PB\widehat{A}P і QA^CQ\widehat{A}C рівні; b. Доведіть, що трикутники BCPBCP і CBQCBQ рівні; c. Доведіть, що, якщо MM і NN — середини сторін ABAB і ACAC, то площа чотирикутника ABPCABPC у чотири рази більша за площу чотирикутника AMONAMON.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-001

Квадрат з паралельними прямими та їх перетином

Дано квадрат ABCDABCD. Точки PP, QQ, RR, SS лежать на сторонах ABAB, BCBC, CDCD, DADA цього квадрата відповідно так, що прямі PRPR і BCBC паралельні, а також прямі SQSQ і ABAB паралельні. Нехай ZZ — точка перетину прямих PRPR і SQSQ. Якщо BP=7BP = 7, BQ=6BQ = 6, DZ=5DZ = 5, знайдіть довжину сторони квадрата ABCDABCD. Тут довжину відрізка XYXY ми також позначаємо через XYXY.
10–11 класиКути прямокутного трикутника
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-013

Перпендикулярність через симетрії відносно дотичної

Для трикутника ABCABC дотична до його описаного кола в точці AA і пряма BCBC перетинаються в точці PP. Нехай QQ і RR — точки, симетричні точці PP відносно прямих ABAB і ACAC відповідно. Доведіть, що прямі BCBC і QRQR перпендикулярні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-002

Вписаний чотирикутник і кути між дотичними та хордами

Нехай точки AA, BB, CC, DD лежать на колі в цьому порядку, як показано на рисунку нижче. Кут між дотичною до кола в точці BB і прямою ABAB дорівнює 30∘30^\circ, а кут між дотичною до кола в точці CC і прямою CDCD дорівнює 10∘10^\circ. Крім того, прямі ABAB і DCDC паралельні та лежать по різні боки від центра кола. Знайдіть величину кута ∠BDC\angle BDC.
10–11 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-014

Функціональне рівняння f(f(x+y)f(x-y)) = x² - y f(y)

Знайдіть усі дійснозначні функції ff, визначені на дійсній прямій, для яких виконується така тотожність для кожної пари дійсних чисел x,yx, y: f(f(x+y)f(x−y))=x2−yf(y).f(f(x+y)f(x-y)) = x^2 - y f(y).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-003

Мінімум найбільшого з трьох добутків чисел від 1 до 9

Нехай a,b,c,d,e,f,g,h,ia, b, c, d, e, f, g, h, i — різні цілі числа від 11 до 99 (включно з 11 і 99). Нехай NN — максимум із трьох чисел a×b×ca \times b \times c, d×e×fd \times e \times f і g×h×ig \times h \times i. Знайдіть найменше можливе значення числа NN.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-015

Подільність степеня без одиниці на квадрат простого числа

Нехай pp — просте число. Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких така умова виконується для всіх цілих чисел xx: Умова: якщо xn−1x^n - 1 ділиться на pp, то воно також ділиться на p2p^2.
10–11 класиМала теорема Ферма
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-004

Добуток цифр і подільність на 9

Нехай AA — натуральне число, яке кратне 33, але не кратне 99. Коли до AA додати добуток усіх цифр числа AA, то одержимо число, яке кратне 99. Знайдіть найменше можливе значення такого числа AA.
10–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-016

Ортоцентр і середина центрів кіл

Трикутники PABPAB і PCDPCD розміщено на площині. Припустимо, що виконуються рівності PA=PBPA = PB, PC=PDPC = PD і що три точки PP, AA, CC лежать на одній прямій саме в такому порядку, і так само три точки BB, PP, DD. Припустимо далі, що коло S1S_1, яке проходить через AA, CC, і коло S2S_2, яке проходить через BB, DD, перетинаються у двох різних точках XX і YY. Доведіть, що ортоцентр трикутника PXYPXY збігається із серединою відрізка, що сполучає центри кіл S1S_1 і S2S_2. Тут для відрізка ZWZW його довжину також позначаємо через ZWZW.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-017

Гра на ґратці із забороненими точками

Нехай kk — натуральне число. Гравці AA і BB грають у гру за такими правилами: спочатку шахова фігура стоїть у початку координат (0,0)(0, 0) площини xyxy. Першим ходить AA, потім BB і далі по черзі; кожен на своєму ході діє за такими правилами: Можливі ходи AA: вибрати точку цілочисельної решітки, не зайняту шаховою фігурою, і позначити цю точку символом ✓. (Точкою цілочисельної решітки тут називаємо точку площини xyxy з цілими координатами xx і yy). Можливі ходи BB: jj разів (де 1≤j≤k1 \le j \le k) перемістити шахову фігуру з точки (x,y)(x, y), у якій вона стоїть, у точку (x+1,y)(x+1, y) або в точку (x,y+1)(x, y+1). Проте на кожному кроці цього процесу йому заборонено переміщати шахову фігуру в точку цілочисельної решітки, позначену символом ✓. AA виграє гру, якщо BB опиняється в ситуації, коли не може перемістити шахову фігуру. Визначте всі можливі значення kk, для яких AA може виграти гру за скінченну кількість кроків, як би BB не обирав свої ходи.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-005

Добуток дільників дорівнює заданому степеню

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких добуток усіх додатних дільників дорівнює 2424024^{240}.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-006

Зв'язне двокольорове розфарбування дошки 2 на 100

Дано клітинну дошку 2×1002 \times 100. Припустімо, що кожну з 200200 клітинок дошки фарбуємо або в червоний, або в синій колір. Скільки існує розфарбувань клітинок, що задовольняють такі умови? Вважатимемо два розфарбування різними, якщо одне з них можна отримати з іншого поворотом або перевертанням. Є принаймні одна клітинка, пофарбована в червоний колір, і принаймні одна клітинка, пофарбована в синій колір. Область, утворена всіма червоними клітинками, є зв'язною, і те саме стосується синіх клітинок. (При цьому вважаємо дві клітинки сусідніми (з'єднаними), якщо вони мають спільну сторону).
10–11 класиЗв’язність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-007

Центр описаного кола як середина відрізка

Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Точки DD і EE вибрано на відрізках ABAB і ACAC відповідно так, що середина відрізка DEDE збігається з точкою OO. Якщо AD=8AD = 8, BD=3BD = 3 і AO=7AO = 7, визначте значення CECE. Тут для відрізка XYXY через XYXY також позначаємо його довжину.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-008

Послідовності зі спаданням через квадратний корінь

Скільки існує способів записати послідовність натуральних чисел, яка задовольняє такі умови? Умови: спочатку записують число 20122012 і в кінці записують число 11, причому після записаного числа nn далі записують ціле число, не більше за n\sqrt{n}.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-009

Дві пари чисел: добуток однієї — подвоєна сума іншої

Гравці AA і BB записали на дошці по два натуральні числа. Добуток двох чисел, які записав AA, дорівнює подвоєній сумі двох чисел, які записав BB, а добуток двох чисел, які записав BB, дорівнює подвоєній сумі двох чисел, які записав AA, і, крім того, сума двох чисел, які записав AA, не менша за суму двох чисел, які записав BB. Знайдіть усі можливі значення суми двох чисел, які записав BB. Зауважимо, що чотири записані числа не обов’язково різні.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-010

Різниця цілих частин обернених чисел

Для дійсного числа rr через [r][r] позначимо найбільше ціле число, яке не перевищує rr. Скільки існує натуральних чисел nn, для яких виконується рівність ⌊1000000n⌋−⌊1000000n+1⌋=1\lfloor \frac{1000000}{n} \rfloor - \lfloor \frac{1000000}{n+1} \rfloor = 1?
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-011

Розфарбування сітки без діагональних сусідів

Нехай nn — натуральне число і задано квадратну сітку 2n×2n2n \times 2n. Припустімо, що зафарбовано рівно 2n22n^2 клітинок сітки так, щоб виконувалася така умова. Умова: якщо клітинка зафарбована, то жодна з клітинок, які мають з нею лише спільну вершину, не зафарбована. Скількома способами можна зафарбувати 2n22n^2 клітинок сітки так, щоб виконувалася зазначена вище умова? Дві конфігурації зафарбованих клітинок вважаємо різними, навіть якщо одна може бути отримана з іншої поворотом або перегортанням.
10–11 класиКомбінації
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-012

Переріз куба шестикутником і різниця площ

У просторі розміщено куб ABCDABCD-EFGHEFGH з ребром 20122012 і площину, причому перетин площини з кубом утворює шестикутник IJKLMNIJKLMN, де точки II, JJ, KK, LL, MM, NN лежать на ребрах AEAE, EFEF, FGFG, GCGC, CDCD, DADA відповідно, як показано на рисунку 3 нижче. Якщо AI−GL=8AI - GL = 8, CM−EJ=6CM - EJ = 6, FK−DN=4FK - DN = 4, визначте значення, яке одержимо, якщо від суми площ трикутників IKMIKM і JLNJLN відняти площу шестикутника IJKLMNIJKLMN. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2012-004

Циклічна нерівність з чисельниками 2x² + xy

Нехай xx, yy і zz — додатні дійсні числа. Доведіть, що 2x2+xy(y+zx+z)2+2y2+yz(z+xy+x)2+2z2+zx(x+yz+y)2≥1.\frac{2x^2 + xy}{(y + \sqrt{zx} + z)^2} + \frac{2y^2 + yz}{(z + \sqrt{xy} + x)^2} + \frac{2z^2 + zx}{(x + \sqrt{yz} + y)^2} \geq 1.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2012-001

Підмножина заданого розміру і множина N(X)

Нехай A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_n — множини. Для підмножини XX множини {1,2,…,n}\{1, 2, \dots, n\} покладемо N(X)={i∈{1,2,…,n}−X:Ai∩Aj≠∅ для всіх j∈X}.N(X) = \{i \in \{1, 2, \dots, n\} - X : A_i \cap A_j \neq \emptyset \text{ для всіх } j \in X\}. Доведіть, що для кожного цілого 3≤m≤n−23 \le m \le n - 2 існує підмножина XX множини {1,2,…,n}\{1, 2, \dots, n\} така, що ∣X∣=m|X| = m і ∣N(X)∣≠1|N(X)| \neq 1.
10–11 класиПідрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.