Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-072

Допустимі впорядкування пар з п'яти елементів

Впорядкуванням множини з nn елементів називається бієктивне відображення між цією множиною та {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}. Впорядкування ρ\rho 10 невпорядкованих пар різних цілих чисел із множини {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} називається допустимим, якщо для будь-яких 1≤a<b<c≤51 \leq a<b<c \leq 5 виконується або p({a,b})<p({a,c})<p({b,c})p(\{a, b\})<p(\{a, c\})<p(\{b, c\}), або p({b,c})<p({a,c})<p({a,b})p(\{b, c\})<p(\{a, c\})<p(\{a, b\}). Знайдіть загальну кількість допустимих впорядкувань.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-073

Хронологічне впорядкування математичних досягнень

Впорядкуйте будь-яку підмножину наведених нижче математичних досягнень двадцятого століття в хронологічному порядку, від найранішого до найпізнішого. Якщо ви правильно розмістите щонайменше шість подій по порядку, ваша оцінка становитиме 2(n−5)2(n-5), де nn — кількість подій у вашій послідовності; інакше ваша оцінка дорівнюватиме нулю. Заувага: якщо ви впорядкуєте будь-яку кількість подій з однією помилкою, ваша оцінка дорівнюватиме нулю. A). Аксіоми теорії множин, опубліковані Цермело B). Теорія категорій, запроваджена Маклейном і Айленбергом C). Висунута гіпотеза Коллатца D). Число Ердеша, введене Гоффманом E). Перша делегація США, відправлена на Міжнародну математичну олімпіаду F). Теорема про чотири фарби, доведена за допомогою комп'ютера Аппелем і Гакеном G). Заснування математичного турніру Гарвард–МІТ H). Ієрархія граматик, описана Хомським I). Сформульовані проблеми Гільберта J). Теореми про неповноту, опубліковані Геделем K). Премія в мільйон доларів за задачі тисячоліття, запропонована Інститутом математики Клея L). Мінімальна кількість тасувань, потрібна для випадкового перетасування колоди карт, встановлена Діаконісом M). Рівновага Неша, запроваджена в докторській дисертації N). Доведення Великої теореми Ферма, завершене Вайлзом O). Алгоритм швидкого сортування, винайдений Гоаром Запишіть вашу відповідь як список літер, без ком і дужок.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові тести на IMOTST-2011-006

Бісектриса кута між дотичними з проєкції

Два кола лежать повністю зовні одне одного. Нехай AA — точка перетину внутрішніх спільних дотичних до кіл, а KK — проєкція цієї точки на їхню зовнішню спільну дотичну. Дотичні до кіл, проведені через точку KK і відмінні від спільної дотичної, дотикаються до кіл у точках M1M_1 і M2M_2. Доведіть, що пряма AKAK ділить навпіл кут M1KM2M_1KM_2.
10–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-038

Вписаний чотирикутник із кіл, що перетинаються

Два кола Γ\Gamma і Γ′\Gamma' перетинаються у двох різних точках AA і BB. Пряма через BB перетинає Γ\Gamma і Γ′\Gamma' відповідно в точках CC і DD так, що BB лежить між CC і DD. Інша пряма через BB перетинає Γ\Gamma і Γ′\Gamma' відповідно в точках EE і FF так, що EE лежить між BB і FF. Відомо, що ∣CD∣=∣EF∣|CD| = |EF|. Внутрішня частина відрізка CFCF перетинає Γ\Gamma і Γ′\Gamma' відповідно в точках PP і QQ. Далі нехай MM і NN — середини дуг PBPB і BQBQ кіл Γ\Gamma і Γ′\Gamma', які не містять CC і FF відповідно. Доведіть, що CNMFCNMF — вписаний чотирикутник.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Відбіркові тести на IMOTST-2011-003

Пари цілих чисел у рівнянні з квадратним коренем

Знайдіть усі пари (x,y)(x, y) цілих чисел, які задовольняють рівність x2+y2+33=456x−y.x^{2}+y^{2}+3^{3}=456 \sqrt{x-y} .
10–11 класиМіркування за модулем
Відбіркові тести на IMOTST-2011-004

Розфарбування натуральних чисел з умовою на суму трьох

Усі натуральні числа пофарбовано в червоний або зелений колір так, що виконуються такі умови: - Існують як червоні, так і зелені числа. - Сума трьох (не обов'язково різних) червоних чисел є червоною. - Сума трьох (не обов'язково різних) зелених чисел є зеленою. Знайдіть усі можливі розфарбування, які задовольняють ці умови.
10–11 класиПарність та непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2011-005

Шляхи заданої довжини у повному графі

Нехай n≥2n \geq 2 і k≥1k \geq 1 — цілі числа. У деякій країні є nn міст і між кожною парою міст є автобусне сполучення в обох напрямках. Нехай AA і BB — два різні міста. Доведіть, що кількість способів, якими можна дістатися з AA до BB, скориставшись рівно kk автобусами, дорівнює (n−1)k−(−1)kn\frac{(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2011-002

Пари простих чисел із кубічною часткою, що є квадратом

Знайдіть усі пари простих чисел (p,q)(p, q), для яких 3∤p+13 \nmid p+1, такі, що p3+1q\frac{p^{3}+1}{q} є квадратом натурального числа.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-001

Відношення на хорді з основ висот

У гострокутному різносторонньому трикутнику ABCABC точки DD, EE, FF лежать на сторонах BCBC, CACA, ABAB відповідно так, що AD⊥BCAD \perp BC, BE⊥CABE \perp CA, CF⊥ABCF \perp AB. Висоти ADAD, BEBE, CFCF перетинаються в ортоцентрі HH. Точки PP і QQ лежать на відрізку EFEF так, що AP⊥EFAP \perp EF і HQ⊥EFHQ \perp EF. Прямі DPDP і QHQH перетинаються в точці RR. Обчисліть відношення HQ/HRHQ/HR.
10–11 класиЗовнівписане коло3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-040

Подільність цілої частини виразу з кубічним коренем

Нехай nn — натуральне число, а bb — найбільше ціле число, менше від (283−3)−n(\sqrt[3]{28}-3)^{-n}. Доведіть, що bb не може ділитися на 6.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Відбіркові тести на IMOTST-2011-042

П'ятикутник з паралельними сторонами і умовою на кути

Дано опуклий п'ятикутник ABCDEA B C D E, у якому BC∥AEB C \| A E і AB‾=AE‾\overline{A B}=\overline{A E}. Нехай далі FF — точка на відрізку AEA E, така, що виконуються AB‾=BC‾+AF‾\overline{A B}=\overline{B C}+\overline{A F} та ∡CBA=∡FDC\Varangle C B A=\Varangle F D C. Нарешті, нехай MM — середина відрізка CFC F, а OO — центр описаного кола трикутника BCDB C D. Доведіть: якщо DM⊥MOD M \perp M O, то ∡FDC=2⋅∡ADB\Varangle F D C=2 \cdot \Varangle A D B.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2011-008

Бісектриса кута в трикутнику з діаметром

У гострокутному трикутнику ABCA B C кут ∠C\angle C більший за ∠A\angle A. Нехай EE — така точка, що AEA E — діаметр описаного кола Γ\Gamma трикутника △ABC\triangle A B C. Нехай KK — точка перетину прямої ACA C і дотичної в точці BB до кола Γ\Gamma. Нехай LL — основа перпендикуляра, проведеного з точки KK на пряму AEA E, а DD — точка перетину прямих KLK L і ABA B. Доведіть, що пряма CEC E — бісектриса кута ∠BCD\angle B C D.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2011-009

Роздільність замощення прямокутника доміно

Розглянемо замощення прямокутної дошки m×nm \times n плитками 1×21 \times 2. Плитки можуть лежати як горизонтально, так і вертикально, але вони не можуть перекриватися і виступати за межі дошки. Усі клітинки дошки мають бути покриті плиткою. a) Доведіть, що за будь-якого замощення дошки 4×20104 \times 2010 плитками 1×21 \times 2 існує пряма лінія, яка ділить дошку на дві частини так, що кожна плитка цілком лежить усередині однієї з частин. b) Доведіть, що існує замощення дошки 5×20105 \times 2010 плитками 1×21 \times 2 таке, що немає прямої лінії, яка ділить дошку на дві частини так, що кожна плитка цілком лежить усередині однієї з частин.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-007

Перпендикулярність із колом і паралельними прямими

Пряма gg перетинає коло kk у точках AA і BB. Серединний перпендикуляр до відрізка ABA B перетинає kk ще раз у точках CC і DD. Нехай тепер PP — ще одна точка на прямій gg, що лежить поза колом kk. Прямі, паралельні до CAC A і CBC B, проведені через PP, перетинають прямі CBC B і CAC A у точках XX і YY. Доведіть, що пряма XYX Y перпендикулярна до прямої PDP D.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-015

Асоціативна операція з інволютивною властивістю

Чи існує операція ∗* на множині всіх цілих чисел така, що одночасно виконуються такі умови: (1) для будь-яких цілих чисел xx, yy, zz, (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z); (2) для будь-яких цілих чисел xx і yy, x∗x∗y=y∗x∗x=yx * x * y = y * x * x = y?
10–11 класиСистеми числення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-039

Еластичні функції на додатних раціональних числах

Позначимо через Q+\mathbb{Q}^{+} множину додатних раціональних чисел. Функція f:Q+→Q+f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+} називається еластичною, якщо для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^{+} виконується нерівність f(x)+f(y)≥4f(x+y)f(x)+f(y) \geq 4 f(x+y) a. Доведіть: якщо f:Q+→Q+f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+} еластична і x,y,zx, y, z — додатні раціональні числа, то f(x)+f(y)+f(z)≥8f(x+y+z)f(x)+f(y)+f(z) \geq 8 f(x+y+z). b. Чи існує еластична функція f:Q+→Q+f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+} разом із додатними раціональними числами x,y,zx, y, z, для яких виконується f(x)+f(y)+f(z)<9f(x+y+z)f(x)+f(y)+f(z)<9 f(x+y+z)?
10–11 класиКонструктивна побудова функції
Відбіркові тести на IMOTST-2011-041

Перестановка з циклічними модулями різниць

Вершини й сторони правильного nn-кутника занумеровані за годинниковою стрілкою числами від 1 до nn так, що за вершиною № ii йде сторона № ii (1≤i≤n1 \leq i \leq n). Тепер вершинам приписано невід'ємні цілі числа eie_{i}, а сторонам — невід'ємні цілі числа kik_{i} так, що виконується: (1) nn-набір (e1,e2,…,en)(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}) є перестановкою nn-набору (k1,k2,…,kn)(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}). (2) Для кожного i∈Ni \in \mathbb{N}, 1≤i≤n1 \leq i \leq n, виконується ki=∣ei+1−ei∣k_{i} = |e_{i+1} - e_{i}|, де en+1=e1e_{n+1} = e_{1}. a) Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn, n≥3n \geq 3, існують такі nn-набори, відмінні від (0,…,0)(0, \ldots, 0). b) Визначте для кожного натурального числа mm найменше натуральне число nn з такою властивістю: у кожному з nn-наборів (e1,e2,…,en)(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}) і (k1,k2,…,kn)(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}) трапляються всі цілі числа від 00 до mm.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-012

Дійсні трійки з рівнянням з модулем

Знайдіть усі трійки дійсних чисел (x,y,z)(x, y, z), які задовольняють рівняння x2+y2+z2+1=xy+yz+zx+∣x−2y+z∣x^{2}+y^{2}+z^{2}+1=x y+y z+z x+|x-2 y+z|
10–11 класиЧислові нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2011-014

Дотична з центра до описаного кола

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, що перетинаються, з центрами відповідно O1O_{1} і O2O_{2}, такі, що Γ2\Gamma_{2} перетинає відрізок O1O2O_{1} O_{2} в точці AA. Точки перетину кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — це CC і DD. Пряма ADA D перетинає Γ1\Gamma_{1} вдруге в точці SS. Пряма CSC S перетинає O1O2O_{1} O_{2} в точці FF. Нехай Γ3\Gamma_{3} — описане коло трикутника ADFA D F. Позначимо через EE другу точку перетину кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ3\Gamma_{3}. Доведіть, що пряма O1EO_{1} E дотикається до кола Γ3\Gamma_{3}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2011-013

Кола, що перетинаються, і дотична хорда

Кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} перетинаються в точках DD і PP. Спільна дотична до цих двох кіл, найближча до точки DD, дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в точці AA і до кола Γ2\Gamma_{2} в точці BB. Пряма ADA D перетинає Γ2\Gamma_{2} вдруге в точці CC. Нехай MM — середина відрізка BCB C. Доведіть, що ∠DPM=∠BDC\angle D P M=\angle B D C.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2011-011

Доміно-замощення з рухливою діркою на непарній дошці

Розглянемо дошку з непарними довжинами сторін, розбиту на одиничні квадрати. Дошку без одного кутового поля довільно покрито доміно. За один хід можна зсунути одне доміно в поздовжньому напрямі на одне поле так, щоб попередньо порожнє поле виявилося накритим, а натомість звільнилося нове (на два поля далі). Доведіть, що порожнє поле послідовністю ходів можна перемістити в довільний кут дошки.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-010

Добуток p-pod послідовностей

Нехай pp — просте число. Скажемо, що послідовність цілих чисел {zn}n=0∞\{z_n\}_{n=0}^{\infty} є pp-pod, якщо для кожного e≥0e \ge 0 існує таке N≥0N \ge 0, що щоразу, коли m≥Nm \ge N, число pep^e ділить суму ∑k=0m(−1)k(mk)zk.\sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} z_k. Доведіть, що якщо обидві послідовності {xn}n=0∞\{x_n\}_{n=0}^{\infty} і {yn}n=0∞\{y_n\}_{n=0}^{\infty} є pp-pod, то послідовність {xnyn}n=0∞\{x_n y_n\}_{n=0}^{\infty} є pp-pod.
10–11 класиФормула включення-виключення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-021

Нерівність за квадратичної умови

Нехай a,b,ca, b, c — додатні дійсні числа такі, що 2a2+b2=9c22a^2 + b^2 = 9c^2. Доведіть, що 2ca+cb≥3.\frac{2c}{a} + \frac{c}{b} \ge \sqrt{3}.
10–11 класиНерівність Коші4 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-018

Цілі значення n для звідного кубічного многочлена

Знайдіть усі цілі числа nn, для яких многочлен P(x)=3x3−nx−n−2P(x)=3 x^{3}-n x-n-2 можна записати як добуток двох несталих многочленів із цілими коефіцієнтами.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-019

Оцінка степеня двійки у різниці степенів

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. Нехай aa — найбільше натуральне число, для якого 2a∣5n−3n2^{a} \mid 5^{n}-3^{n}. Нехай bb — найбільше натуральне число, для якого 2b≤n2^{b} \leq n. Доведіть, що a≤b+3a \leq b+3.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.