Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Відбіркові тести на IMOTST-2011-020

Послідовність простих чисел із подвоєнням на кожному кроці

Доведіть, що не існує нескінченної послідовності простих чисел p0,p1,p2,…p_{0}, p_{1}, p_{2}, \ldots з властивістю, що для всіх натуральних kk виконується: pk=2pk−1+1абоpk=2pk−1−1p_{k}=2 p_{k-1}+1 \quad \text{або} \quad p_{k}=2 p_{k-1}-1
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові тести на IMOTST-2011-017

Мавпи, жердини та банани

Нехай nn — натуральне число. У клітці з nn мавпами стоїть nn жердин для лазіння. Щоб мавпи трохи порухалися, доглядачі під час годування кладуть по одному банану на верхівку кожної жердини. Додатково вони з'єднують жердини скінченною кількістю мотузок так, що будь-які два різні кінці мотузок прикріплено в різних точках. Коли мавпа вилазить жердиною і знаходить мотузку, вона не може втриматися і перебирається мотузкою, перш ніж продовжити підйом. Мавпи починають з різних жердин (кожна зі своєї). Доведіть, що кожна мавпа отримає банан.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2011-016

Сума відстаней на межі квадрата

Знайдіть дійсне число tt таке, що для будь-якої множини зі 120 точок P1,…,P120P_1, \dots, P_{120} на межі одиничного квадрата існує точка QQ на цій межі, для якої ∣P1Q∣+⋯+∣P120Q∣=t|P_1Q| + \dots + |P_{120}Q| = t.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-027

Прості дільники біноміальних коефіцієнтів

Доведіть, що якщо nn і kk — натуральні числа такі, що 1<k<n−11 < k < n-1, то біноміальний коефіцієнт (nk)\binom{n}{k} ділиться принаймні на два різні прості числа.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-026

Кольорові точки із заданими сумами відстаней

Знайдіть усі трійки (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, для яких a+b+c=10a+b+c=10 і існує aa червоних, bb синіх і cc зелених точок (усі різні) на площині з такими властивостями: - для кожної червоної точки і кожної синьої точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 3737; - для кожної зеленої точки і кожної червоної точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 3030; - для кожної синьої точки і кожної зеленої точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 11;
10–11 класиНерівність трикутника
Відбіркові тести на IMOTST-2011-024

Трапеція з перетином бісектрис

Дано трапецію ABCDA B C D, у якій BC∥ADB C \| A D. Припустімо, що бісектриси кутів BADB A D і CDAC D A перетинаються на серединному перпендикулярі до відрізка BCB C. Доведіть, що ∣AB∣=∣CD∣|A B|=|C D| або ∣AB∣+∣CD∣=∣AD∣|A B|+|C D|=|A D|.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2011-025

Бісектриса трикутника і середина відрізка

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∣AB∣>∣BC∣|AB| > |BC|. Нехай DD — середина сторони ACAC. Нехай EE — точка перетину бісектриси ∠ABC\angle ABC із прямою ACAC. Нехай FF — точка на прямій BEBE така, що пряма CFCF перпендикулярна до BEBE. Нехай далі GG — точка перетину прямих CFCF і BDBD. Доведіть, що пряма DFDF ділить відрізок EGEG навпіл.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-023

Суми цифр попарних сум і загальної суми

Знайдіть натуральні числа a,b,ca, b, c такі, що сума цифр кожного з чисел a+b,b+ca+b, b+c і c+ac+a менша за 5, а сума цифр числа a+b+ca+b+c більша за 50.
10–11 класиСистеми числення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-022

Сума членів рекурентної послідовності до 2ⁿ − 1

Нехай cnc_n — послідовність, задана рекурентно так: c0=1c_0 = 1, c2n+1=cnc_{2n+1} = c_n при n≥0n \ge 0, і c2n=cn+cn−2ec_{2n} = c_n + c_{n-2^e} при n>0n > 0, де ee — найбільше невід'ємне ціле число таке, що 2e2^e ділить nn. Доведіть, що ∑i=02n−1ci=1n+2(2n+2n+1).\sum_{i=0}^{2^n-1} c_i = \frac{1}{n+2} \binom{2n+2}{n+1}.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2011-029

Різні рядки та червоні стовпці на дошці

На клітчастій дошці з mm рядками та nn стовпцями, де m≤nm \le n, деякі клітинки пофарбовано в чорний колір так, що жодні два рядки не збігаються. Знайдіть найбільше ціле число kk таке, що для будь-якого початкового розфарбування завжди можна пофарбувати kk стовпців повністю в червоний колір так, щоб жодні два рядки й надалі не збігалися. Відповідь: n−m+1n-m+1.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-028

Гарні многочлени при підстановці змінної

Многочлен P(x)P(x) називають гарним, якщо P(0)=1P(0) = 1 і ненульові коефіцієнти P(x)P(x), виписані за порядком, по черзі дорівнюють 11 і −1-1. Нехай P(x)P(x) — гарний, а mm і nn — два взаємно прості натуральні числа. Доведіть, що Q(x)=P(xn)⋅(xmn−1)(x−1)(xm−1)(xn−1)Q(x) = P(x^n) \cdot \frac{(x^{mn} - 1)(x - 1)}{(x^m - 1)(x^n - 1)} також є гарним.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-031

Многочлени, для яких P(P(k)) = P(k)²

Знайдіть усі многочлени P≠0P \neq 0 з дійсними коефіцієнтами, які задовольняють таку умову: P(P(k))=P(k)2 для k=0,1,2,…,(deg⁡P)2P(P(k)) = P(k)^2 \text{ для } k = 0, 1, 2, \ldots, (\operatorname{deg} P)^2
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-030

Конкурентні прямі та спільний інцентр у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник, вписаний у коло Ω\Omega. Коло ω\omega з центром OO проходить через BB і CC та перетинає сторони ABAB і ACAC в точках EE і DD відповідно. Точка PP лежить на більшій дузі BAC^\widehat{BAC} кола Ω\Omega. Доведіть, що прямі BDBD, CECE, OPOP перетинаються в одній точці тоді й лише тоді, коли трикутники PBDPBD і PCEPCE мають спільний інцентр.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-033

Королі без нападів на великій шаховій дошці

Доведіть, що існує понад 101310^{13} способів розмістити 81 короля на дошці 18×1818 \times 18 так, щоб жодні два королі не били один одного.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-032

Щільна множина пар із потрійним перекриттям

Нехай n≥1n \ge 1 — ціле число, а SS — множина пар цілих чисел (a,b)(a, b), для яких 1≤a<b≤2n1 \le a < b \le 2^n. Припустимо, що ∣S∣>n⋅2n+1|S| > n \cdot 2^{n+1}. Доведіть, що існують чотири цілі числа a<b<c<da < b < c < d такі, що SS містить усі три пари (a,c)(a, c), (b,d)(b, d) і (a,d)(a, d).
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-035

Дотична до описаного кола в трикутнику

У трикутнику ABCA B C, у якому AB≠ACA B \neq A C, нехай DD — проєкція точки AA на пряму BCB C. Крім того, нехай E,FE, F — середини відрізків ADA D та BCB C відповідно, а GG — проєкція точки BB на пряму AFA F. Доведіть, що пряма EFE F є дотичною в точці FF до описаного кола трикутника GFCG F C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2011-034

Чи існують дві різні множини з близькими сумами степенів

Визначте, чи існують дві різні множини AA, BB, кожна з яких складається щонайбільше з 201122011^2 натуральних чисел, такі, що кожне xx з 0<x<10 < x < 1 задовольняє таку нерівність: ∣∑a∈Axa−∑b∈Bxb∣<(1−x)2011.\left| \sum_{a \in A} x^a - \sum_{b \in B} x^b \right| < (1-x)^{2011}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-036

Бісектриси у квадраті та перпендикулярність

Нехай ABCDA B C D — квадрат, а MM — внутрішня точка відрізка BCB C. Бісектриса кута ∠BAM\angle B A M перетинає відрізок BCB C у точці EE. Крім того, бісектриса кута ∠MAD\angle M A D перетинає пряму CDC D у точці FF. Доведіть, що прямі AMA M і EFE F перпендикулярні.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2011-037

Циклічна сума з локальними обмеженнями

Нехай x1,…,x8≥0x_{1}, \ldots, x_{8} \geq 0 — дійсні числа, такі, що для i=1,…,8i=1, \ldots, 8 виконується xi+xi+1+xi+2≤1x_{i}+x_{i+1}+x_{i+2} \leq 1, де x9=x1x_{9}=x_{1} і x10=x2x_{10}=x_{2}. Доведіть нерівність ∑i=18xixi+2≤1\sum_{i=1}^{8} x_{i} x_{i+2} \leq 1 і знайдіть усі випадки, в яких досягається рівність.
10–11 класиНерівність Коші
Італійська математична олімпіадаITAMO-2011-001

Розбиття трапеції на рівновеликі трапеції

Дано трапецію з основами завдовжки 11 і 44 відповідно. Розділимо її на дві трапеції розрізом, паралельним основам, завдовжки 33. Тепер хочемо розділити дві нові трапеції, знову розрізами, паралельними основам, на mm і nn трапецій відповідно так, щоб усі m+nm+n утворених трапецій мали однакову площу. Визначити найменше можливе значення m+nm+n і довжини розрізів, які треба виконати для досягнення цього найменшого значення.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Італійська математична олімпіадаITAMO-2011-002

Драбинки без спільних елементів з умовами на НСД

(a) Доведіть, що для кожного натурального числа nn існують дві драбинки довжини nn, без спільних елементів, a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} і b1,b2,…,bnb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}, такі, що для кожного ii від 1 до nn найбільший спільний дільник чисел aia_{i} і bib_{i} дорівнює 1. (b) Доведіть, що для кожного натурального числа nn існують дві драбинки довжини nn, без спільних елементів, a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} і b1,b2,…,bnb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}, такі, що для кожного ii від 1 до nn найбільший спільний дільник чисел aia_{i} і bib_{i} більший за 1.
10–11 класиНСД та НСК
Італійська математична олімпіадаITAMO-2011-003

Перетворення набору доповненням до повної множини

На дошці написано кілька цілих чисел, кожне з яких від 1 до 7. Можливо, що не всі числа від 1 до 7 присутні, а також можливо, що одне, декілька або всі числа повторюються один або кілька разів. За один хід вибирають одне або кілька чисел, записаних на дошці (усі вибрані числа мають бути різними), витирають їх і записують замість них числа, які разом із витертими утворюють усю множину {1,2,3,4,5,6,7}\{1,2,3,4,5,6,7\}. Наприклад, дозволеними ходами є: - витерти 4 і 5, а замість них написати числа 1, 2, 3, 6 і 7; - витерти 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7, нічого не написавши замість них. Доведіть, що, якщо можна знайти послідовність ходів, яка, починаючи з початкової ситуації, приводить до того, що на дошці залишиться єдине число (написане один раз), то це число не залежить від використаної послідовності ходів.
10–11 класиПарність і непарність
Італійська математична олімпіадаITAMO-2011-004

Чотирикутник із зовнішніми бісектрисами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Нехай PP — точка перетину зовнішніх бісектрис кутів DA^CD\widehat{A}C і DB^CD\widehat{B}C. Доведіть, що AP^D=BP^CA\widehat{P}D = B\widehat{P}C тоді і лише тоді, коли AD+AC=BC+BDAD + AC = BC + BD. [Примітка: Нагадаємо, що зовнішня бісектриса кута — це пряма, яка проходить через вершину кута і перпендикулярна до внутрішньої бісектриси (тобто звичайної бісектриси) того самого кута.]
10–11 класиСиметрія
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-010

Площа поверхні після вирізання куба

Ґабріеле, любитель кубів, купив чудовий колекційний екземпляр: куб, повністю виготовлений із шоколаду, з ребрами завдовжки 10 см10~\text{см}. На жаль, програвши парі двом своїм друзям, він мусить віддати дві третини об'єму шоколадного блока. Ґабріеле вирішив узяти собі як власну порцію шоколаду менший куб, одна з вершин якого збігається з однією з вершин купленого шоколадного куба, а грані паралельні граням купленого куба. Зрештою він віддає двом друзям шоколад, що залишився. Позначимо через SS площу повної поверхні відданого блока шоколаду, виражену в см2\text{см}^2. Тоді маємо... (A) 300≤S≤350300 \leq S \leq 350 (B) 350<S≤450350<S \leq 450 (C) 450<S≤550450<S \leq 550 (D) 550<S≤650550<S \leq 650 (E) 650<S≤750650<S \leq 750.
9–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-011

Логічна задача про лисиць, змій і черепах

У лісі фіолетового дерева живуть три види тварин, які вміють говорити: лисиці, змії та черепахи. Перші брешуть лише в дощові дні, другі брешуть завжди, треті завжди кажуть правду. Одного дня дослідник Берні розмовляє з чотирма тваринами. Їхні твердження, наведені в тому порядку, в якому вони були сказані, такі: A: «Сьогодні йде дощ.» B: «Тварина, яка говорила переді мною, бреше.» C: «Сьогодні ясно.» D: «Той, хто говорив переді мною, бреше, або я — лисиця.» Зі скількома черепахами щонайбільше поговорив Берні? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) Неможливо визначити.
9–11 класиРозбиття на випадки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.