Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Відбіркові тести на IMOTST-2008-019

Фіксована точка перетину кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а DD — точка всередині відрізка BCBC. Нехай XX — інша точка всередині відрізка BCBC, відмінна від DD, а YY — точка перетину прямої AXAX з описаним колом трикутника ABCABC. Нехай PP — друга точка перетину описаних кіл трикутників ABCABC і DXYDXY. Доведіть, що PP не залежить від вибору XX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2008-020

Найбільший дійсний корінь многочлена четвертого степеня

Нехай P(x)=x4−2x3+px+qP(x) = x^{4} - 2 x^{3} + p x + q — многочлен із дійсними коефіцієнтами, усі корені якого дійсні. Доведіть, що найбільший із цих коренів лежить у проміжку [1,2][1,2].
10–11 класиТеорема Вієта
Відбіркові тести на IMOTST-2008-021

Стабілізація перетворення цілочисельної послідовності

Нехай A=(a1,a2,…,an)A = (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) — послідовність цілих чисел. Наступником послідовності AA називається послідовність A′=(a1′,a2′,…,an′)A' = (a_{1}', a_{2}', \ldots, a_{n}'), де ak′=∣{i<k∣ai<ak}∣−∣{i>k∣ai>ak}∣a_{k}' = \left|\{i < k \mid a_{i} < a_{k}\}\right| - \left|\{i > k \mid a_{i} > a_{k}\}\right| Нехай A0A_{0} — скінченна послідовність цілих чисел, а для k≥0k \geq 0 нехай Ak+1=Ak′A_{k+1} = A_{k}' — наступник послідовності AkA_{k}. Доведіть, що існує натуральне число mm таке, що Am=Am+1A_{m} = A_{m+1}.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2008-022

Рівність x² + 5 = yⁿ та дільники n

Нехай xx, yy, nn — натуральні числа, для яких x≥3x \geq 3, n≥2n \geq 2 і x2+5=ynx^{2}+5=y^{n} Доведіть, що кожен простий дільник pp числа nn задовольняє конгруенцію p≡1( mod 4)p \equiv 1(\bmod 4).
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-001

Коло через вершини дванадцятикутника та перетин діагоналей

Нехай ABCDEFGHILMNA B C D E F G H I L M N — правильний дванадцятикутник. Нехай PP — точка перетину діагоналей AFA F і DHD H. Нехай SS — коло, що проходить через AA і HH, конгруентне описаному навколо дванадцятикутника колу і відмінне від нього. Доведіть, що: (a) PP належить колу SS; (b) центр кола SS належить діагоналі HNH N; (c) довжина відрізка PEP E дорівнює стороні дванадцятикутника.
10–11 класиПаралельний перенос
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-002

Розфарбування дошки з двома кольорами в кожному квадраті 2 на 2

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. Пофарбуємо всі клітинки шахової дошки n×nn \times n у червоний або синій колір так, щоб кожен квадрат 2×22 \times 2, що міститься в дошці, мав рівно дві червоні та дві сині клітинки. Скільки існує можливих розфарбувань? ПРИМІТКА: два розфарбування, які отримуються одне з одного поворотом або симетрією дошки, вважаються різними.
10–11 класиРозбиття на випадки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-008

Почергові концентричні рамки у квадратній таблиці

Со-поко — це нова гра-головоломка, у яку грають на квадратній таблиці зі стороною 203203 клітинки. Клітинки пофарбовано в білий і чорний кольори концентричними рамками, що чергуються; зовнішня рамка — чорна, а центральна клітинка — біла (поруч див. приклад 7×77 \times 7). Яка різниця між кількістю чорних клітинок і кількістю білих клітинок у схемі? (A) 103 (B) 203 (C) 207 (D) 303 (E) 407.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-003

Строго зростаючі функції з цілих чисел у дійсні

Знайти всі функції ff, визначені на множині Z\mathbb{Z} цілих чисел зі значеннями у множині R\mathbb{R} дійсних чисел, які одночасно задовольняють такі властивості: - для кожної пари цілих чисел (m,n)(m, n) з m<nm<n виконується f(m)<f(n)f(m)<f(n); - для кожної пари цілих чисел (m,n)(m, n) існує ціле число kk таке, що f(m)−f(n)=f(k)f(m)-f(n)=f(k).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-009

Площа рівнобічної трапеції за відношенням частин діагоналей

У рівнобічній трапеції ABCDABCD з більшою основою ABAB діагоналі діляться точкою їх перетину OO на частини, пропорційні числам 1 і 3. Відомо, що площа трикутника BOCBOC дорівнює 15. Чому дорівнює площа всієї трапеції? (A) 60 (B) 75 (C) 80 (D) 90 (E) 105.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-010

Лінійна система з параметризованими коефіцієнтами

Франческо й Андреа вирішують звернутися до математичного оракула, щоб дізнатися, чи мають вони пари (x,y)(x, y) щасливих дійсних чисел. Щоб визначити пару (або пари) щасливих чисел, оракул запитує у Франческо й в Андреа день (g)(g) і місяць (m)(m) народження, після чого для кожного з них розв'язує систему: {13x−y=181gx−my=362\left\{\begin{array}{l} 13 x - y = 181 \\ g x - m y = 362 \end{array}\right. За вердиктом оракула Андреа не має жодної пари щасливих чисел, а Франческо має таких пар нескінченно багато. Яке з наведених тверджень є правильним? (A) Франческо й Андреа обидва народилися навесні (B) Франческо й Андреа обидва народилися влітку (C) Франческо й Андреа обидва народилися восени (D) Франческо й Андреа обидва народилися взимку (E) Франческо й Андреа народилися в різні пори року.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-004

Квадрати зі спільною вершиною всередині трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, усі кути якого більші за 45∘45^{\circ} і менші за 90∘90^{\circ}. a. Доведіть, що всередині трикутника ABCABC можна розмістити три квадрати з такими властивостями: - усі три квадрати мають однакову сторону; - усі три квадрати мають спільну вершину KK, внутрішню для трикутника; - будь-які два квадрати не мають спільних точок, крім KK; - кожен із квадратів має дві протилежні вершини на периметрі трикутника ABCABC, а решта цілком лежить усередині трикутника ABCABC. b. Нехай PP — центр квадрата, побудованого на стороні ABAB зовні трикутника ABCABC. Нехай rCr_{C} — пряма, симетрична до прямої, що проходить через CC і KK, відносно бісектриси кута AC^BA\widehat{C}B, що виходить із CC. Доведіть, що PP належить прямій rCr_{C}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-011

Лінійне рекурентне співвідношення за модулем 19

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — цілі числа такі, що a0=19a_{0}=19, a1=25a_{1}=25, і для кожного n≥0n \geq 0 виконується an+2=2an+1−ana_{n+2}=2 a_{n+1}-a_{n}. Яке найменше i>0i>0, для якого aia_{i} кратне 1919? (A) 19 (B) 25 (C) 38 (D) 44 (E) 50
10–11 класиАрифметична прогресія
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-005

Гра з розбиттям і прибиранням стовпчиків монет

Франческа та Джорджа грають у таку гру. На столі спочатку є кілька стовпчиків монет. Кожен стовпчик містить певну кількість монет, яка може відрізнятися від стовпчика до стовпчика. Почергово кожна гравчиня робить один і лише один із таких можливих ходів: - вибирає стовпчик, що містить парну ненульову кількість 2k2k монет, і замінює його двома стовпчиками, які містять по kk монет кожен; - прибирає зі столу всі стовпчики, що містять непарну кількість монет. У випадку, коли неможливо зробити хід першого типу, гравчиня обов'язково зробить хід другого типу, і навпаки. Починає Франческа. Перемагає та, хто забере зі столу останню монету. a. Якщо спочатку на столі є лише один стовпчик, який містить 200820082008^{2008} монет, яка гравчиня має виграшну стратегію? b. Для яких початкових конфігурацій Франческа має виграшну стратегію?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-012

Острів брехунів, лицарів і пажів, що брешуть через день

На острові, якого немає, живуть 2008 мешканців, поділених на три клани: брехуни, які брешуть завжди, лицарі, які ніколи не брешуть, і пажі, які брешуть день через день. Лоренца, яка приїхала на два дні, зустрічає їх усіх першого дня. Перший каже: «на острові є рівно один брехун»; другий каже: «на острові є рівно два брехуни»... 2008-й каже: «на острові є рівно 2008 брехунів». Наступного дня Лоренца знову опитує всіх у тому самому порядку. Перший каже: «на острові є рівно один лицар»; другий каже: «на острові є рівно два лицарі»... останній каже: «на острові є рівно 2008 лицарів». Скільки пажів є на острові? (A) 0 (B) 1 (C) 1004 (D) 2006 (E) неможливо визначити за даними задачі.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-013

Площа зони, обмеженої дугами кіл

Всередині круга радіуса 11 проведено 33 дуги кіл, також радіуса 11, з центрами у вершинах рівностороннього трикутника, вписаного в коло. Чому дорівнює площа заштрихованої фігури? (A) 34π\frac{\sqrt{3}}{4} \pi (B) π−334\pi-\frac{3 \sqrt{3}}{4} (C) π−332\pi-\frac{3 \sqrt{3}}{2} (D) 332\frac{3 \sqrt{3}}{2} (E) 6−π6-\pi.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-014

Радіус сфери за довжиною тіні

У сонячний день сфера лежить на горизонтальній землі. У певну мить тінь сфери сягає відстані 10 метрів від точки, у якій сфера дотикається до землі. У ту саму мить жердина завдовжки 1 метр, поставлена вертикально, відкидає тінь завдовжки 2 метри. Чому дорівнює радіус сфери в метрах? (A) 52\frac{5}{2} (B) 9−459-4 \sqrt{5} (C) 105−2010 \sqrt{5}-20 (D) 810−238 \sqrt{10}-23 (E) 6−156-\sqrt{15}.
10–11 класиОзнаки подібності
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-006

Дійсні пари, що задовольняють раціональне рівняння

Знайдіть усі пари (x,y)(x, y) дійсних чисел, що задовольняють рівняння 4x+y=1x+1y.\frac{4}{x+y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.
10–11 класиПеретворення дробів
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-007

Ортоцентр у колі з відношенням хорди

Нехай ABAB — хорда кола, а PP — внутрішня точка відрізка ABAB така, що AP=2PBAP = 2PB. Нехай DEDE — хорда, що проходить через PP і перпендикулярна до ABAB. Доведіть, що середина QQ відрізка APAP є ортоцентром трикутника ADEADE.
10–11 класиТочка перетину висот
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2008-002

Підрахунок п'ятицифрових кодів з умовами парності

Банда грабіжників хоче відкрити банківський сейф. Інформатору вдалося напоїти директора банку, і він зумів дізнатися, що: a. комбінація складається з 5 цифр від 0 до 9; b. комбінація є парним числом; c. рівно одна з 5 цифр комбінації є непарною; d. у комбінації зустрічаються чотири різні цифри, повторена цифра є парною і стоїть на двох несуміжних позиціях. Скільки можливих комбінацій відповідає цим відомостям? (A) 3150 (B) 4500 (C) 5400 (D) 7200 (E) 9000
9–11 класиПравила суму та добутку2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2008-003

Перестановки цифр з подільністю на 11

Скількома способами можна упорядкувати цифри 11, 22, 44, 77 і 99 так, щоб утворилося п’ятицифрове число, яке ділиться на 1111? (A) 00 (B) 11 (C) 1010 (D) 1212 (E) 2424.
9–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2008-004

Площа області, утвореної дугами кіл

Усередині круга радіуса 11 проведено 33 дуги кіл, які також мають радіус 11, з центрами у вершинах рівностороннього трикутника, вписаного в це коло. Чому дорівнює площа заштрихованої області? (A) 34π\frac{\sqrt{3}}{4} \pi (B) π−334\pi-\frac{3 \sqrt{3}}{4} (C) π−332\pi-\frac{3 \sqrt{3}}{2} (D) 332\frac{3 \sqrt{3}}{2} (E) 6−π6-\pi.
9–11 класиРозбиття і перекидання площ
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2008-005

Положення стрілки годинника після випадкових кидків

Елеонора грає з гральним кубиком і годинником (зупиненим), який на початку показує 12. 2008 разів вона кидає кубик і переводить стрілки вперед на стільки годин, скільки очок випало. Яка ймовірність того, що наприкінці годинна стрілка буде горизонтальною? (A) 0 (B) 12008\frac{1}{2008} (C) 11004\frac{1}{1004} (D) 112\frac{1}{12} (E) 16\frac{1}{6}.
9–11 класиРозбиття на випадки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2008-006

Сума обернених значень розв'язків рівняння четвертого степеня

Нехай x1,x2,x3x_{1}, x_{2}, x_{3} і x4x_{4} — розв'язки рівняння x4−2x3−7x2−2x+1=0x^{4}-2 x^{3}-7 x^{2}-2 x+1=0. Чому дорівнює 1x1+1x2+1x3+1x4\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+\frac{1}{x_{4}}? (A) 1 (B) 12\frac{1}{2} (C) 2 (D) 4 (E) 7.
9–11 класиТеорема Вієта
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2008-007

Ввімкнена лампочка після перемикань за кратними номерами

Є 1000010000 лампочок, пронумерованих, починаючи з 11, кожна з яких вмикається і вимикається звичайним вимикачем. Спочатку всі лампочки вимкнені; потім один раз натискають усі вимикачі лампочок, позначених числами, кратними 11 (отже всі лампочки вмикаються), далі один раз натискають вимикачі всіх тих, що на парних місцях (тобто кратних 22), потім тих, що позначені кратними 33, далі змінюють стан тих, що відповідають кратним 44, і так далі, аж до кратних 1000010000. Яка з наведених нижче лампочок залишиться увімкненою після завершення всіх дій? (A) Номер 94059405 (B) номер 94069406 (C) номер 94079407 (D) номер 94089408 (E) номер 94099409.
9–11 класиКількість дільників τ(n)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2008-008

Двоцифрові прості числа з простим добутком цифр

Знайти найбільше двоцифрове число таке, що: a) воно є простим числом; b) після переставлення двох цифр місцями воно залишається простим числом; c) добуток двох його цифр є простим числом.
9–11 класиПрості числа (базові властивості)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.