Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2008-009

Прямокутник із проєкцій у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник із прямим кутом у AA, у якому ∠ABC=15∘\angle ABC = 15^\circ. Нехай HH — основа висоти, проведеної з AA, а J,KJ, K — проєкції HH на сторони ABAB і ACAC. Відомо, що площа чотирикутника AJHKAJHK дорівнює 45 см245~\text{см}^2. Чому в см2\text{см}^2 дорівнює добуток BJ⋅CKBJ \cdot CK?
9–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2008-001

Цілі числа з циклічними кубічними добутками

а. Маємо сім натуральних чисел a,b,c,d,e,f,ga, b, c, d, e, f, g таких, що добутки ab,bc,cd,de,ef,fg,gaab, bc, cd, de, ef, fg, ga всі є точними кубами. Доведіть, що також a,b,c,d,e,f,ga, b, c, d, e, f, g є точними кубами. б. Маємо шість натуральних чисел a,b,c,d,e,fa, b, c, d, e, f таких, що добутки ab,bc,cd,de,ef,faab, bc, cd, de, ef, fa всі є точними кубами. Чи завжди правда, що a,b,c,d,e,fa, b, c, d, e, f всі є точними кубами? Зауваження: ціле число mm називають точним кубом, якщо m=n3m = n^{3} для деякого цілого nn.
9–11 класиОсновна теорема арифметики
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-001

Найбільше НСК чотирьох різних одноцифрових чисел

Знайдіть найбільше можливе значення найменшого спільного кратного 4 різних одноцифрових натуральних чисел.
10–11 класиНСД та НСК
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-011

Передавання карток у грі по колу

Є по 20082008 червоних і білих карток. Ці 40164016 карток перемішують і складають у стопку. Потім кожному з 20082008 гравців роздають по 22 картки зі стопки, після чого всіх гравців садять по колу обличчям до середини кола. У кожному ході гри кожен гравець одночасно виконує таку дію: якщо гравець має принаймні одну червону картку, він передає одну червону картку гравцеві, що сидить поруч зліва від нього. Якщо гравець не має жодної червоної картки, то він передає одну білу картку гравцеві зліва. Визначте найбільшу можливу кількість ходів, необхідну для того, щоб уперше досягти ситуації, коли кожен гравець матиме по одній червоній і одній білій картці.
10–11 класиНапівінваріанти
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-002

Площа трикутника з дотичною до кола

Нехай ABCDABCD — квадрат зі стороною 11. Нехай OO — коло, побудоване на стороні ADAD квадрата як на діаметрі, а точка EE на стороні ABAB квадрата вибрана так, що пряма CECE дотикається до кола OO. Знайдіть площу трикутника CBECBE.
10–11 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-003

Мінімізація кількості монет після отримання решти

Монети японської валюти, що зараз перебувають в обігу, мають 6 різних номіналів: 500 єн, 100 єн, 50 єн, 10 єн, 5 єн та 1 єна. Таро мав по одній банкноті в 1000 єн, монеті в 100 єн, монеті в 10 єн та монеті в 1 єну. Він зробив певну покупку в продавця, віддав йому все, що мав, і отримав решту. Припустимо, що Таро здійснив оплату так, щоб не отримати в решті жодних монет тих номіналів, які він мав спочатку, ані банкноти в 1000 єн. Крім того, він обрав спосіб оплати так, щоб після отримання решти в нього залишилася найменша можлива кількість монет. Припустимо також, що продавець видав Таро решту найменшою можливою кількістю монет. Випадок без решти також зараховуємо як можливий для ціни покупки. За цих умов скільки різних цін покупки можливі?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-012

Коло через вершину і центр описаного кола

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC. Коло, що проходить через точки A,OA, O, перетинає прямі ABAB і ACAC у точках P,QP, Q, відмінних від AA, відповідно. Якщо довжини відрізків PQPQ і BCBC рівні, чому дорівнює величина кута, утвореного прямими PQPQ і BCBC і меншого за 90∘90^\circ?
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-004

Сума остач дільників при діленні на 4 дорівнює 1000

Знайдіть усі натуральні числа, у яких сума всіх додатних дільників, що дають при діленні на 44 остачу, відмінну від 22, дорівнює 10001000.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-005

Ймовірність нерівностей для значень карток

Припустімо, є 5 карток, на яких написано різні числа з множини {2,3,4,5,6}\{2, 3, 4, 5, 6\}. Коли ці картки випадковим чином викладають у ряд зліва направо, яка ймовірність того, що для кожного ii, 1≤i≤51 \leq i \leq 5, число, написане на картці, що лежить на ii-му місці зліва, більше або дорівнює ii?
10–11 класиПравила суму та добутку
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-013

Єгипетське зображення раціональних чисел

Чи існує натуральне число nn, яке задовольняє таку умову? Умова: Для довільного раціонального числа rr існують ціле число bb і ненульові цілі числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n такі, що r=b+1a1+⋯+1anr = b + \frac{1}{a_1} + \dots + \frac{1}{a_n}
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-006

Видалення цифри 6 з кратних чисел

Позначимо через n(10)n_{(10)} десятковий запис натурального числа nn. Нехай три різні натуральні числа a,b,ca, b, c задовольняють усі такі умови: c(10)c_{(10)} збігається з числом, одержаним викресленням однієї цифри 6 із a(10)a_{(10)}. c(10)c_{(10)} збігається з числом, одержаним викресленням однієї цифри 6 із b(10)b_{(10)}. Кількість цифр у aa збігається з кількістю цифр у bb, причому aa кратне bb. Знайдіть найменше можливе значення, яке може мати cc за цих умов.
10–11 класиСистеми числення
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-007

Перші три цифри шестицифрового повного квадрата

Скільки існує трицифрових чисел, які можуть бути першими трьома цифрами шестицифрового числа, що є повним квадратом?
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-008

Математичне сподівання кількості гербів

8 монет викладено в ряд зліва направо. Далі ми раз за разом повторюємо таку дію: Навмання вибираємо монету, що лежить гербом догори і задовольняє таку умову: Умова: або справа від неї немає жодної монети, що лежить решкою догори, або зліва від неї немає жодної монети, що лежить решкою догори. Припустимо, що ми повторюємо цю дію, доки не залишиться жодної монети, що лежить гербом догори і задовольняє наведену вище умову. Знайдіть математичне сподівання кількості монет, що лежать гербом догори, коли дії завершаться.
10–11 класиПерестановки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-009

Круговий обмін подарунками

2008 хлопців і 2008 дівчат вирішили зібратися разом і пограти в обмін подарунками. Кожного хлопця попросили принести на зустріч букет квітів, а кожну дівчину — принести плитку шоколаду. Коли всі учасники зібралися, їх певним чином розсадили по колу обличчям до центра кола. Потім їм наказали одночасно передавати принесені подарунки сусідові праворуч по колу. Після того як цю дію повторили певну кількість разів, виявилося, що кожен хлопець має плитку шоколаду, а кожна дівчина має букет квітів. Скільки існує можливих розміщень хлопців на стільцях?
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-010

Максимум суми часткових добутків

Нехай комбінація (n;a1,a2,…,an)(n; a_1, a_2, \dots, a_n) натуральних чисел задовольняє умову a1+a2+⋯+an=2008a_1 + a_2 + \dots + a_n = 2008. Для кожного kk з 1≤k≤n1 \le k \le n нехай Ak=a1a2⋯akA_k = a_1a_2\cdots a_k. Визначте найбільше можливе значення, якого може набувати величина A1+A2+⋯+AnA_1 + A_2 + \dots + A_n.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-001

Вписаний шестикутник з рівністю відрізків

Дано вписаний шестикутник ABCDEFABCDEF. Нехай прямі BDBD і CFCF перетинаються в точці GG, прямі ACAC і BEBE перетинаються в точці HH, а прямі ADAD і CECE перетинаються в точці II. Припустімо, що пряма BDBD перпендикулярна до прямої CFCF і AI=CIAI = CI. Доведіть, що CH=AH+DECH = AH + DE тоді й лише тоді, коли GH⋅BD=BC⋅DEGH \cdot BD = BC \cdot DE.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-005

Подільність суми значень многочлена на суму аргументів

Знайдіть многочлен f(x)f(x) з цілими коефіцієнтами, який має таку властивість: існує нескінченно багато взаємно простих натуральних чисел a,ba, b таких, що a+ba + b ділить f(a)+f(b)f(a) + f(b).
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-006

Рівняння f(x+y+1/x+1/y) з умовою f(1)=2008

Знайдіть усі функції f:R+→Rf: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}, які задовольняють умови (i) f(1)=2008f(1) = 2008, (ii) ∣f(x)∣≤x2+10042|f(x)| \le x^2 + 1004^2, і (iii)f(x+y+1x+1y)=f(x+1y)+f(y+1x)(iii) \quad f\left(x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = f\left(x + \frac{1}{y}\right) + f\left(y + \frac{1}{x}\right) для всіх x,y>0x, y > 0, де R\mathbb{R} — множина всіх дійсних чисел, а R+\mathbb{R}^+ — множина всіх додатних дійсних чисел.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-004

Степені двійки в арифметичній множині

Для натурального числа m≥2m \ge 2 визначимо Am:={m+1,3m+2,5m+3,7m+4,9m+5,… }.A_m := \{ m+1, 3m+2, 5m+3, 7m+4, 9m+5, \dots \}. (1) Доведіть, що для довільного заданого m≥2m \ge 2 існує натуральне число aa, 1≤a<m1 \le a < m, таке, що або 2a∈Am2^a \in A_m, або 2a+1∈Am2^a + 1 \in A_m. (2) Припустімо, що для деякого m≥2m \ge 2 існують натуральні числа aa і bb, для яких 2a∈Am2^a \in A_m і 2b+1∈Am2^b + 1 \in A_m. Нехай a0a_0 і b0b_0 — найменші такі aa і bb відповідно. Знайдіть співвідношення між a0a_0 і b0b_0.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-002

Колінеарність у конструкції з вписаним чотирикутником

Нехай чотирикутник ABCDABCD вписано в коло OO, причому кути ∠B\angle B і ∠C\angle C тупі. Нехай EE — точка перетину прямих ABAB і CDCD. Нехай PP і RR — основи перпендикулярів, проведених з точки EE до прямих BCBC і ADAD відповідно. Нехай QQ — точка перетину прямих EPEP і ADAD, а SS — точка перетину прямих ERER і BCBC. Нехай KK — середина відрізка QSQS. Доведіть, що три точки E,K,OE, K, O лежать на одній прямій.
10–11 класиГомотерія і подібність
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-003

Збільшення чисел за модулем на шаховій дошці

Є шахова дошка n×nn \times n. Кожна з n2n^2 клітинок може містити число від 00 до kk, де kk — деяке натуральне число. У кожному рядку та стовпці є кнопка, і якщо натиснути кнопку рядка (або стовпця), то число в кожній з nn клітинок цього рядка (або стовпця відповідно) збільшується на 11, а число kk замінюється на 00. Це називається «процесом». Спочатку в кожній з n2n^2 клітинок було число 00. Але потім було виконано кілька процесів, і числа змінилися. Доведіть, що всі числа у n2n^2 клітинках можна перетворити на 00, виконавши не більше ніж knkn процесів.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2008-001

П’ять дільників степеня десятки з квадратним добутком

Дано п’ять дільників числа 10200810^{2008}. Доведіть, що знайдуться два з цих дільників, добуток яких є точним квадратом.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2008-007

Площа чотирикутника дорівнює площі трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∡BAC≠45∘\Varangle BAC \neq 45^{\circ} і ∡ABC≠135∘\Varangle ABC \neq 135^{\circ}. Нехай PP — точка на прямій ABAB така, що ∡CPB=45∘\Varangle CPB = 45^{\circ}. Нехай O1O_1 і O2O_2 — центри описаних кіл трикутників ACPACP і BCPBCP. Доведіть, що площа чотирикутника CO1PO2CO_1PO_2 дорівнює площі трикутника ABCABC.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2008-008

Нерівність f(xy) ≤ (x f(y)+y f(x))/2

Знайдіть усі функції f:R+→R+f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, такі, що для всіх x,y>0x, y>0 виконується: f(xy)≤xf(y)+yf(x)2f(x y) \leq \frac{x f(y)+y f(x)}{2}
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2008-002

Шляхи на решітці, що оминають дві точки

Шлях на площині веде від точки (0,0)(0,0) до точки (6,6)(6,6), причому на кожному кроці можна піти або на 11 вправо, або на 11 вгору. Скільки існує шляхів, які не містять ні точки (2,2)(2,2), ні точки (4,4)(4,4)?
10–11 класиКомбінації

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.