Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-020

Марковський процес перемикання дротів

Боб-сапер натрапив на активну бомбу. Він відкрив її й знайшов червоний та зелений дроти, зручно розташовані, щоб їх перерізати. Як досвідчений член саперної команди, Боб швидко визначив, що перерізати слід саме зелений дріт, і приставив кусачки до зеленого дроту. Але якраз перед тим, як він почав різати, бомба почала зворотний відлік, цокаючи щосекунди. Щоразу, коли бомба цокає, починаючи з моменту t=15t=15 секунд, Боб панікує і з певною ймовірністю переставляє кусачки на інший дріт. Проте навіть панікуючи, він лишається розсудливою людиною і має 12t2\frac{1}{2 t^{2}} шанс перемкнутися на інший дріт у момент tt, незалежно від того, на якому дроті перебувають його кусачки. Коли бомба цокає в момент t=1t=1, Боб перерізає той дріт, на якому стоять його кусачки, уже не перемикаючись. Яка ймовірність того, що Боб переріже зелений дріт?
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-021

Бісектриса і прямий кут у трикутнику

У трикутнику ABCABC кут ∠ABC\angle ABC — тупий. Точка DD лежить на стороні ACAC так, що ∠ABD\angle ABD — прямий, а точка EE лежить на стороні ACAC між AA і DD так, що BDBD — бісектриса ∠EBC\angle EBC. Знайдіть довжину відрізка CECE, якщо AC=35AC = 35, BC=7BC = 7 і BE=5BE = 5.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-022

Різниця степенів, що дорівнює 2 у сотому степені

Нехай xx, yy, nn — натуральні числа, причому n>1n > 1. Скільки існує впорядкованих трійок (x,y,n)(x, y, n) — розв’язків рівняння xn−yn=2100x^{n} - y^{n} = 2^{100}?
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-023

Сума з рівнянням четвертого степеня

Два дійсні числа xx і yy такі, що 8y4+4x2y2+4xy2+2x3+2y2+2x=x2+18 y^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 4 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{2} + 2 x = x^{2} + 1. Знайдіть усі можливі значення x+2y2x + 2 y^{2}.
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-024

Коло, дотичне до діагоналі вписаного чотирикутника

ABCDABCD — вписаний чотирикутник, у якому AB=4AB = 4, BC=3BC = 3, CD=2CD = 2 і AD=5AD = 5. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці XX. Коло ω\omega проходить через AA і дотикається до діагоналі BDBD у точці XX. Коло ω\omega перетинає сторони ABAB і ADAD у точках YY і ZZ відповідно. Обчисліть відношення YZ/BDYZ / BD.
10–11 класиКоло і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-025

Сума шостих степенів семи цілих чисел

Знайдіть кількість впорядкованих сімок (n1,…,n7)\left(n_{1}, \ldots, n_{7}\right) цілих чисел таких, що ∑i=17ni6=96957\sum_{i=1}^{7} n_{i}^{6}=96957
10–11 класиМіркування за модулем
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-026

Радіус кола вписаного шестикутника зі сторонами 2, 9, 12

Обчисліть радіус описаного кола вписаного шестикутника ABCDEFA B C D E F зі сторонами AB=BC=2A B = B C = 2, CD=DE=9C D = D E = 9 і EF=FA=12E F = F A = 12.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-027

Вкладені радикали з рекурентної послідовності

Послідовність {an}n≥1\{a_{n}\}_{n \geq 1} додатних дійсних чисел визначено правилом an+1an−15=an4an−22a_{n+1} a_{n-1}^{5} = a_{n}^{4} a_{n-2}^{2} для цілих чисел n>2n > 2 разом з початковими значеннями a1=8a_{1} = 8, a2=64a_{2} = 64 і a3=1024a_{3} = 1024. Обчисліть a1+a2+a3+⋯\sqrt{a_{1} + \sqrt{a_{2} + \sqrt{a_{3} + \cdots}}}
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-028

Відношення відрізків основ перпендикулярів у вписаному чотирикутнику

ABCDABCD — вписаний чотирикутник, у якому AB=3AB = 3, BC=5BC = 5, CD=6CD = 6 і AD=10AD = 10. MM, II і TT — основи перпендикулярів, опущених із точки DD на прямі ABAB, ACAC і BCBC відповідно. Знайдіть значення MI/ITMI / IT.
10–11 класиТеорема Менелая
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-029

Періодичні точки кубічної рекурентної послідовності

Послідовність {an}n≥0\{a_{n}\}_{n \geq 0} дійсних чисел задовольняє рекурентне співвідношення an+1=an3−3an2+3a_{n+1} = a_{n}^{3} - 3 a_{n}^{2} + 3 для всіх натуральних чисел nn. Для скількох значень a0a_{0} виконується a2007=a0a_{2007} = a_{0}?
10–11 класиТригонометричні заміни
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-030

Коло, дотичне до трьох описаних кіл трикутника

Трикутник ABCA B C має AB=4A B=4, BC=6B C=6 і AC=5A C=5. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCA B C. Коло Γ\Gamma дотикається до описаних кіл трикутників AOBA O B, BOCB O C і AOCA O C та охоплює їх. Знайдіть діаметр кола Γ\Gamma.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-031

Інтеграл від 1 до 2 раціонального виразу

Обчисліть ∫129x+4x5+3x2+x dx\int_{1}^{2} \frac{9x+4}{x^{5}+3x^{2}+x} \, dx (Ні, ваш TI-89 не вміє брати цей інтеграл. Так, кінець близько.)
10–11 класиРаціональні функції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-032

Числа Кармайкла менші від 100000

Ерік і Грег дивляться своє нове улюблене телешоу «The Price is Right». Боб Баркер нещодавно підвищив інтелектуальний рівень своєї програми і розпочинає останній випуск торгами щодо такого запитання: скільки чисел Кармайкла менших за 100000? Кожна команда має назвати одне невід'ємне ціле число, не більше за 100000. Нехай XX позначає відповідь на запитання Боба. Команди, що назвали NN — найбільшу ставку (серед поданих), яка не перевищує XX, — отримають NN балів, а всі інші команди не отримають і не втратять балів. (Число Кармайкла — це непарне складене ціле число nn таке, що nn ділить an−1−1a^{n-1}-1 для всіх цілих aa, взаємно простих із nn, де 1<a<n1<a<n.)
10–11 класиМала теорема Ферма
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-033

Мінімізація простою мандрівного ремонтника

Є тринадцять зламаних комп'ютерів, розташованих у такій множині SS з тринадцяти точок на площині: A=(1,10)B=(976,9)C=(666,87)D=(377,422)E=(535,488)F=(775,488)G=(941,500)H=(225,583)I=(388,696)J=(3,713)K=(504,872)L=(560,934)M=(22,997)\begin{array}{lll} A=(1,10) & B=(976,9) & C=(666,87) \\ D=(377,422) & E=(535,488) & F=(775,488) \\ G=(941,500) & H=(225,583) & I=(388,696) \\ J=(3,713) & K=(504,872) & L=(560,934) \\ & M=(22,997) & \end{array} У момент часу t=0t=0 ремонтник починає переходити від одного комп'ютера до наступного, рухаючись неперервно по прямих з одиничною швидкістю. Припустимо, що ремонтник починає в AA і лагодить комп'ютери миттєво. Яким маршрутом йому йти, щоб мінімізувати сумарний простій комп'ютерів? Перелічіть точки, які він відвідує, по порядку. Ваш результат становитиме ⌊N40⌋\left\lfloor\frac{N}{40}\right\rfloor, де N=1000+⌊ оптимальний простій ⌋−⌊ ваш простій ⌋,N=1000+\lfloor\text{ оптимальний простій }\rfloor-\lfloor\text{ ваш простій }\rfloor, або 00, залежно від того, що більше. Під сумарним простоєм ми розуміємо суму ∑P∈StP\sum_{P \in S} t_{P} де tPt_{P} — момент часу, коли ремонтник досягає PP.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-034

Дотичні до вписаного кола і перетини кіл

Нехай ω\omega позначає вписане коло трикутника ABCABC. Відрізки BCBC, CACA і ABAB дотикаються до кола ω\omega у точках DD, EE і FF відповідно. Точка PP лежить на відрізку EFEF так, що відрізок PDPD перпендикулярний до сторони BCBC. Пряма APAP перетинає BCBC у точці QQ. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 проходять через BB і CC відповідно та дотикаються до прямої AQAQ у точці QQ; перше з них перетинає ABAB вдруге в точці XX, а друге перетинає ACAC вдруге в точці YY. Пряма XYXY перетинає BCBC у точці ZZ. Відомо, що AB=15AB=15, BC=14BC=14 і CA=13CA=13. Знайдіть ⌊XZ⋅YZ⌋\lfloor XZ \cdot YZ\rfloor.
10–11 класиТеорема Менелая
Відбіркові тести на IMOTST-2007-002

Підмножини з умовою степеня двійки на суму

Нехай nn — натуральне число, більше за одиницю, а B={1,2,…,2n}B=\{1,2, \ldots, 2^{n}\}. Підмножина AA множини BB називається кумедною, якщо з кожних двох різних елементів x,yx, y множини BB, сума яких є степенем двійки, вона містить рівно один. Скільки кумедних підмножин має BB?
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2007-001

Вписаний чотирикутник у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якої AB∥CDAB \parallel CD та AB>CDAB > CD. Точки KK і LL лежать на сторонах ABAB та CDCD відповідно, причому AKKB=DLLC\dfrac{AK}{KB} = \dfrac{DL}{LC}. Точки PP і QQ лежать на відрізку KLKL так, що ∠APB=∠BCDі∠CQD=∠ABC\angle APB = \angle BCD \quad \text{і} \quad \angle CQD = \angle ABC Доведіть, що точки PP, QQ, BB і CC лежать на одному колі.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-005

Показникове рівняння з сумою плюс один

Знайдіть усі четвірки натуральних чисел (m,n,p,qm, n, p, q) з властивістю pmqn=(p+q)2+1p^{m} q^{n} = (p+q)^{2} + 1
10–11 класиСтрибки Вієта2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-004

Найменші натуральні значення виразу 7m²−11n²

Знайдіть два найменші натуральні числа, які можна записати у вигляді 7m2−11n27 m^{2}-11 n^{2} з натуральними числами mm і nn.
10–11 класиМіркування за модулем
Відбіркові тести на IMOTST-2007-003

Рівні мультимножини різниць послідовностей

Нехай nn — натуральне число, а a1≤a2≤⋯≤ana_1 \le a_2 \le \dots \le a_n і b1≤b2≤⋯≤bnb_1 \le b_2 \le \dots \le b_n — дві неспадні послідовності дійсних чисел такі, що a1+⋯+ai≤b1+⋯+biдля кожного i=1,…,n−1a_1 + \dots + a_i \le b_1 + \dots + b_i \quad \text{для кожного } i = 1, \dots, n-1 і a1+⋯+an=b1+⋯+bn.a_1 + \dots + a_n = b_1 + \dots + b_n. Припустімо, що для будь-якого дійсного числа mm кількість пар (i,j)(i, j), для яких ai−aj=ma_i - a_j = m, дорівнює кількості пар (k,ℓ)(k, \ell), для яких bk−bℓ=mb_k - b_\ell = m. Доведіть, що ai=bia_i = b_i при i=1,…,ni = 1, \dots, n. Зауваження: Важливо правильно розуміти умову, що для будь-якого дійсного числа mm кількість пар (i,j)(i, j), для яких ai−aj=ma_i - a_j = m, дорівнює кількості пар (k,ℓ)(k, \ell), для яких bk−bℓ=mb_k - b_\ell = m. Це означає, що маємо дві однакові мультимножини (мультимножина — це множина, яка допускає повторення елементів): {ai−aj∣1≤i<j≤n}\{a_i - a_j \mid 1 \le i < j \le n\} і {bk−bℓ∣1≤k<ℓ≤n}\{b_k - b_\ell \mid 1 \le k < \ell \le n\}.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові тести на IMOTST-2007-009

Точка з рівними різницями кутів

Нехай точка PP лежить усередині трикутника ABCA B C і задовольняє умову ∡BPC−∡BAC=∡CPA−∡CBA=∡APB−∡ACB.\varangle B P C-\varangle B A C=\varangle C P A-\varangle C B A=\varangle A P B-\varangle A C B . Доведіть, що тоді виконується: PA‾⋅BC‾=PB‾⋅AC‾=PC‾⋅AB‾\overline{P A} \cdot \overline{B C}=\overline{P B} \cdot \overline{A C}=\overline{P C} \cdot \overline{A B} Спочатку зауважимо, що ∡BPC=60∘+α,∡CPA=60∘+β,∡APB=60∘+γ\varangle B P C=60^{\circ}+\alpha, \varangle C P A=60^{\circ}+\beta, \varangle A P B=60^{\circ}+\gamma. З міркувань симетрії достатньо показати одну з двох стверджуваних рівностей. (Вказівка: для кута ∡XYZ\varangle X Y Z, де 0∘<∡XYZ<180∘0^{\circ}<\varangle X Y Z<180^{\circ}, у математично додатному напрямі покладемо ∡ZYX:=180∘−∡XYZ\varangle Z Y X:= 180^{\circ}-\varangle X Y Z. За цією домовленістю, наприклад, для чотирьох попарно різних точок W,X,Y,ZW, X, Y, Z на колі завжди ∡XYZ=∡XWZ\varangle X Y Z=\varangle X W Z).
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2007-022

Раціональність при виборі парних десяткових знаків

Для кожного дійсного числа xx, де 0<x<10 < x < 1, нехай y∈(0,1)y \in (0, 1) — те число, у якого nn-та цифра після коми є (2n)(2n)-ю цифрою після коми числа xx. Доведіть: якщо xx — раціональне, то yy також раціональне.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбіркові тести на IMOTST-2007-008

Суми підмножин, що не діляться на модуль

Маємо 2007 карток. На кожній картці написано натуральне число, менше за 2008. Якщо взяти кілька (принаймні одну) з цих карток, то сума чисел на них не ділиться на 2008. Доведіть, що на кожній картці написано те саме число.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2007-007

Число Рамсея для неперетинних пар

Двох людей назвемо знайомою парою, якщо вони знають одне одного, а якщо вони не знають одне одного — назвемо їх незнайомою парою (знайомство чи незнайомство завжди взаємне). Нехай m,nm, n — натуральні числа. Знайдіть найменше натуральне число kk з такою властивістю: у будь-якій групі з kk людей завжди знайдуться 2m2 m людей, які утворюють mm попарно неперетинних знайомих пар, або знайдуться 2n2 n людей, які утворюють nn попарно неперетинних незнайомих пар.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2007-006

Раціональні косинуси послідовних кратних

Нехай θ\theta — кут з інтервалу (0,π/2)(0, \pi/2). Відомо, що cos⁡θ\cos \theta — ірраціональне число, а cos⁡kθ\cos k\theta і cos⁡[(k+1)θ]\cos[(k+1)\theta] — раціональні числа для деякого натурального числа kk. Доведіть, що θ=π/6\theta = \pi/6.
10–11 класиПеретворення тригонометричних вир…2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.