Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-093

Паралелограм, утворений центрами трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, не рівнобедрений з вершиною AA. Нехай MM — середина відрізка [BC][BC], HH — ортоцентр трикутника ABCABC, O1O_{1} — середина відрізка [AH][AH], а O2O_{2} — центр описаного кола трикутника CBHCBH. Доведіть, що чотирикутник O1AMO2O_{1}AMO_{2} — паралелограм.
8–10 класиТочка перетину висот
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-011

Сума модулів попарних сум

Нехай x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} — довільні дійсні числа. Доведіть, що ∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣⩾n∑i=1n∣xi∣.\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left|x_{i}+x_{j}\right| \geqslant n \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right| .
8–10 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-008

Прості різниці у послідовності через НСД

Нехай k≥3k \geq 3 — ціле число. Визначимо послідовність (an)n≥k\left(a_{n}\right)_{n \geq k} формулами ak=2ka_{k}=2k і an={an−1+1 якщо НСД(an−1,n)=12n інакше. a_{n}= \begin{cases}a_{n-1}+1 & \text{ якщо } \text{НСД}\left(a_{n-1}, n\right)=1 \\ 2n & \text{ інакше. }\end{cases} Доведіть, що послідовність (an+1−an)n≥k\left(a_{n+1}-a_{n}\right)_{n \geq k} має нескінченно багато членів, які є простими числами.
8–10 класиАлгоритм Евкліда
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-094

Спільна точка дотичної, висоти та перпендикуляра

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, ω\omega — його описане коло, а OO — центр кола ω\omega. Перпендикуляр, проведений з AA до прямої (BC)(BC), перетинає (BC)(BC) в точці DD, а коло ω\omega — в точці EE. Нехай FF — точка на відрізку [AE][AE] така, що 2⋅FD=AE2 \cdot FD = AE. Нехай ℓ\ell — перпендикуляр до прямої (OF)(OF), що проходить через FF. Доведіть, що пряма ℓ\ell, пряма (BC)(BC) і дотична до кола ω\omega в точці EE перетинаються в одній точці.
8–10 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-069

Перестановка з подільністю часткових сум

Знайдіть усі натуральні числа n⩾1n \geqslant 1 такі, що існує перестановка (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) чисел (1,2,…,n)(1,2, \ldots, n), яка задовольняє таку умову: k∣a1+a2+…+akk \mid a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k} для всіх k∈{1,2,…,n}k \in\{1,2, \ldots, n\}.
8–10 класиДільники та кратні (базові власти…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-040

Колінеарність центра вписаного кола трикутника

Нехай ADEADE — рівнобедрений трикутник з вершиною AA. Нехай ω\omega — коло, дотичне до прямих (AD)(AD) і (AE)(AE) в точках DD і EE. Нехай BB і CC — дві точки за DD і EE на прямих (AD)(AD) і (AE)(AE). Припустимо, що BC>BD+CEBC > BD + CE. Нарешті, нехай FF і GG — дві точки на відрізку [BC][BC] такі, що BD=BFBD = BF і CG=CECG = CE, прямі (DG)(DG) і (FE)(FE) перетинаються в точці KK, а дотична до кола ω\omega, паралельна прямій (BC)(BC) і розташована між точкою AA та прямою (BC)(BC), дотикається до кола ω\omega в точці LL. Доведіть, що центр вписаного кола трикутника ABCABC лежить на прямій (KL)(KL).
10–11 класиПроєктивна геометрія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-096

Дотична до вписаного кола в рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник. Нехай XX — точка прямої (BC)(BC), відмінна від BB і CC. Нехай YY і ZZ — точки на прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) такі, що обидві прямі (BZ)(BZ) і (CY)(CY) паралельні прямій (AX)(AX). Пряма (XY)(XY) перетинає пряму (AC)(AC) у точці MM, а пряма (XZ)(XZ) перетинає пряму (AB)(AB) у точці NN. Доведіть, що пряма (MN)(MN) дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC.
8–10 класиЗовнівписане коло
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-015

Взаємно просте n, що уникає точних степенів

Нехай tt — натуральне число, відмінне від нуля. Доведіть, що існує ціле число n>1n>1, взаємно просте з tt, таке, що для будь-якого цілого k≥1k \geq 1 число nk+tn^{k}+t не є степенем (тобто не має вигляду mrm^{r} де m≥1m \geq 1 та r≥2r \geq 2).
8–10 класиОсновна теорема арифметики
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-097

Дотичні та паралелі в описаному колі трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, Γ\Gamma — його описане коло, а ω\omega — коло з тим самим центром, що й Γ\Gamma, дотичне до прямої (BC)(BC). Дотичні до кола ω\omega, що проходять через AA, перетинають (BC)(BC) в точці XX з боку BB та в точці YY з боку CC. Дотична до кола Γ\Gamma в точці BB і пряма, паралельна до прямої (AC)(AC), що проходить через XX, перетинаються в точці SS, а дотична до кола Γ\Gamma в точці CC і пряма, паралельна до прямої (AB)(AB), що проходить через YY, перетинаються в точці TT. Доведіть, що пряма (ST)(ST) дотикається до кола Γ\Gamma.
8–10 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-017

Функціональне рівняння на додатних дійсних числах

Нехай R+∗\mathbb{R}_{+}^{*} — множина додатних дійсних чисел. Знайдіть усі функції f:R+∗⟶R+∗f: \mathbb{R}_{+}^{*} \longrightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} такі, що для всіх x,y>0x, y>0 виконується f(f(x)yf(x)+1)=xxf(y)+1f\left(\frac{f(x)}{y f(x)+1}\right)=\frac{x}{x f(y)+1}
8–10 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-041

Паралельні прямі на трьох збіжних прямих

Нехай d1d_{1}, d2d_{2}, d3d_{3} — прямі, що перетинаються в одній точці, а A,A′A, A^{\prime} — точки на прямій d1d_{1}, B,B′B, B^{\prime} — точки на прямій d2d_{2}, C,C′C, C^{\prime} — точки на прямій d3d_{3} такі, що прямі (AB)(AB) і (A′B′)(A^{\prime}B^{\prime}) паралельні, а прямі (BC)(BC) і (B′C′)(B^{\prime}C^{\prime}) паралельні. Доведіть, що прямі (AC)(AC) і (A′C′)(A^{\prime}C^{\prime}) паралельні.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-042

Трикутник з рівними медіанними кутами

Нехай ABCABC — трикутник, LL, MM і NN — середини сторін [BC][BC], [CA][CA] і [AB][AB] відповідно. Припустимо, що ANC^=ALB^\widehat{ANC} = \widehat{ALB}. Доведіть, що CAL^=ABM^\widehat{CAL} = \widehat{ABM}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-053

Тупий рівнобедрений трикутник і точки D, E, F

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з тупим кутом при вершині AA. Нехай Γ\Gamma — коло з центром BB, яке проходить через AA, а Ω\Omega — коло з центром CC, яке проходить через AA. Нехай DD — точка перетину кола Γ\Gamma з відрізком [BC][BC], EE — друга точка перетину прямої (AD)(AD) з колом Ω\Omega, а FF — точка перетину прямої (BC)(BC) з колом Ω\Omega, яка не лежить на відрізку [BC][BC]. Доведіть, що трикутник DFEDFE рівнобедрений з вершиною FF.
10–11 класиСиметрія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-054

Степені двійки та квадрати раціональних чисел

Знайти всі цілі числа z∈Zz \in \mathbb{Z} такі, що 2z+2=r22^{z}+2=r^{2} де r∈Qr \in \mathbb{Q} — раціональне число. Раціональне число — це число, яке записується у вигляді ab\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}, де a,b\mathrm{a}, \mathrm{b} — цілі числа і b≠0\mathrm{b} \neq 0.
10–11 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-043

Факторіали в сумі дають степінь двійки

Знайдіть усі трійки натуральних чисел (a,b,n)(a, b, n), що задовольняють: a!+b!=2na! + b! = 2^{n}
10–11 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-044

Чотири центри описаних кіл та рівність кутів

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Нехай PP і QQ — дві точки на відрізку [BC][BC]. Позначимо відповідно через O1O_1, O2O_2, O3O_3 і O4O_4 центри описаних кіл трикутників ABPABP, ABQABQ, ACPACP і ACQACQ. Доведіть, що точки O1O_1, O2O_2, O3O_3 і O4O_4 лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли BAP^=QAC^\widehat{BAP} = \widehat{QAC}.
10–11 класиРадикальна вісь
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-055

Паралельні прямі через перетини кіл

Нехай ABCABC — трикутник, Γ\Gamma — його описане коло, а Ω\Omega — інше коло, що проходить через точки AA і BB. Пряма (AC)(AC) перетинає коло Ω\Omega в точці DD, а дотична до кола Γ\Gamma в точці BB перетинає Ω\Omega в точці EE. Доведіть, що прямі (BC)(BC) і (DE)(DE) паралельні.
10–11 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-072

Точки на одному колі із симетрією відносно дотичної

Нехай ABCABC — трикутник. Нехай tt — дотична в AA до описаного кола трикутника ABCABC. Позначимо через A′A' точку прямої tt таку, що пряма (BC)(BC) перетинає відрізок [AA′][AA'] у його середині. Позначимо через C′C' точку, симетричну точці CC відносно прямої tt. Доведіть, що точки BB, AA, C′C' і A′A' лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-056

Колінеарність, породжена перетинами вписаного чотирикутника

Нехай AA, BB, CC і DD — чотири точки на колі в такому порядку. Нехай UU — точка перетину прямих (AB)(AB) і (CD)(CD), а VV — точка перетину прямих (BC)(BC) і (DA)(DA). Нехай KK — точка перетину бісектриси, проведеної з UU в трикутнику AUCAUC, і бісектриси, проведеної з VV в трикутнику AVCAVC. Нехай LL — точка перетину серединного перпендикуляра до відрізка [KU][KU] і серединного перпендикуляра до відрізка [KV][KV]. Доведіть, що точки UU, VV і LL лежать на одній прямій.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-057

НСД трійки цілих чисел і НСД їх попарних сум

Знайдіть усі трійки цілих чисел (x,y,z)(x, y, z), які задовольняють таку властивість: НСД(x,y,z)<НСД(x+y,y+z,z+x)\text{НСД}(x, y, z)<\text{НСД}(x+y, y+z, z+x)
10–11 класиНСД та НСК
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-115

Кубічні значення симетричних многочленів

Чи існують цілі числа aa і bb, для яких a5b+3a^{5} b+3 і ab5+3a b^{5}+3 обидва є точними кубами? Точний куб — це ціле число nn, для якого існує m∈Zm \in \mathbb{Z} таке, що n=m3n = m^{3}.
10–11 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-058

Центр квадрата на бісектрисі кута

Нехай BCDEBCDE — квадрат, а OO — його центр. Нехай AA — точка поза квадратом BCDEBCDE така, що трикутник ABCABC прямокутний з прямим кутом при вершині AA. Доведіть, що точка OO належить бісектрисі кута BAC^\widehat{BAC}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-059

Основа висоти з інцентра на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, не рівнобедрений при вершині AA, а II — центр його вписаного кола. Позначимо через DD точку прямої (BC)(BC) таку, що DIA^=90∘\widehat{DIA} = 90^{\circ}. Позначимо через EE основу висоти, проведеної з II у трикутнику ADIADI. Доведіть, що точка EE лежить на описаному колі трикутника ABCABC.
10–11 класиРадикальна вісь
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-116

Нерухома точка на серединному перпендикулярі

Нехай Ω\Omega і Γ\Gamma — два кола, що перетинаються. Позначимо через AA одну з їхніх точок перетину. Нехай dd — довільна пряма, що проходить через точку AA. Позначимо через PP і QQ точки перетину прямої dd з колами Ω\Omega і Γ\Gamma відповідно, відмінні від AA. Доведіть, що існує точка, незалежна від вибору прямої dd, яка завжди належить серединному перпендикуляру до відрізка [PQ][PQ].
10–11 класиПаралельний перенос
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-114

Дотичні до описаного кола та кути в трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, а Ω\Omega — його описане коло. Позначимо через XX точку перетину дотичних до кола Ω\Omega в точках BB і CC. Позначимо через φ\varphi кут BAX^\widehat{B A X}, а через μ\mu — кут XAC^\widehat{X A C}. Позначимо через YY точку прямої (AX)(A X) таку, що ACY^=φ\widehat{A C Y}=\varphi. Доведіть, що ABY^=μ\widehat{A B Y}=\mu.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.