Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-010

Максимальна і мінімальна сума в квадратній таблиці

У кожній клітинці квадратної таблиці 4×44 \times 4 записано цифру 11 або цифру 22. Відомо, що сума 99 цифр, які містяться в кожному з 44 квадратів 3×33 \times 3, що містяться в таблиці, кратна 44, а сума всіх 1616 цифр не кратна 44. Знайдіть найбільше та найменше можливе значення суми всіх 1616 цифр.
10–11 класиМіркування за модулем
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-011

Розпізнавання брехунів у черзі

Нехай nn — ціле число, не менше за 2. Є nn людей, які стоять один за одним, кожна з яких є або брехуном (і завжди бреше), або лицарем (і завжди каже правду). Кожна людина, крім першої, вказує на одну з людей попереду себе і заявляє «Ця людина — брехун» або «Ця людина — лицар». Відомо, що брехунів строго більше, ніж лицарів. Довести, що, спостерігаючи за заявами, можна для кожної з людей визначити, чи є вона брехуном, чи лицарем.
10–11 класиМетод математичної індукції
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-012

Зовнівписане коло і прямий кут

Нехай Γ\Gamma — зовнівписане коло трикутника ABCABC, протилежне вершині AA, тобто коло, дотичне до сторони BCBC та до продовжень сторін ABAB і ACAC з боку BB і CC. Нехай DD — центр кола Γ\Gamma, а EE та FF — відповідно точки дотику кола Γ\Gamma з продовженнями сторін ABAB та ACAC. Нехай JJ — перетин відрізків BDBD та EFEF. Доведіть, що кут ∠CJB\angle CJB прямий.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-013

Вписаний чотирикутник, побудований за центроїдом

Нехай ABCABC — трикутник з центроїдом GG. Нехай D≠AD \neq A — точка на прямій AGAG така, що AG=GDAG = GD, і нехай E≠BE \neq B — точка на прямій GBGB така, що GB=GEGB = GE. Нехай, нарешті, MM — середина сторони ABAB. Доведіть, що чотирикутник BMCDBMC D є вписаним у коло тоді й лише тоді, коли BA=BEBA = BE.
10–11 класиТочка перетину медіан
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-014

Попарно спільні, а трійками взаємно прості числа

Визначити, для яких n≥3n \geq 3 можна знайти nn натуральних чисел таких, що будь-які два мають спільний дільник, відмінний від 1, але будь-які три є взаємно простими. Якщо додати умову, що всі ці числа менші за 5000, то яке найбільше можливе значення nn?
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-015

Степінь двійки у виразі з показником

Знайдіть усі пари натуральних чисел (a,n)\left(a, n\right), де a≥n≥2a \geq n \geq 2, для яких число (a+1)n+a−1(a+1)^{n}+a-1 є степенем числа 22.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-016

Конгруентні розбиття трикутників у трапеції

У трапеції ABCDABCD сторони ABAB і CDCD паралельні, а кути ABC^\widehat{ABC} і BAD^\widehat{BAD} — гострі. Доведіть, що можна поділити трикутник ABCABC на 4 трикутники X1,…,X4X_{1}, \ldots, X_{4}, що попарно не перетинаються, а трикутник ABDABD — на 4 трикутники Y1,…,Y4Y_{1}, \ldots, Y_{4}, що попарно не перетинаються, так, щоб трикутники XiX_{i} і YiY_{i} були конгруентними для кожного ii.
10–11 класиСиметрія
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-017

Рекурентне співвідношення з парністю та параметром

Нехай hh — натуральне число і нехай ana_{n} — послідовність, визначена рекурентно у такий спосіб: a0=1an+1={an2 якщо an парне an+h якщо an непарне.\begin{aligned} a_{0} & =1 \\ a_{n+1} & = \begin{cases}\frac{a_{n}}{2} & \text{ якщо } a_{n} \text{ парне } \\ a_{n}+h & \text{ якщо } a_{n} \text{ непарне.}\end{cases} \end{aligned} (Наприклад, якщо h=27h=27, маємо: a1=28,a2=14,a3=7,a4=34,a5=17,a6=44,…a_{1}=28, a_{2}=14, a_{3}=7, a_{4}=34, a_{5}=17, a_{6}=44, \ldots) Для яких значень hh існує n>0n>0, для якого an=1a_{n}=1?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-018

Раціональна послідовність з рекурсією за парністю чисельника

Нехай x0,x1,x2,…x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots — послідовність раціональних чисел, задана рекурентно таким чином: x0x_{0} — довільне раціональне число, а для n≥0n \geq 0 xn+1={∣xn2−1∣ якщо чисельник xn парний ,∣1xn−1∣ якщо чисельник xn непарний ,x_{n+1}= \begin{cases}\left|\frac{x_{n}}{2}-1\right| & \text { якщо чисельник } x_{n} \text { парний }, \\ \left|\frac{1}{x_{n}}-1\right| & \text { якщо чисельник } x_{n} \text { непарний },\end{cases} де під чисельником раціонального числа розуміється чисельник дробу, зведеного до найменшого вигляду. Доведіть, що для кожного значення x0x_{0}: (a) послідовність містить лише скінченну кількість попарно різних членів; (b) послідовність містить рівно одне з чисел 0 і 2/32 / 3 (тобто: або існує індекс kk такий, що xk=0x_{k}=0, або існує індекс mm такий, що xm=2/3x_{m}=2 / 3, але не обидва разом).
10–11 класиНапівінваріанти
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-019

Перетин перпендикулярів і чевіани в рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник, у якому AB=ACAB = AC і BAC^<60∘\widehat{BAC} < 60^\circ, нехай DD — точка на стороні ACAC така, що DBC^=BAC^\widehat{DBC} = \widehat{BAC}, нехай EE — перетин серединного перпендикуляра до відрізка BDBD з прямою, паралельною прямій BCBC, що проходить через AA, і нехай FF — точка на прямій ACAC, з боку AA відносно CC, така, що довжина відрізка FAFA вдвічі більша за довжину відрізка ACAC. Нарешті, нехай rr — перпендикуляр до прямої ABAB, проведений через FF, ss — перпендикуляр до прямої ACAC, проведений через EE, а tt — пряма BDBD. Доведіть, що: (a) прямі EBEB і ACAC паралельні; (b) прямі rr, ss і tt перетинаються в одній точці.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-020

Вгадування клітинки зміною кольору фішки

Два маги показують такий номер. Спочатку перший маг замикає другого мага в кабіні, де той не може нічого ні бачити, ні чути. Для початку гри перший маг пропонує Даніеле, глядачеві з публіки, покласти на власний розсуд на кожну клітинку дошки n×nn \times n білу або чорну фішку. Після цього він просить Даніеле вказати йому клітинку CC на власний вибір. У цей момент перший маг вибирає клітинку DD (не обов'язково відмінну від CC) і замінює фішку, що стоїть на DD, на фішку іншого кольору (білу на чорну або чорну на білу). Потім відкривають кабіну, в якій був замкнений другий маг. Спостерігаючи дошку, другий маг примудряється вгадати, яка клітинка CC. Для яких nn два маги можуть здійснити стратегію так, щоб їхній номер вдавався завжди?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-021

Пари Ремзі для розфарбувань цілих чисел

Визначити всі пари {a,b}\{a, b\} додатних цілих чисел з такою властивістю: як би не розфарбовувати додатні цілі числа двома кольорами AA і BB, завжди існують два додатних цілих числа кольору AA з різницею aa або два додатних цілих числа кольору BB з різницею bb.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-022

Пошук відмінного числа в цілочисловій послідовності

Таємнича машина містить секретну комбінацію, що складається з 2016 цілих чисел x1,…,x2016x_{1}, \ldots, x_{2016}. Відомо, що всі числа комбінації рівні між собою, крім одного. Машину можна опитувати, подаючи їй послідовність із 2016 цілих чисел y1,…,y2016y_{1}, \ldots, y_{2016}. Машина відповідає, повідомляючи значення суми x1y1+⋯+x2016y2016.x_{1} y_{1}+\cdots+x_{2016} y_{2016} \text{.} Після відповіді на перше запитання машина приймає друге запитання, потім третє, і так далі. Скільки запитань необхідно, щоб визначити комбінацію: (a) знаючи, що відмінне число дорівнює нулю? (b) не знаючи, яким є відмінне число?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-023

Поділ дуги кола навпіл через центри двох кіл

Нехай на площині дано два кола γ1\gamma_{1} і γ2\gamma_{2} з центрами AA і BB відповідно, які перетинаються у двох точках CC і DD. Припустімо, що коло, яке проходить через AA, BB і CC, перетинає γ1\gamma_{1} і γ2\gamma_{2} ще раз у точках EE та FF відповідно, і що дуга EFE F, яка не містить CC, лежить поза двома кругами, обмеженими колами γ1\gamma_{1} і γ2\gamma_{2}. Доведіть, що дуга EFE F, яка не містить CC, ділиться навпіл прямою CDC D.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-024

Найменша сума дробів при фіксованому добутку

Для кожного цілого n≥2n \geq 2 визначити: a. найбільше дійсне число cnc_{n} таке, що 11+a1+11+a2+…+11+an≥cn\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+\ldots+\frac{1}{1+a_{n}} \geq c_{n} для будь-якого вибору додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} таких, що a1⋅a2⋅…⋅an=1a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n}=1; b. найбільше дійсне число dnd_{n} таке, що 11+2a1+11+2a2+…+11+2an≥dn\frac{1}{1+2 a_{1}}+\frac{1}{1+2 a_{2}}+\ldots+\frac{1}{1+2 a_{n}} \geq d_{n} для будь-якого вибору додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} таких, що a1⋅a2⋅…⋅an=1a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n}=1.
10–11 класиЧислові нерівності
Інші змаганняMISC-0000-086

Найменше додатне ціле число ланцюжком операцій

Починаючи з числа 265863265863 і використавши по одному разу кожну з операцій ++, −-, ×\times, ::, а також по одному разу числа 5151, 221221, 68176817, 1325913259, можна отримати різні числа, наприклад 5491154911: 265863→:2211203→×5161353→−1325948094→+681754911265863 \xrightarrow{:221} 1203 \xrightarrow{\times 51} 61353 \xrightarrow{-13259} 48094 \xrightarrow{+6817} 54911 Знайдіть ланцюжок, який дає найменше додатне ціле число.
8–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Інші змаганняMISC-0000-092

Рух черв'яка зі змінними кроками

a) Черв'як завжди рухається по прямій лінії. Щодня він просувається на 5 м5\ \text{м} вперед і відступає на 3 м3\ \text{м} назад. Наприкінці 1515 днів, на якій відстані від початкової точки буде черв'як? b) Наприкінці цих 1515 днів, скільки метрів пройде цей черв'як загалом? c) Інший черв'як також рухається по прямій лінії, але інакше, ніж перший. У перший день він проходить 1 м1\ \text{м} вперед і 1/2 м1/2\ \text{м} назад. На другий день він проходить 1/2 м1/2\ \text{м} вперед і 1/3 м1/3\ \text{м} назад. На третій день він проходить 1/3 м1/3\ \text{м} вперед і 1/4 м1/4\ \text{м} назад, і так далі. На якій відстані від початкової точки він буде після 10001000 днів? d) Чи зможе цей другий черв'як колись опинитися на відстані 2 м2\ \text{м} від початкової точки?
10–11 класиСуми послідовностей
Інші змаганняMISC-0000-175

Обмін капелюхів і трофеїв на дошці за мінімум ходів

На дошці нижче дозволено переміщувати будь-який предмет зі своєї клітинки в будь-яку порожню сусідню клітинку зверху, знизу, збоку або по діагоналі. а) Покажіть, як поміняти місцями всі капелюхи з усіма трофеями лише за п’ять ходів. Обґрунтуйте, чому неможливо поміняти їх місцями менш ніж за п’ять ходів. б) На іншій дошці, показаній нижче, яка мінімальна кількість ходів, щоб поміняти капелюхи місцями з трофеями? в) А якби була дошка, подібна до попередніх, але з 1000 капелюхами і 1000 трофеями, яка була б мінімальна кількість ходів, щоб поміняти їх місцями?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Інші змаганняMISC-0000-198

Розсадка за столом з підказками про штати

Амелія, Бруно, Констансія і Деніз — четверо друзів, які мешкають у різних штатах і сидять за квадратним столом, кожен займає один бік столу. - Праворуч від Амелії сидить той, хто мешкає в Амазонасі; - Навпроти Констансії сидить особа, яка мешкає в Сан-Паулу; - Бруно і Деніз сидять один біля одного; - Одна жінка сидить ліворуч від особи, яка мешкає в Сеарі. - Один із чотирьох мешкає в Баїї. Хто?
6–11 класиРозбиття на випадки
Інші змаганняMISC-0000-176

Перекроєння хреста у квадрат

Діогу вирізав із картону хрест, як показано нижче. У цьому хресті всі сторони мають довжину 1 см1~\text{см}, а всі кути — прямі. Фернанда запропонувала Діогу зробити два прямолінійні розрізи цього хреста так, щоб утворилися чотири частини, які можна скласти заново, щоб утворити квадрат. a) Якою буде площа отриманого квадрата? b) Якою буде сторона отриманого квадрата? c) Покажіть, як Діогу може зробити ці два прямолінійні розрізи, щоб з отриманих розрізанням чотирьох частин можна було скласти квадрат!
10–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Інші змаганняMISC-0000-177

Виграшна стратегія в модульній грі

Артур і Діна збираються розіграти божевільну гру в парне чи непарне. Діна обирає «парне», а Артур обирає «непарне». Далі кожен записує натуральне число на аркуші паперу так, щоб інший не бачив. Еміліо збирає обидва аркуші, перемножує числа й оголошує Діну переможницею, якщо результат парний, а Артура переможцем, якщо непарний. a) Що має зробити Діна, щоб завжди вигравати гру? Еміліо пропонує зміну в змаганні. Спочатку він просить Артура і Діну записувати лише числа, які не діляться на три. Він збирає аркуші, перемножує обидва числа, ділить результат на три й оголошує Діну переможницею, якщо остача від ділення дорівнює 1, а Артура переможцем, якщо ця остача дорівнює 2. b) Доведіть, що Діна більше не може мати виграшної стратегії. c) Доведіть, що Артур і Діна мають однакову ймовірність виграти.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Інші змаганняMISC-0000-178

Гра в забирання клітинок на дошці

Діогу і Гелен грають у гру «Тира», правила якої такі. Дано клітинну дошку з клітинок 1×11 \times 1; кожен гравець у свій хід має право вибрати одну клітинку, а потім прибрати з дошки всі клітинки під нею, всі клітинки ліворуч від неї та всі інші клітинки, що містяться під нею й ліворуч від неї. Наприклад, для дошки нижче, гравець, чий хід, може вибрати позначену сірим клітинку нижче, залишивши своєму суперникові показані клітинки. Програє той, хто забирає останню клітинку. a) На дошці нижче гру починає Гелен. Покажіть стратегію, за якою вона виграє партію незалежно від стратегії Діогу. b) На дошці нижче гру починає Гелен. Покажіть стратегію, за якою вона виграє партію незалежно від стратегії Діогу.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Інші змаганняMISC-0000-179

Мінімізація суми площ квадратів

Августо має дріт завдовжки 10 м10~\text{м}. Він розрізає дріт в одному місці й отримує таким чином два дроти: один завдовжки xx, а інший завдовжки 10−x10-x, як показано на малюнку нижче: Августо використовує обидва шматки дроту, щоб зробити два квадрати. a) Яка довжина сторони кожного з квадратів? Яка площа кожного з них? b) Якими мають бути довжини кожного з двох шматків дроту, щоб сума площ отриманих квадратів була найменшою? c) Припустімо, що Августо розрізає дріт на десять шматків і використовує кожен з них, щоб зробити квадрат. Яким має бути розмір кожного зі шматків, щоб сума площ отриманих квадратів була найменшою?
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Інші змаганняMISC-0000-180

Операції калькулятора з піднесенням до квадрата і відніманням

a) Калькулятор у країні Сінколандії має лише цифри від 0 до 9 і дві кнопки □\square і △\triangle. Кнопка □\square підносить до квадрата число, що є на екрані калькулятора. Кнопка △\triangle віднімає 5 від числа, що є на екрані калькулятора. Моніка набирає число 7, а потім натискає □\square, далі натискає кнопку △\triangle. Який результат покаже калькулятор? b) Покажіть, що якщо натуральне число xx дає остачу 4 при діленні на 5, то число x2x^{2} дає остачу 1 при діленні на 5. c) Чи можна на калькуляторі із Сінколандії набрати число 9, а потім отримати результат 7, натискаючи відповідним чином кнопки □\square або △\triangle?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Інші змаганняMISC-0000-181

Ймовірність не виграти до заданого дня в казино

Від сьогодні великий гравець Карло П'єтро вирішив щодня ходити до казино. Першого дня він зіграє в гру, ймовірність виграшу в якій дорівнює 12\frac{1}{2}. Другого, третього і четвертого днів він гратиме в інші ігри, ймовірності перемоги в яких дорівнюють відповідно 13,14,15\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5} і так далі в наступні дні. а) Яка ймовірність того, що він не виграє до третього дня включно? б) Яка ймовірність того, що він не виграє до п'ятого дня включно? в) Яка ймовірність того, що він не виграє до 20132013-го дня включно?
10–11 класиПравила суму та добутку

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.