Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-178

Система рівнянь з сумами відношень у додатних числах

Розв’яжіть у додатних числах систему рівнянь {x(yz+zy)=45,y(zx+xz)=40,z(xy+yx)=13.\begin{cases} x\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\right)=45, \\ y\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)=40, \\ z\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)=13. \end{cases}
10–11 класиЗаміни в однорідних виразах
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-179

Найбільша кількість одиничних відрізків без трикутника

Рівносторонній трикутник зі стороною, що дорівнює nn, поділено на рівносторонні трикутники зі стороною 11. Яку найбільшу кількість одиничних відрізків з кінцями у вершинах малих трикутників можна вибрати таким чином, щоб жодні три вибрані відрізки не утворювали трикутника?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-180

Трикутник з діаметрами і прямі через ортоцентри

Трикутник ABCABC вписано в коло ww, AA1AA_1, BB1BB_1, CC1CC_1 — його діаметри. Позначимо через H1H_1, H2H_2, H3H_3 ортоцентри трикутників BCA1BCA_1, CAB1CAB_1 і ABC1ABC_1 відповідно. Доведіть, що прямі AH1AH_1, BH2BH_2 і CH3CH_3 перетинаються в одній точці.
10–11 класиТочка перетину висот
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-181

Попарно різні числа з подільністю та простота

Про попарно різні натуральні числа aa, bb, cc відомо, що a∣b+c+bca \mid b+c+bc, b∣a+c+acb \mid a+c+ac, c∣a+b+abc \mid a+b+ab. Доведіть, що хоча б одне із цих чисел не є простим числом.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-182

Оцінка знизу різниці дробових частин n√a і n√b

Задано два різних натуральних числа aa і bb, кожне з яких не ділиться на квадрат жодного простого числа. Доведіть, що існує додатне число cc таке, що нерівність ∣{na}−{nb}∣>cn−3\left|\{n\sqrt{a}\}-\{n\sqrt{b}\}\right|>cn^{-3} виконується для кожного натурального nn.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-183

Рівняння f(x+xy+f(y)) = (f(x)+1/2)(f(y)+1/2)

Знайдіть усі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} такі, що для довільних дійсних xx і yy виконується рівність f(x+xy+f(y))=(f(x)+12)(f(y)+12).f(x+xy+f(y))=\left(f(x)+\frac{1}{2}\right)\left(f(y)+\frac{1}{2}\right).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-184

Бактерії, поділ надвоє і родоначальники династій

Учені відкрили новий вид бактерій. Кожна бактерія живе рівно одну хвилину, після чого або ділиться надвоє, або зникає. Будемо говорити, що бактерія α\alpha породила бактерію β\beta, якщо існує послідовність бактерій α=γ0, γ1, …, γn=β\alpha=\gamma_0,\ \gamma_1,\ \ldots,\ \gamma_n=\beta така, що γi\gamma_i є результатом поділу γi−1\gamma_{i-1} при n⩾i>0n \geqslant i > 0. Також назвемо бактерію родоначальником династії, якщо вона поділилася надвоє і кожна з отриманих бактерій породила щонайменше kk інших бактерій (kk — деяке фіксоване ціле невід’ємне число). Під час останнього експерименту бактерія α\alpha породила n−1n-1 бактерію. Доведіть, що серед nn бактерій, які довелося спостерігати вченим, є не більше ніж nk+2\dfrac{n}{k+2} родоначальників династій.
10–11 класиМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-185

Гарні числа та суми квадратів

Натуральне число nn назвемо гарним, якщо для кожного натурального aa, яке можна подати у вигляді a=n2∑i=1nxi2a=n^2\sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2, де xix_i — деякі натуральні числа, існують натуральні числа y1y_1, y2y_2, …\ldots, yny_n такі, що жодне з них не ділиться на nn і a=∑i=1nyi2a=\sum\limits_{i=1}^{n} y_i^2. Знайдіть усі гарні числа.
10–11 класиМіркування за модулем
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-186

Гострокутний трикутник з кутом 45° і висоти

Задано гострокутний нерівнобедрений трикутник ABCABC, у якому ∠A=45∘\angle A = 45^\circ. Висоти ADAD, BEBE, CFCF перетинаються в точці HH, пряма EFEF перетинає сторону BCBC у точці PP. Нехай точка II — середина BCBC і пряма IFIF перетинає PHPH у точці QQ. а) Доведіть, що ∠IQH=∠AIE\angle IQH = \angle AIE. б) Нехай KK — ортоцентр трикутника AEFAEF, ww — описане коло трикутника KPDKPD, JJ — центр ww. Пряма CKCK перетинає коло ww у точці GG (K≠G)(K \ne G), пряма IGIG перетинає ww у точці MM (M≠G)(M \ne G), пряма JCJC перетинає коло, побудоване на BCBC як на діаметрі, у точці NN (C≠N)(C \ne N). Доведіть, що точки GG, MM, NN, CC циклічні.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-187

Вписаний чотирикутник і прямі через ортоцентри трикутників

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло; HAH_A — ортоцентр трикутника BCDBCD; HBH_B, HCH_C, HDH_D — ортоцентри трикутників ACDACD, ABDABD, ABCABC відповідно. Доведіть, що прямі AHAAH_A, BHBBH_B, CHCCH_C і DHDDH_D перетинаються в одній точці.
10–11 класиВекторний метод
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-188

Гра з відніманням сум дільників числа 1345

На дошці записано число 13451345. Грають двоє. За хід дозволяється від числа, записаного на дошці, віднімати суму будь-яких різних його дільників та записувати нове число замість попереднього. Програє той гравець, після ходу якого на дошці буде записано число, менше від 11. Хто виграє за правильної гри обох?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-189

Сума остач від ділення і рівність сусідніх значень

Нехай r(n)r(n) позначає суму остач при діленні натурального числа nn на числа 1,2,…,n1, 2, \ldots, n. Доведіть, що існує нескінченна кількість чисел nn, для яких виконується рівність r(n−1)=r(n)r(n-1) = r(n).
10–11 класиСума дільників σ(n)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-190

Особи за столом з вазами, що бачать одна одну

За круглим столом, на якому стоять 2828 ваз, сидять 1212 осіб. Будемо вважати, що дві особи бачать одна одну тоді і тільки тоді, коли на одній прямій з ними не стоїть ваза. Доведіть, що при довільному розташуванні ваз принаймні дві особи бачать одна одну.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-191

Кількість розбиттів множини на три частини з умовами парності

Знайдіть кількість розбиттів множини A={1,2,…,n}A = \{1, 2, \ldots, n\} на три такі множини A1A_1, A2A_2, A3A_3 (деякі з них можуть бути порожніми), що виконуються умови: - якщо елементи довільної множини відсортувати в порядку зростання, то два довільних послідовних елементи цієї множини будуть мати різну парність; - якщо множини A1A_1, A2A_2 і A3A_3 не порожні, то рівно в одній із них найменше число парне.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-192

Нерівність для abc = 1 з мінімумом трьох виразів

Для додатних дійсних aa, bb, cc таких, що abc=1abc=1, доведіть нерівність 1+ab+bc+ca⩾min⁡{(a+b)2ab,(b+c)2bc,(c+a)2ca}.1+ab+bc+ca \geqslant \min\left\{\frac{(a+b)^2}{ab}, \frac{(b+c)^2}{bc}, \frac{(c+a)^2}{ca}\right\}.
10–11 класиЧислові нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-193

Найменше n із значенням 2013 у послідовності

Послідовність натуральних чисел задано умовами: a1=1a_1 = 1, an=an−1−na_n = a_{n-1} - n, якщо an−1>na_{n-1} > n, і an=an−1+na_n = a_{n-1} + n у протилежному випадку. Знайдіть найменше значення nn, для якого an=2013a_n = 2013.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-194

Пари a і b з умовою про дійсні корені

Знайдіть усі пари дійсних чисел (a, b)(a,\ b), які задовольняють умову: для довільних дійсних чисел cc і dd таких, що обидва рівняння x2+ax+1=cx^2+ax+1=c і x2+bx+1=dx^2+bx+1=d мають дійсні корені, рівняння x2+(a+b)x+1=cdx^2+(a+b)x+1=cd також має дійсні корені.
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-195

Найменша кількість внутрішніх діагоналей 2013-кутника

Діагональ — це відрізок, що сполучає дві вершини многокутника, які не лежать на одній його стороні. Назвемо діагональ многокутника, обмеженого ламаною без самоперетинів, внутрішньою, якщо всі її точки лежать строго всередині многокутника. Яку найменшу кількість внутрішніх діагоналей може мати 20132013-кутник?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-196

Три прямі двох гострокутних трикутників зі стороною BC

Розглянемо гострокутні трикутники ABCABC і BCDBCD такі, що точки AA і DD лежать по різні боки від прямої BCBC. Позначимо через EE основу перпендикуляра, опущеного з точки BB на пряму ACAC, а через FF — основу перпендикуляра, опущеного з точки CC на пряму DBDB. Нехай H1H_1 — ортоцентр трикутника ABCABC, H2H_2 — ортоцентр трикутника BCDBCD. Доведіть, що прямі ADAD, EFEF і H1H2H_1H_2 перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-197

Поєднуючий колір на дошці 2013×2013

Кожну клітинку дошки розміром 2013×20132013 \times 2013 пофарбовано в один з nn кольорів (кожен колір не обов’язково використано хоча б один раз). Назвемо колір поєднуючим, якщо лише одну клітинку пофарбовано в цей колір або для довільних клітинок одного кольору існує шлях шахової королеви, який пролягає лише по клітинках цього кольору. Знайдіть найбільше можливе значення nn таке, що у разі довільного розфарбування дошки в nn кольорів буде хоча б один поєднуючий колір. Примітка. Шахова королева може рухатися по горизонталі, по вертикалі або по діагоналі на довільну кількість клітинок.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-198

Спільна дотична до двох кіл всередині третього

Два кола γ1\gamma_1 і γ2\gamma_2 перетинаються в точках QQ та RR і дотикаються внутрішнім чином до кола γ\gamma в точках A1A_1 і A2A_2 відповідно. Нехай PP — довільна точка на колі γ\gamma. Відрізки PA1PA_1 і PA2PA_2 перетинають кола γ1\gamma_1 і γ2\gamma_2 в точках B1B_1 і B2B_2 відповідно. Доведіть, що пряма B1B2B_1B_2 — спільна дотична до кіл γ1\gamma_1 і γ2\gamma_2 тоді і тільки тоді, коли точка PP належить прямій QRQR.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-199

Число 2^n + 2013 і його прості дільники

Доведіть, що існує натуральне nn таке, що число 2n+20132^n + 2013 має не менше ніж 20132013 різних простих дільників.
10–11 класиТеорема Ейлера
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-200

Два несталих многочлени з рівними цілими частинами

Нехай PP і QQ — два многочлени, відмінні від сталої, з дійсними коефіцієнтами такі, що рівність [P(x)]=[Q(x)]\left[P(x)\right]=\left[Q(x)\right] виконується для кожного дійсного xx. Доведіть, що P=QP=Q.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-201

Функція з нульовою сумою на подібних n-кутниках

На площині задано nn-кутник A1A2…AnA_1A_2\ldots A_n. Про функцію ff, яка кожній точці площини ставить у відповідність деяке дійсне число, відомо, що для довільного nn-кутника B1B2…BnB_1B_2\ldots B_n цієї площини, який подібний до A1A2…AnA_1A_2\ldots A_n, виконується рівність ∑i=1nf(Bi)=0\sum\limits_{i=1}^{n} f(B_i)=0. Знайдіть усі можливі функції ff.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-202

Припустимі кола на точках і правильні дужки

На горизонтальній прямій позначено n⩾2n \geqslant 2 різних точок. Для деяких пар цих точок на відрізку, що їх сполучає, будується коло як на діаметрі. Множину побудованих кіл називають припустимою, якщо жодні два кола не перетинаються та не дотикаються внутрішнім чином. Порожню множину також вважають припустимою. Доведіть, що кількість припустимих множин дорівнює кількості правильних послідовностей з nn розкриваючих та nn закриваючих дужок. Таку послідовність дужок називають правильною, якщо для кожного натурального k∈{1,2,…,2n−1}k \in \{1, 2, \ldots, 2n-1\} серед перших kk дужок розкриваючих не менше, ніж закриваючих.
10–11 класиБієкції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.