Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-008

Функції з f(xy) = f(x) + f(y) і симетрією

Знайдіть усі функції f:N→N∪{0}f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\cup\{0\}, для яких справджуються такі три умови: 1) f(n)≠0f(n)\neq 0 принаймні для одного натурального nn; 2) f(xy)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)+f(y) для всіх пар натуральних чисел xx, yy; 3) існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що f(k)=f(n−k)f(k)=f(n-k) для всіх k<nk<n.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-009

Рівнобедрений трикутник з проєкціями на бічні сторони

Дано рівнобедрений трикутник ABCABC, у якому BC=CABC = CA. Усередині відрізка ABAB знайшлася така точка DD, що AD<DBAD < DB, і точки PP і QQ — проєкції точки DD на прямі BCBC і CACA відповідно потрапляють точно в середини відрізків BCBC і CACA відповідно. Нехай серединний перпендикуляр до прямої PQPQ перетинає відрізок CQCQ в точці EE та нехай описані кола трикутників ABCABC і CPQCPQ перетинаються вдруге в точці FF, що відмінна від точки CC. Виявилося, що точки PP, EE, FF лежать на одній прямій. Доведіть, що трикутник ABCABC — прямокутний.
10–11 класиСиметрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-010

Функціональне рівняння з f² та сумою квадратів

Знайдіть усі такі функції f ⁣:R→Rf\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що для довільних x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} справджується рівність f(f2(x)+xf(y)+y2)=y⋅f2(y+f(x)).f\bigl(f^2(x) + xf(y) + y^2\bigr) = y \cdot f^2\bigl(y + f(x)\bigr).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-011

Найбільше n з рівностями степенів натуральних чисел

Для якого найбільшого nn існують такі натуральні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, для яких справджуються рівності ann=ann−1+an−1n−1=…=an2+an−12+…+a22=an1+an−11+…+a21+a11?a_n^n = a_n^{n-1} + a_{n-1}^{n-1} = \ldots = a_n^2 + a_{n-1}^2 + \ldots + a_2^2 = a_n^1 + a_{n-1}^1 + \ldots + a_2^1 + a_1^1?
10–11 класиМіркування за модулем
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-012

Найбільша кількість точок перетину діагоналей на оболонці

В опуклому nn-кутнику при n⩾5n \geqslant 5 провели деяку кількість діагоналей. Яку найбільшу кількість точок перетину цих діагоналей, відмінних від вершин nn-кутника, може мати опукла оболонка? Примітка. Опуклою оболонкою VV скінченної множини точок MM на площині називають найменший опуклий многокутник, що містить усі точки MM, тобто для будь-якого іншого многокутника UU, що містить усі точки множини MM, справджується включення M⊂V⊂UM \subset V \subset U.
10–11 класиОпуклі множини
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-001

Кола трикутників AKH і CLH та бісектриса кута B

Нехай BHBH — висота різностороннього гострокутного трикутника ABCABC. На сторонах ABAB і BCBC вибрано точки KK і LL відповідно так, що BK=BH=BLBK = BH = BL. Описані кола трикутників AKHAKH і CLHCLH удруге перетинаються в точці PP і вдруге перетинають промінь BHBH у точках QQ і RR відповідно. Доведіть, що центр описаного кола трикутника PQRPQR лежить на бісектрисі кута ABCABC.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-002

Дошка 2021 на 2022 і сусідні стовпці з доміношками

Прямокутну дошку з 20212021 рядками та 20222022 стовпцями якось розбили на доміношки (прямокутники розміром 1×21 \times 2). Так сталося, що в разі будь-якого іншого розбиття цієї дошки на доміношки знайдеться доміношка, яка є і в даному розбитті. Доведіть, що в даному розбитті є два сусідніх стовпці, що заповнені 20212021 горизонтальними доміношками.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-003

Функціональне рівняння з виразом x + f(xy)

Знайдіть усі такі функції f ⁣:(0,+∞)→(0,+∞)f\colon (0, +\infty) \to (0, +\infty), що для довільних x,y>0x, y > 0 справджується рівність f(x+f(xy))+y=f(x)f(y)+1.f(x + f(xy)) + y = f(x)f(y) + 1.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-004

Нескінченний процес з простим дільником і трійкою

Спочатку на дошці написано деяке натуральне число, більше за 11. Щосекунди на дошці замість записаного числа nn записують число n+npn+\frac{n}{p}, де pp — деякий простий дільник натурального числа nn, при цьому такий процес триває нескінченно довго. Доведіть, що як просте число pp число 33 було вибране нескінченно багато разів.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-005

Неперетинні круги, точки в них і сума відстаней

На площині намальовано n⩾6n \geqslant 6 кругів D1,D2,…,DnD_1, D_2, \ldots, D_n, які попарно не перетинаються, з відповідними радіусами R1⩾R2⩾…⩾RnR_1 \geqslant R_2 \geqslant \ldots \geqslant R_n. Для кожного i=1,2,…,ni = 1, 2, \ldots, n точку PiP_i вибрано всередині або на межі круга DiD_i. Нехай OO — довільна точка в цій площині. Доведіть, що справджується нерівність OP1+OP2+…+OPn⩾R6+R7+…+Rn.OP_1 + OP_2 + \ldots + OP_n \geqslant R_6 + R_7 + \ldots + R_n.
10–11 класиІнші нерівності в геометрії
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-006

Гра з 2020 одиницями на дошці за монети

Гравці A і B грають у гру на дошці, на якій спочатку записано 20202020 одиниць. Кожним ходом гравець A стирає два числа на дошці (скажімо, xx і yy), а гравець B записує на дошці одне із чисел — x+yx + y або ∣x−y∣|x - y|. Гра закінчується, коли виконується одне з таких тверджень: (1) одне із чисел строго більше, ніж сума всіх інших чисел; (2) на дошці записано тільки нулі. Коли гра закінчилася, гравець B мав дати гравцю A стільки монет, скільки чисел залишилося на дошці. Гравець A прагне отримати якомога більше монет, а гравець B хоче віддати якомога менше. Якщо обидва гравці грають оптимально, то яку кількість монет мусить віддати гравець B?
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-007

Матчі команд з однаковими очками та очки переможниці

Сто волейбольних команд узяли участь у турнірі, у якому кожна команда зіграла з кожною іншою рівно 11 раз, причому всі матчі були зіграні в різний час. Виявилося, що в кожному матчі зустрічалися команди, які на той момент мали однакову кількість очок. Яку найбільшу кількість очок могла набрати команда — переможниця турніру? Примітка. У волейболі за перемогу команді нараховують 11 очко, за поразку — 00 очок, а нічиїх не буває.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-008

Многочлени p і q із сумою значень p

Знайдіть усі многочлени p(x)p(x) з дійсними коефіцієнтами, відмінні від тотожного нуля, для яких існує многочлен q(x)q(x) з такими дійсними коефіцієнтами, що для кожного натурального nn справджується рівність p(1)+p(2)+…+p(n)=p(n) q(n).p(1)+p(2)+\ldots+p(n)=p(n)\,q(n).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-009

Чотири кола, пов'язані з симетрією відносно середніх ліній

Дано гострокутний трикутник ABCABC і точку PP на його описаному колі. Нехай точки DD, EE, FF — образи точки PP при її симетрії відносно середніх ліній трикутника ABCABC, що паралельні відповідно сторонам BCBC, ACAC і ABAB. Позначимо через wA,wB,wCw_A, w_B, w_C описані кола трикутників ADPADP, BEPBEP, CFPCFP відповідно. Нехай ww — описане коло трикутника, вершини якого є попарними перетинами серединних перпендикулярів до відрізків ADAD, BEBE і CFCF. Доведіть, що всі чотири кола wA,wB,wCw_A, w_B, w_C і ww мають спільну точку.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-010

Стала в нерівності з коренем і квадратом різниці

Дано натуральне число nn. Нехай N=2nN=2^n. Знайдіть найменше дійсне число ana_n таке, що для всіх дійсних чисел xx справджується нерівність x2N+12N⩽an(x−1)2+x.\sqrt[N]{\frac{x^{2N}+1}{2}} \leqslant a_n(x-1)^2+x.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-011

Дотик описаних кіл трикутників AID і IAEF

Дано трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Нехай точка II — це інцентр, а точка IAI_A — це центр зовнівписаного кола, що дотикається до сторони BCBC. Нехай вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC у точці DD. Пряма ADAD перетинає прямі BIABI_A і CIACI_A в точках EE та FF відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників AIDAID та IAEFI_AEF дотикаються одне до одного.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-012

Впорядкування множини з неподільністю сум сусідів

Нехай SS — множина, яка складається з n⩾3n \geqslant 3 різних натуральних чисел таких, що сума будь-яких двох із них не належить множині SS. Доведіть, що елементи множини SS a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n можна впорядкувати так, що aia_i не ділить суму чисел ai−1+ai+1a_{i-1} + a_{i+1} для всіх i=2,3,…,n−1i = 2, 3, \ldots, n - 1.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-001

Чотири попарно взаємно прості числа та суми квадратів

Є чотири натуральних попарно взаємно простих числа xx, yy, zz, tt таких, що xy+yz+zt=xtxy + yz + zt = xt. Доведіть, що сума квадратів деяких двох із них рівно у два рази більша за суму квадратів інших двох із них.
10–11 класиНСД та НСК
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-002

Спільна межа пар клітинок дошки 10 на 11

Усі клітинки дошки розміром 10×1110 \times 11 розбито на пари. Доведіть, що серед цих 5555 пар є така, що в неї та будь-якої іншої пари довжина спільної межі не більша за 22.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-003

Зростаючі доданки двійки та найближча до одиниці сума

Є n⩾3n \geqslant 3 чисел 0<a1<a2<…<an0<a_1<a_2<\ldots<a_n, сума яких дорівнює 22. Нехай XX — це така підмножина множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}, для якої значення ∣1−∑i∈Xai∣\left|1-\sum\limits_{i \in X} a_i\right| — найменше з можливих. Доведіть, що існують числа 0<b1<b2<…<bn0<b_1<b_2<\ldots<b_n, сума яких дорівнює 22 та для яких ∑i∈Xbi=1\sum\limits_{i \in X} b_i=1.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-004

Симетричні ортоцентру точки та коло через чотири точки

У гострокутному трикутнику ABCABC проведено висоти AHaAH_a, BHbBH_b та CHcCH_c, які перетинаються в ортоцентрі HH. Нехай A1A_1 та C1C_1 — точки, що симетричні ортоцентру HH відносно сторін BCBC та ABAB відповідно. Відрізок A1C1A_1C_1 перетинає відрізки BCBC та ABAB у точках XX та YY відповідно. Пряма BMBM — така дотична до описаного кола трикутника CXC1CXC_1, що точки MM і CC лежать по один бік відносно прямої BHbBH_b. Аналогічно пряма BLBL — така дотична до описаного кола трикутника AYA1AYA_1, що точки LL і AA лежать по один бік відносно прямої BHbBH_b. Доведіть, що точки XX, YY, MM та LL лежать на одному колі.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-005

Трикутник, коло через A і перетин дотичних

Дано трикутник ABCABC. Деяке коло, що проходить через точку AA, перетинає сторони ABAB та ACAC у точках DD та EE відповідно, а сторону BCBC — у двох точках FF та GG, при цьому точка FF належить відрізку BGBG. Дотична до описаного кола трикутника BDFBDF у точці FF та дотична до описаного кола трикутника CEGCEG у точці GG перетинаються в точці T≠AT \neq A. Доведіть, що AT∥BCAT \parallel BC.
10–11 класиДотична кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-006

Кількість послідовностей Фібоначчі з натуральними сусідами до 2019

Нескінченну в обидва боки послідовність цілих чисел назвемо послідовністю Фібоначчі, якщо кожний її член дорівнює сумі двох попередніх. Скільки всього існує різних послідовностей Фібоначчі, у яких є два сусідніх натуральних члени, що не перевищують 20192019? Примітка. Послідовності, що відрізняються зсувом членів, вважаємо однаковими.
10–11 класиБієкції
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-007

Пари натуральних p, q з нескінченною послідовністю натуральних чисел

Знайдіть усі пари натуральних чисел (p,q)(p, q), для яких існує така нескінченна послідовність натуральних чисел (an)(a_n), що ∀n∈N\forall n \in \mathbb{N} справджується рівність an+2=(1+a2pa1q)(1+a3pa2q)…(1+an+1panq).a_{n+2}=\left(1+\frac{a_2^p}{a_1^q}\right)\left(1+\frac{a_3^p}{a_2^q}\right)\ldots\left(1+\frac{a_{n+1}^p}{a_n^q}\right).
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-008

Місто щонайбільше з одним виїздом серед односторонніх доріг

В Аліси є мапа деякої казкової країни, у якій є всього n>1n > 1 міст. Між будь-якими двома містами існує єдина вузенька дорога. 10 серпня усі ці дороги стали односторонніми. Аліса не знає, який напрямок руху став на дорогах. Вона хоче дізнатися, чи є в країні принаймні одне місто, яке має максимум одну дорогу, якою з міста можна виїхати. За одне запитання до укладача напрямків доріг вона може дізнатися про напрямок руху рівно по одній будь-якій дорозі. Доведіть, що не більше ніж за 4n4n запитань вона зможе дізнатися про те, що хоче.
10–11 класиОрієнтовані графи

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.