Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 133 задачі
10 клас
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-006

Найменше n для єдиного розбиття зі 101 синьою клітинкою

101 клітинку дошки розміром n×nn \times n пофарбовано синім кольором. Відомо, що існує єдине розбиття дошки по лініях сітки на прямокутники таким чином, що кожен прямокутник розбиття містить рівно одну синю клітинку. Знайдіть найменше значення nn, при якому це можливо.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-011

Умова подільності для добутку і суми факторіалів

Про натуральні числа aa і bb відомо, що число a!⋅b!a! \cdot b! ділиться на a!+b!a! + b!. Доведіть, що 3a⩾2b+23a \geqslant 2b+2.
10–11 класиНСД та НСК
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-012

Паралелограм BPTQ і відношення BT до BM

Точка MM — середина сторони ACAC гострокутного трикутника ABCABC. Коло ω\omega проходить через точки BB і MM та вдруге перетинає сторони ABAB і BCBC у точках PP і QQ відповідно. Нехай точка TT така, що чотирикутник BPTQBPTQ — паралелограм. Припустимо, що TT лежить на описаному колі трикутника ABCABC. Знайдіть усі можливі значення, яких може набувати відношення BT/BMBT/BM.
10–11 класиКоло і подібність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-017

Множина з рівно 2015 хороших розбиттів

Розбиття скінченної множини AA, яка складається з натуральних чисел, на непорожні множини A1A_1 і A2A_2 назвемо хорошим, якщо A1A_1 і A2A_2 не перетинаються, а найменше спільне кратне елементів з A1A_1 дорівнює найбільшому спільному дільнику елементів з A2A_2. Знайдіть найменше значення nn, для якого існує множина AA, що складається з nn елементів і має рівно 2015 хороших розбиттів.
10–11 класиНСД та НСК
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-022

Найбільша чудова конфігурація точок на площині

Назвемо конфігурацію з nn пофарбованих точок на площині чудовою, якщо жодні три точки не лежать на одній прямій і в довільному трикутнику, який має кут, не менший за 120∘120^\circ, рівно дві вершини пофарбовано в один колір. Знайдіть найбільше можливе значення nn, для якого існує чудова конфігурація.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-023

Функціональне рівняння з виразом 2xy

Знайдіть усі функції f ⁣:R→Rf \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що для довільних дійсних xx та yy справджується рівність f(x+yf(x))+f(xf(y)−y)=f(x)−f(y)+2xy.f(x + y f(x)) + f(x f(y) - y) = f(x) - f(y) + 2xy.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-001

Три фішки на 6n+3-кутнику з лунками

Полем гри є вершини правильного 6n+36n + 3-кутника, які за рухом годинникової стрілки перенумеровані числами 11; 22; …\ldots; 6n+36n + 3. Вершини з номерами 2n+12n + 1; 4n+24n + 2; 6n+36n + 3 називаються лунками. На початку гри на полі розташовано 3 фішки. Два гравці за чергою вибирають будь-яку з трьох фішок та пересувають її в сусідню вершину за рухом годинникової стрілки, якщо та не зайнята іншою фішкою. Перший гравець перемагає, якщо принаймні дві з фішок після ходу будь-якого з гравців попадають у лунки. Чи завжди перший гравець може перемогти, якщо на початку гри фішки розставлені у вигляді правильного трикутника?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-002

Функціональне рівняння з умовою 2ab = c² + d²

Знайдіть усі функції f:Z+→Z+f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ такі, що рівність f(a+b)=f(a)+f(b)+f(c)+f(d)f(a+b) = f(a) + f(b) + f(c) + f(d) виконується для довільних a,b,c,d∈Z+a, b, c, d \in \mathbb{Z}^+ таких, що 2ab=c2+d22ab = c^2 + d^2.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-003

Середини сторін трикутника, коло і симетричні точки

Задано трикутник ABCABC, у якому CA≠CBCA \neq CB. Нехай точки DD, FF і GG — середини сторін ABAB, ACAC і BCBC відповідно. Коло Γ\Gamma, що проходить через точку CC і дотикається до сторони ABAB у точці DD, перетинає відрізки AFAF і BGBG у точках HH та II відповідно. Точки H′H' і I′I' симетричні HH та II відносно FF і GG відповідно. Пряма H′I′H'I' перетинає CDCD і FGFG у точках QQ і MM відповідно. Пряма CMCM вдруге перетинає коло Γ\Gamma у точці PP. Доведіть, що CQ=QPCQ = QP.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-004

Усі натуральні a з подільністю на 2^n - n²

Знайдіть усі натуральні значення aa такі, що число an−naa^n - n^a при довільному натуральному nn ділиться на 2n−n22^n - n^2.
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-005

Три коники у трикутнику та кількість фінальних позицій

У вершинах правильного трикутника ABCABC зі стороною 1 розташовано три коники. У довільний момент часу рівно один із коників може стрибнути через іншого так, що відстань, яку пролетить коник, буде дорівнювати початковій відстані між ними, помноженій на деяке парне число. На променях ABAB і ACAC вибрано точки MM і NN так, що AM=AN=lAM = AN = l, де ll — деяке натуральне число. Через скінченну кількість стрибків виявилося, що три коники знаходяться в трикутнику AMNAMN (усередині або на його межі), після чого стрибки більше не відбувалися. Знайдіть кількість фінальних позицій, на яких можуть опинитися коники. (Під час стрибків коники можуть опинитися за межами трикутника AMNAMN.)
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-006

Найбільша сума з 2n обмеженими змінними

Задано натуральне число nn. Знайдіть найбільше значення, якого може набувати сума ∑1⩽r<s⩽2n(s−r−n) xrxs\sum\limits_{1\leqslant r<s\leqslant 2n}(s-r-n)\,x_r x_s при −1⩽xi⩽1-1\leqslant x_i\leqslant 1 для довільного i=1,2,…,2ni = 1, 2, \ldots, 2n.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-007

Непарний простий дільник добутку чисел (m+k)/(n+k)

Задано натуральні числа mm і nn такі, що m>nm > n. Позначимо xk=(m+k)/(n+k)x_k = (m + k)/(n + k), при k=1,2,…,n+1k = 1, 2, \ldots, n + 1. Доведіть, що коли x1x_1, x2x_2, …\ldots, xn+1x_{n + 1} — натуральні числа, то число x1x2…xn+1−1x_1 x_2 \ldots x_{n + 1} - 1 має непарний простий дільник.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-008

Точка перетину кіл та паралельність PM і AK

Задано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB<BCAB < BC. Його вписане коло із центром у точці II дотикається до сторони BCBC у точці KK. Пряма AKAK удруге перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці TT. Нехай MM — середина BCBC, а NN — середина дуги BACBAC описаного кола трикутника ABCABC. Відрізок NTNT перетинає описане коло трикутника BICBIC у точці PP. Доведіть, що PM∥AKPM \parallel AK.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-009

Гра з вибором чисел без сусідніх

Задано натуральне число nn. Двоє гравців А та Б грають у гру за такими правилами: - гравці за чергою вибирають деяке натуральне число k⩽nk \leqslant n; - не можна вибирати число, яке було вибрано раніше; - гравець не може вибрати число, якщо він уже вибрав сусіднє число; - гра закінчується внічию, якщо було використано всі числа; у протилежному разі програє той гравець, який не може зробити наступний хід. Гравець А ходить першим. Визначте результат гри, якщо обидва гравці грають за оптимальною стратегією.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-010

Нуль многочлена g і корінь многочлена f

Задано натуральне число nn і дійсні числа a1a_1, …\ldots, ana_n. Позначимо f(x)=∑k=1nakxkіg(x)=∑k=1nak2k−1 xk.f(x)=\sum_{k=1}^{n} a_k x^k \quad \text{і} \quad g(x)=\sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{2^k-1}\, x^k. Припустимо, що g(2016)=0g(2016)=0. Доведіть, що ff має корінь на інтервалі (0,2016)(0, 2016).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-011

Прямокутний трикутник з висотою та півколом на BD

Задано трикутник ABCABC, у якому ∠C=90∘\angle C=90^\circ, точка HH — основа висоти, що проведена з точки CC. Точку DD вибрано всередині трикутника CBHCBH таким чином, що CHCH ділить відрізок ADAD навпіл. Позначимо точку перетину BDBD і CHCH літерою PP. Нехай ω\omega — півколо, що побудоване на BDBD як на діаметрі та перетинає відрізок CBCB у його внутрішній точці. Пряма, що проходить через точку PP, дотикається до ω\omega у точці QQ. Доведіть, що прямі CQCQ і ADAD перетинаються на півколі ω\omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-012

Послідовності через НСД і НСК та періодичність

Припустимо, що a0a_0, a1a_1, …\ldots і b0b_0, b1b_1, …\ldots — дві послідовності натуральних чисел, що задовольняють умови a0,b0⩾2a_0, b_0 \geqslant 2 і an+1=НСД(an,bn)+1,bn+1=НСК(an,bn)−1,a_{n+1} = \text{НСД}(a_n, b_n) + 1, \quad b_{n+1} = \text{НСК}(a_n, b_n) - 1, для довільного n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що послідовність (an)(a_n) стає періодичною починаючи з деякого моменту; іншими словами, існують цілі числа N⩾0N \geqslant 0 і t>0t > 0 такі, що an+t=ana_{n+t} = a_n для довільного n⩾Nn \geqslant N.
10–11 класиНСД та НСК
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-001

Многочлен із цілими коефіцієнтами дільник чисел 2ⁿ−1

Нехай P(n)P(n) — многочлен із цілими коефіцієнтами такий, що для довільного натурального nn число 2n−1P(n)\dfrac{2^n-1}{P(n)} — ціле. Доведіть, що P(n)≡1P(n) \equiv 1 або P(n)≡−1P(n) \equiv -1.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-002

Кускова функція та різні знаки послідовних приростів

Функція f(x):(0,1)→(0,1)f(x) : (0,1) \to (0,1) визначена таким чином: f(x)={x+12,x<12,x2,x⩾12.f(x) = \begin{cases} x + \dfrac{1}{2}, & x < \dfrac{1}{2}, \\ x^2, & x \geqslant \dfrac{1}{2}. \end{cases} Нехай aa і bb — два довільних дійсних числа таких, що 0<a<b<10 < a < b < 1. Визначимо послідовності ana_n і bnb_n таким чином: a0=aa_0 = a, b0=bb_0 = b і an=f(an−1)a_n = f(a_{n-1}), bn=f(bn−1)b_n = f(b_{n-1}) при n>0n > 0. Доведіть, що існує додатне значення nn таке, що (an−an−1)(bn−bn−1)<0(a_n - a_{n-1})(b_n - b_{n-1}) < 0.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-003

Кількість різних модулів різниці перестановки

Для довільної перестановки σ\sigma чисел із множини {1,2,…,2014}\{1, 2, \ldots, 2014\} розглянемо множину Iσ={∣σ(i)−i∣:i=1,2,…,2014},I_\sigma = \left\{ \left| \sigma(i) - i \right| : i = 1, 2, \ldots, 2014 \right\}, де через σ(i)\sigma(i) позначено ii-й елемент перестановки σ\sigma. Позначимо через ∣Iσ∣\left| I_\sigma \right| кількість елементів множини IσI_\sigma. Знайдіть усі можливі значення, яких може набувати ∣Iσ∣\left| I_\sigma \right|.
10–11 класиПарність і непарність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-004

Друга точка перетину кіл трикутників AMP і BMC

Дано коло ω\omega і точки AA, BB, CC на ньому. Зафіксуємо дійсне число λ∈(0,1)\lambda \in (0, 1). Для довільної точки P∉{A,B,C}P \notin \{A, B, C\}, що лежить на колі ω\omega, позначимо на відрізку CPCP таку точку MM, що CM=λ⋅CPCM = \lambda \cdot CP. Нехай QQ — друга точка перетину описаних кіл трикутників AMPAMP і BMCBMC. Доведіть, що всі можливі розташування точки QQ знаходяться на фіксованому колі незалежно від вибору точки PP.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-005

Числа з рівністю сум і вибір k чисел

Задано натуральне число nn і додатні дійсні числа x1x_1, x2x_2, …\ldots, xnx_n такі, що x1+x2+…+xn=1x12+1x22+…+1xn2.x_1 + x_2 + \ldots + x_n = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \ldots + \frac{1}{x_n^2}. Доведіть, що для кожного натурального k⩽nk \leqslant n із чисел x1x_1, x2x_2, …\ldots, xnx_n можна вибрати kk чисел із сумою, не меншою за kk.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-006

Одиниці на дошці та заміна пари їх сумою

На дошці записано 2m2^m разів число 11. За один крок дозволено вибрати два довільних числа aa і bb, витерти їх і на місці кожного з них записати число a+ba + b. Доведіть, що після m2m−1m2^{m-1} кроків сума чисел на дошці буде не менша ніж 4m4^m.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-007

MH і перпендикуляр до AC на колі BA'P

Висоти AA′AA' і BB′BB' трикутника ABCABC перетинаються в точці HH. Точка MM — середина ABAB. Прямі ABAB і A′B′A'B' перетинаються в точці PP. Доведіть, що пряма MHMH і перпендикуляр до прямої ACAC, який проходить через точку PP, перетинаються на описаному колі трикутника BA′PBA'P.
10–11 класиПроєктивна геометрія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.