Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 088 задач
6 клас
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-007

Найбільша площа чотирьох однакових квадратів на сітці

На рис. 5.3 зображено сітку з точок 7×77 \times 7. Площа кожного малого квадрата сітки (приклад такого квадрата на рисунку замальовано) дорівнює 11. На сітці накреслили чотири однакові квадрати: кожна вершина квадрата — одна з 4949 точок сітки, причому жодна пара квадратів не має спільних точок. Якої найбільшої площі можуть бути накреслені квадрати?
4–6 класиПіфагорові трійки
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-016

Дев'ять послідовних чисел у колах із сумою 23

Кожне з кіл, зображених на рис. 5.5, повинно містити натуральне число. Ці дев’ять чисел є послідовними, а сума чисел на кожній із семи накреслених ліній має дорівнювати 2323. Число у правому верхньому колі повинно бути меншим від числа у правому нижньому колі. Відновіть усі числа, знаючи лише одне з них.
4–6 класиПідрахунок двома способами
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-006

Кількість дівчат-подруг у капелюхах двох кольорів

У деякому містечку живуть тільки дівчата. Кожна дівчина має рівно одну або рівно двох подруг, причому дружба у них взаємна. Одного ранку всі дівчата, які мають двох подруг, надягли червоні капелюхи, а всі інші дівчата — сині. Виявилось, що кожні дві подруги надягли капелюхи різного кольору. По обіді 1010 дівчат зняли свої червоні капелюхи й надягли сині, а 1212 інших дівчат зняли свої сині капелюхи й надягли червоні. Тепер кожні дві подруги носять капелюхи однакового кольору. Скільки дівчат живе в містечку?
4–6 класиСтепені вершин
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-002

Наступне платне місце на кільцевій дорозі

На кільцевій дорозі треба сплачувати за проїзд у трьох місцях: якщо рухатися в напрямку за годинниковою стрілкою, ми проїдемо міст (11 грн), тунель (33 грн) та греблю водосховища (55 грн). Машина почала свій рух за годинниковою стрілкою між греблею й мостом та їздила по колу, поки загальна сума, сплачена за проїзд, не склала 130130 грн. Яке місце машина має проїхати наступним: міст, тунель чи водосховище?
4–6 класиОстача від ділення
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-022

Найбільша початкова кількість працівників двох компаній

У двох компаніях працювала однакова кількість людей. Перша компанія збільшила свій штат в 1111 разів, а друга звільнила 1111 працівників. Відомо, що після цих операцій кількість працівників у першій компанії кратна кількості робітників у другій компанії. Яка найбільша кількість працівників могла працювати в кожній компанії спочатку?
4–6 класиДільники та кратні (базові власти…
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-008

Найменша кількість непарних серед 1006 різних чисел

Сума 10061006 різних натуральних чисел дорівнює 1 019 0571\,019\,057. За умови, що жодне з чисел не перевищує 20122012, яка найменша кількість із них можуть виявитися непарними?
4–6 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-023

Квадрат, п'ять рівних частин сторони і сума кутів

Нехай ABCDABCD — квадрат, а KK, LL, MM і NN — точки на відрізку BCBC такі, що (рис. 5.9) BK=KL=LM=MN=NC=BC5BK = KL = LM = MN = NC = \frac{BC}{5}. Точка EE лежить на стороні ADAD квадрата, причому AE=BKAE = BK. Знайдіть суму кутів ∠AKE+∠ALE+∠AME+∠ANE+∠ACE.\angle AKE + \angle ALE + \angle AME + \angle ANE + \angle ACE.
4–6 класиПаралельні прямі і січна
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-004

Півкруг у секторі круга та відношення їхніх площ

На рис. 5.1 OABOAB — сектор круга (OA=OBOA = OB), причому ∠AOB=30∘\angle AOB = 30^\circ. Півколо, що проходить через точку AA, має центр у точці CC на відрізку OAOA та дотикається до відрізка OBOB у точці TT. Знайдіть відношення площі півкруга, обмеженого півколом, до площі сектора OABOAB.
4–6 класиДотична кола
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-018

Сума перших 2012 чисел рядка з 1 і 2012

У рядок записано числа, кожне з яких дорівнює 11 або 20122012. Перше число в рядку — 20122012. Між першим числом 20122012 і другим числом 20122012 записано рівно одну одиницю. Між другим числом 20122012 і третім числом 20122012 записано рівно дві одиниці, між третім числом 20122012 і четвертим числом 20122012 записано рівно три одиниці і т. д. Знайдіть суму перших 20122012 чисел такої послідовності.
4–6 класиАрифметична прогресія
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-025

Червоні й чорні мурахи та різниця рік тому

На початку кожного місяця доросла червона мураха народжує трьох малих чорних мурах, а доросла чорна мураха з'їдає одну малу чорну мураху, народжує трьох малих червоних мурах і помирає. Протягом місяця малі мурахи перетворюються на дорослих і процес повторюється. Якщо на Різдво було 9 000 0009\,000\,000 червоних мурах та 1 000 0001\,000\,000 чорних, чому дорівнювала різниця між кількістю червоних і чорних мурах на Різдво рік тому?
4–6 класиЛінійні рекурентні послідовності
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-024

Таблиця 3×3 з числами 1, 8 і рівними сумами

Числа 11 і 88 записано в таблиці 3×33 \times 3, як показано на рис. 5.10. Решту сім комірок треба заповнити числами 22, 33, 44, 55, 66, 77 і 99, використовуючи кожне число рівно по одному разу, таким чином, щоб сума чисел у всіх чотирьох квадратах 2×22 \times 2 була однаковою. Знайдіть усі можливі способи заповнити таблицю. | | | | |---|---|---| | 11 | | | | | | 88 | | | | | Рис. 5.10
4–6 класиІнші інваріанти
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2024-007

Дві фігури з переліку та пряма, що ділить навпіл

Мама Амелії пропонує гру. «Вибери дві з наведених нижче фігур», — каже вона Амелії. (Фігури — це рівносторонній трикутник, паралелограм, рівнобічна трапеція, дельтоїд та еліпс. Фігури зображені в масштабі.) Мама Амелії продовжує: «Я намалюю ці дві фігури на аркуші паперу у будь-якому положенні та орієнтації, які сама оберу, так, щоб вони не перекривалися. Потім ти проведеш пряму лінію, що розрізає обидві фігури, причому кожна фігура має розділитися на дві рівні половини.» Які дві фігури слід вибрати Амелії, щоб вона гарантовано змогла це зробити? Для такого вибору фігур поясніть, як Амелія може провести свою пряму, яка властивість цих фігур дає їй таку змогу і чому це не спрацює з жодною іншою парою цих фігур.
6–8 класиСиметрія
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2024-006

Маніпуляція більшістю у двоетапних виборах

Школі потрібно обрати президента. У школі 121 учень, кожен з яких належить до одного з двох племен: Геометрів або Алгебраїстів. На посаду президента балотуються два кандидати: один Геометр і один Алгебраїст. Геометри голосують лише за Геометрів, а Алгебраїсти — лише за Алгебраїстів. Алгебраїстів більше, ніж Геометрів, але Геометри винахідливі. Вони переконують школу, що така двоетапна процедура є справедливішою: a. Школу поділяють на 11 груп, по 11 учнів у кожній групі. Кожна група обирає представника для етапу 2. b. 11 обраних представників обирають президента. Геометри не лише добиваються затвердження цієї двоетапної процедури, а й самі беруться розподілити учнів по групах для етапу 1. Яка найменша кількість Геометрів у школі гарантує, що вони зможуть обрати президентом Геометра? (На будь-якому етапі голосування перемагає більшість.)
6–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-003

Добуток дільників дорівнює 10⁹

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що якщо перемножити всі дільники числа nn, то отримаємо 10910^{9}. Доведіть, що знайдені вами числа nn справді підходять і що інших таких чисел немає. (Примітка: натуральне число nn — це додатне ціле число, тобто nn — одне з чисел 1, 2, 3, …. Дільник числа nn — це натуральне число, яке ділить nn без остачі. Наприклад, 5 є дільником числа 30, бо 30÷5=630 \div 5=6; але 5 не є дільником числа 47, бо 47÷5=947 \div 5=9 з остачею 2. У цій задачі ми розглядаємо лише додатні цілі числа nn і додатні цілі дільники числа nn. Так, наприклад, перемноживши всі дільники числа 6, отримаємо 36.)
6–8 класиКількість дільників τ(n)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-004

Периметр трикутника в квадраті з кутовою умовою

Площа квадрата ABCDABCD дорівнює 196 см2196~\text{см}^2. Точка EE лежить усередині квадрата, на однакових відстанях від точок DD і CC, і така, що ∠DEC=150∘\angle DEC = 150^\circ. Чому дорівнює периметр △ABE\triangle ABE? Доведіть, що ваша відповідь правильна.
6–8 класиРівнобедрений та рівносторонній т…3 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-005

Прямокутники на сторонах опуклого многокутника

Розглянемо опуклий nn-кутник A1A2⋯AnA_{1} A_{2} \cdots A_{n}. (Зауваження: в опуклому многокутнику всі внутрішні кути менші за 180∘180^{\circ}.) Нехай hh — додатне число. Використовуючи сторони многокутника як основи, побудуємо nn прямокутників, кожен висоти hh, так, щоб кожен прямокутник або цілком містився всередині nn-кутника, або частково перетинав внутрішність nn-кутника. Як приклад, на рисунку ліворуч нижче показано п'ятикутник із правильною конфігурацією прямокутників, а на рисунку праворуч — неправильна конфігурація прямокутників (оскільки деякі з прямокутників не перетинаються з п'ятикутником): (a) Правильно (b) Неправильно Доведіть, що завжди можна вибрати число hh так, щоб прямокутники повністю покривали внутрішність nn-кутника, а сумарна площа прямокутників була не більшою за подвоєну площу nn-кутника.
6–8 класиПокриття, пакування, фарбування
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-006

Суми вздовж шляхів у таблиці множення

Розглянемо наведену нижче «таблицю множення» розміром 4×44 \times 4. Числа з першого стовпця, помножені на числа з першого рядка, дають решту чисел таблиці. Наприклад, 33 з першого стовпця, помножене на 44 з першого рядка, дає 12 (=3⋅4)12\ (=3 \cdot 4) у клітинці, розташованій у 33-му рядку та 44-му стовпці. | | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | | 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | | 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | | 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | Побудуємо шлях з верхньої лівої клітинки до нижньої правої, щоразу рухаючись на одну клітинку вправо або вниз. Наприклад, нижче наведено один із таких можливих шляхів, причому всі числа вздовж шляху обведені колом: | | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | | 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | | 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | | 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | Якщо додати обведені числа в прикладі вище (включно з початковою та кінцевою клітинками), отримаємо 4848. Розгляньмо всі такі можливі шляхи: а. Яку найменшу суму можна отримати, додаючи числа вздовж такого шляху? Доведіть, що ваша відповідь правильна. б. Яку найбільшу суму можна отримати, додаючи числа вздовж такого шляху? Доведіть, що ваша відповідь правильна.
6–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-007

Розфарбування ребер тетраедра з урахуванням симетрій

Два тривимірні тіла вважаються однаково розфарбованими, якщо одне з них можна зорієнтувати (перемістивши або повернувши) так, що воно стане невідмінним від другого. Наприклад, нехай на столі стоять два одиничні куби, причому всі грані одного куба чорні, крім верхньої, яка червона, а всі грані другого куба чорні, крім нижньої, яка пофарбована в червоний колір. Тоді ці два куби мають однакове розфарбування. Скількома різними способами можна розфарбувати ребра правильного тетраедра, пофарбувавши два ребра в червоний колір, два ребра — у чорний і два ребра — у зелений? (Правильний тетраедр має чотири грані, кожна з яких — рівносторонній трикутник. На рисунку нижче зображено одне з розфарбувань тетраедра, де товсті, тонкі та пунктирні лінії позначають три кольори.)
6–8 класиГеометричні розфарбування2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-007

Найбільша і найменша сума двох чисел з цифр 1–8

Елейн використовує кожну з цифр від 11 до 88 і записує два 44-цифрові числа. a. Якщо сума цих чисел є найбільшою можливою, чому дорівнює ця сума? b. Якщо сума цих чисел є найменшою можливою, чому дорівнює найменша можлива різниця між ними?
6–7 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-008

Шестикутник з кутами по 120°

Ана накреслила два різні шестикутники ABCDEF і PQRSTU, у кожного з яких усі внутрішні кути дорівнюють 120∘120^\circ. а. Відомо, що AB=CD=5AB = CD = 5, BC=8BC = 8 і EF=3EF = 3. Знайдіть периметр шестикутника ABCDEF. б. Відомо, що PQ=3PQ = 3, QR=4QR = 4, RS=5RS = 5 і TU=1TU = 1. Знайдіть ST+PUST + PU.
6–7 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-009

Шість чисел із попарними різницями, кратними 4

У Крістіни є колода карт з номерами від 11 до 2525. Вона попросила свою подругу Дороті вибрати шість карт з колоди. Крістіна записала вибрані числа і повернула карти назад у колоду. Потім вона знову попросила Дороті вибрати шість карт і знову записала вибрані числа. а. Перші шість чисел, які вибрала Дороті, мають таку властивість, що різниця між будь-якими двома з вибраних чисел кратна 44 і лише одне з них не є простим. Знайдіть ці шість чисел. б. Другого разу Дороті вибрала числа так, що для кожної пари чисел, крім однієї, одне з чисел ділить інше. Знайдіть найбільше з цих шести чисел.
6–7 класиАрифметика остач (базові властиво…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-010

Спаровування амеб за кольоровими правилами

Коли дві червоні амеби об’єднуються, утворюється одна синя амеба; коли червона амеба і синя амеба об’єднуються, утворюються три червоні амеби; а коли об’єднуються дві сині амеби, утворюються чотири червоні амеби. Фернандо спостерігає за пробіркою, у якій спочатку є 1919 синіх амеб і 9595 червоних амеб. а) Він спостерігає, що всі амеби об’єднуються парами, породжуючи нове покоління амеб. Знайдіть найбільшу можливу кількість амеб у цьому поколінні. б) У певний момент є 100100 амеб. Скільки з них синіх?
6–7 класиІнші інваріанти
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-007

Непарні числа з цифр 0 і 1

Емеральд написала на дошці всі цілі числа від 11 до 20112011. Потім вона стерла всі парні числа. а. Скільки чисел залишилося на дошці? б. Скільки з чисел, що залишилися, записано лише цифрами 00 і 11?
6–7 класиПарність та непарність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-008

Приєднання кубиків для отримання заданого об'єму

Маємо червоний куб з довжиною ребра 22 см. Яка найменша кількість однакових кубиків, які треба приєднати до червоного куба, щоб отримати куб з об'ємом (125)3\left(\frac{12}{5}\right)^3 см³?
6–7 класиРозрізання, покриття та замощення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-009

Числа, у яких сума квадратів цифр — точний квадрат

Назвемо число пал, якщо воно не має цифри нуль і сума квадратів його цифр є точним квадратом. Наприклад, 21155222115522 — пал (бо 22+12+12+52+52+22+22=822^2 + 1^2 + 1^2 + 5^2 + 5^2 + 2^2 + 2^2 = 8^2), а 304304 і 1212 — не пал. a. Яке найбільше двозначне пал-число? b. Чи існує 20112011-цифрове пал-число?
6–7 класиРозклад по розрядах, десяткові др…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.