Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 641 задача
7 клас
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-007

Спільні діти двох чисел

Кажемо, що число є дитиною іншого числа, якщо його можна отримати, вставивши між будь-якими двома цифрами іншого числа або нічого, або ++, або ×\times. Наприклад, 145145 і 55 є дітьми числа 1212112121, оскільки 145=12×12+1145 = 12 \times 12 + 1 і 5=1+2×1+2×15 = 1 + 2 \times 1 + 2 \times 1. Число 1515 є дитиною як числа 1212112121, так і числа 3333333333, оскільки 12+1+2×1=15=3+3+3+3+312 + 1 + 2 \times 1 = 15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3. Яке з наведених нижче чисел також є дитиною обох чисел 1212112121 і 3333333333? A) 1818 B) 3434 C) 3939 D) 4242 E) 4545
7–9 класиРозбиття на випадки
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-008

Найменший середній бал за найчастішої оцінки

У класі 3030 учнів склали тест. Кожен учень отримав оцінку — ціле число від 11 до 1010. Оцінка 88 траплялася частіше, ніж будь-яка інша оцінка. Який найменший можливий середній бал учнів? A) 38153\frac{8}{15} B) 3233\frac{2}{3} C) 3563\frac{5}{6} D) 411304\frac{11}{30} E) 48154\frac{8}{15}
7–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-002

Квадрати, що накладаються, зі зміщеними центрами

Квадрат площею 44 поділено на два сірі та два прозорі квадрати, кожен площею 11; див. лівий рисунок. На цей квадрат покладено інший такий самий квадрат. Сторона другого квадрата лежить точно на середині діагоналі першого квадрата; див. правий рисунок. Чому дорівнює площа сірої частини на правому рисунку? Відповідь запишіть нескоротним дробом.
7–9 класиРозбиття і перекидання площ
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-009

Розфарбування сітки 6×6 з обертанням

Ми хочемо розфарбувати 36 клітинок дошки 6×66 \times 6. Кожна клітинка повинна бути пофарбована в білий, сірий або чорний колір, і повинна виконуватися така вимога: Три сусідні клітинки в одному рядку або стовпці завжди повинні мати три різні кольори. Ми говоримо, що два розфарбування є справді різними, якщо одне не можна отримати з іншого обертанням дошки. Нижче зображено три розфарбування, які відповідають вимозі. Перше і друге розфарбування є справді різними, але третє після обертання збігається з другим. Скільки справді різних розфарбувань відповідають вимозі (включаючи два з малюнка)?
7–9 класиКонструкція через періодичність
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-003

Оптимальні номінали монет для сум

У кав'ярні кожен товар коштує щонайбільше 1212 дукатів. Наразі власник кав'ярні використовує лише монети вартістю один дукат. Однак для дорожчих товарів це непрактично. Тому власник кав'ярні вирішив додатково ввести два нових типи монет поряд із монетами в один дукат. Він робить це так, щоб якомога більше значень від 11 до 1212 дукатів можна було сплатити щонайбільше двома монетами (без решти). Яка вартість двох нових типів монет?
7–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-010

Трикутник з умовою рівності кутів

Точка DD лежить на стороні BCBC трикутника ABCABC. Кут AA у трикутнику ABDABD дорівнює куту CC у трикутнику ABCABC, а кут AA у трикутнику ACDACD дорівнює куту BB у трикутнику ABCABC. Наведеної інформації недостатньо, щоб визначити точну форму трикутника ABCABC. Однак усе ж можна довести, що одне з наведених нижче тверджень завжди хибне. Яке саме? Через ∣AB∣|AB| позначаємо довжину відрізка ABAB. A) ∣AD∣<∣AC∣|AD| < |AC| B) ∣AC∣<∣AB∣|AC| < |AB| C) ∣AB∣<∣BC∣|AB| < |BC| D) ∣AD∣×∣CD∣<∣AB∣×∣AC∣|AD| \times |CD| < |AB| \times |AC| E) ∣AB∣×∣AC∣<∣AD∣×∣BC∣|AB| \times |AC| < |AD| \times |BC|
7–9 класиПлоща трикутника
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-015

Годинник із переплутаними швидкостями стрілок

Годинникар встановив велику й малу стрілки годинника неправильно. Через це мала стрілка рухається зі швидкістю великої стрілки, а велика — зі швидкістю малої. Відомо, що щодня о 8:008{:}00 годинник показує правильний час. Скільки разів на добу (2424 години) годинник показує правильний час? A) 11 B) 22 C) 66 D) 2222 E) 2424
7–9 класиПеріодичні функції
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-020

Чотирицифрове число aabb — квадрат якого числа

Чотирицифрове число aabb‾\overline{aabb}, тобто число, цифрами якого є a,a,ba, a, b і bb, є квадратом цілого числа. Квадратом якого цілого числа є число aabb‾\overline{aabb}?
7–9 класиМетод факторизації (розкладання н…
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-011

Розсадка по колу з різною кількістю кульок

П’ятеро розумних учнів сидять по колу. Учитель дає кожному з них одну або більше кульок. Він пояснює, що загалом він роздав 18 кульок і що кожен отримав різну кількість кульок. Кожен учень бачить свою кількість кульок, а також кількість кульок у свого сусіда ліворуч і свого сусіда праворуч. Користуючись лише цією інформацією, кожен учень має спробувати логічно вивести різницю між кількостями кульок у двох учнів навпроти нього. Учитель розподілив кульки так, щоб мінімізувати кількість учнів, які зможуть це зробити. Скільки учнів зможе це зробити? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
7–9 класиРозбиття на випадки
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-004

Сума цифр добутку чисел з дев’яток

Ми обчислюємо добуток двох чисел, 99…99×99…99,99\ldots99 \times 99\ldots99, де перше число складається з 20 дев’яток, а друге — з 21 дев’ятки. Яке число одержимо, якщо додати цифри результату цього множення?
7–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-018

Розбиття трикутника паралельними прямими

Дано трикутник ABCABC. Пряма з точки AA перетинає сторону BCBC у точці DD. Паралельно до BCBC проведено чотири прямі так, що вони ділять ABAB і ACAC на п’ять рівних частин. З десяти частин, на які поділено трикутник ABCABC, дві позначені пунктиром мають однакову площу. Також площа сірого трикутника внизу ліворуч біля AA дорівнює 55. Чому дорівнює площа сірого чотирикутника вгорі праворуч біля CC? A) 5050 B) 8181 C) 100100 D) 119119 E) 121121
7–9 класиВідношення площ трикутників
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-003

Добуток дільників дорівнює 10⁹

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що якщо перемножити всі дільники числа nn, то отримаємо 10910^{9}. Доведіть, що знайдені вами числа nn справді підходять і що інших таких чисел немає. (Примітка: натуральне число nn — це додатне ціле число, тобто nn — одне з чисел 1, 2, 3, …. Дільник числа nn — це натуральне число, яке ділить nn без остачі. Наприклад, 5 є дільником числа 30, бо 30÷5=630 \div 5=6; але 5 не є дільником числа 47, бо 47÷5=947 \div 5=9 з остачею 2. У цій задачі ми розглядаємо лише додатні цілі числа nn і додатні цілі дільники числа nn. Так, наприклад, перемноживши всі дільники числа 6, отримаємо 36.)
6–8 класиКількість дільників τ(n)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-004

Периметр трикутника в квадраті з кутовою умовою

Площа квадрата ABCDABCD дорівнює 196 см2196~\text{см}^2. Точка EE лежить усередині квадрата, на однакових відстанях від точок DD і CC, і така, що ∠DEC=150∘\angle DEC = 150^\circ. Чому дорівнює периметр △ABE\triangle ABE? Доведіть, що ваша відповідь правильна.
6–8 класиРівнобедрений та рівносторонній т…3 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-005

Прямокутники на сторонах опуклого многокутника

Розглянемо опуклий nn-кутник A1A2⋯AnA_{1} A_{2} \cdots A_{n}. (Зауваження: в опуклому многокутнику всі внутрішні кути менші за 180∘180^{\circ}.) Нехай hh — додатне число. Використовуючи сторони многокутника як основи, побудуємо nn прямокутників, кожен висоти hh, так, щоб кожен прямокутник або цілком містився всередині nn-кутника, або частково перетинав внутрішність nn-кутника. Як приклад, на рисунку ліворуч нижче показано п'ятикутник із правильною конфігурацією прямокутників, а на рисунку праворуч — неправильна конфігурація прямокутників (оскільки деякі з прямокутників не перетинаються з п'ятикутником): (a) Правильно (b) Неправильно Доведіть, що завжди можна вибрати число hh так, щоб прямокутники повністю покривали внутрішність nn-кутника, а сумарна площа прямокутників була не більшою за подвоєну площу nn-кутника.
6–8 класиПокриття, пакування, фарбування
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-006

Суми вздовж шляхів у таблиці множення

Розглянемо наведену нижче «таблицю множення» розміром 4×44 \times 4. Числа з першого стовпця, помножені на числа з першого рядка, дають решту чисел таблиці. Наприклад, 33 з першого стовпця, помножене на 44 з першого рядка, дає 12 (=3⋅4)12\ (=3 \cdot 4) у клітинці, розташованій у 33-му рядку та 44-му стовпці. | | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | | 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | | 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | | 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | Побудуємо шлях з верхньої лівої клітинки до нижньої правої, щоразу рухаючись на одну клітинку вправо або вниз. Наприклад, нижче наведено один із таких можливих шляхів, причому всі числа вздовж шляху обведені колом: | | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | | 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | | 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | | 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | Якщо додати обведені числа в прикладі вище (включно з початковою та кінцевою клітинками), отримаємо 4848. Розгляньмо всі такі можливі шляхи: а. Яку найменшу суму можна отримати, додаючи числа вздовж такого шляху? Доведіть, що ваша відповідь правильна. б. Яку найбільшу суму можна отримати, додаючи числа вздовж такого шляху? Доведіть, що ваша відповідь правильна.
6–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-007

Розфарбування ребер тетраедра з урахуванням симетрій

Два тривимірні тіла вважаються однаково розфарбованими, якщо одне з них можна зорієнтувати (перемістивши або повернувши) так, що воно стане невідмінним від другого. Наприклад, нехай на столі стоять два одиничні куби, причому всі грані одного куба чорні, крім верхньої, яка червона, а всі грані другого куба чорні, крім нижньої, яка пофарбована в червоний колір. Тоді ці два куби мають однакове розфарбування. Скількома різними способами можна розфарбувати ребра правильного тетраедра, пофарбувавши два ребра в червоний колір, два ребра — у чорний і два ребра — у зелений? (Правильний тетраедр має чотири грані, кожна з яких — рівносторонній трикутник. На рисунку нижче зображено одне з розфарбувань тетраедра, де товсті, тонкі та пунктирні лінії позначають три кольори.)
6–8 класиГеометричні розфарбування2 розв’язки
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-001

Підйом сходами кроками по 2 і по 5

Двоє людей, AA і BB, піднімаються сходами, що мають певну кількість сходинок. AA за один крок долає 2 сходинки, а BB за один крок долає 5 сходинок, за винятком того, що якщо перед останнім кроком у AA залишилася лише 1 сходинка, то він долає лише 1 сходинку, щоб завершити підйом, а якщо перед останнім кроком у BB залишилося 4 або менше сходинок, то BB долає всі сходинки, що залишилися, щоб завершити підйом. BB зробив на 6 кроків менше, ніж AA, щоб піднятися цими сходами. Знайдіть усі можливі кількості сходинок цих сходів.
7–9 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-011

П'ятикутник із квадратом та умовою вписаності

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п'ятикутник, у якому чотирикутник ABCDABCD є квадратом. Якщо ∠AEC+∠BED=180∘\angle AEC + \angle BED = 180^\circ, доведіть, що п'ятикутник ABCDEABCDE вписаний у коло. Тут під опуклим п'ятикутником ми розуміємо п'ятикутник, у якого кожен із внутрішніх кутів менший від 180∘180^\circ.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-012

Переставні кратні 7 із цифрами від 1 до 7

Нехай кожна цифра натурального числа не менша за 11 і не більша за 77. Припустимо далі, що nn кратне 77 і кожне число, отримане перестановкою цифр числа nn, також кратне 77. Знайдіть усі такі числа nn.
7–9 класиАрифметика остач (базові властиво…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-002

Підрахунок паліндромних чисел до 2012

Натуральне число, цифра одиниць якого не дорівнює 0, називається паліндромним числом, якщо воно не змінюється, коли його цифри прочитати у зворотному порядку. Наприклад, число 1232112321 є паліндромним числом, оскільки число, отримане читанням його цифр у зворотному порядку, — це те саме 1232112321, а 12341234 — ні, оскільки при читанні його цифр у зворотному порядку отримуємо число 43214321. Скільки існує паліндромних чисел, не більших за 20122012?
7–9 класиПравила суму та добутку
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-013

Мінімальна початкова кількість позначок у таблиці

Нехай aa і bb — натуральні числа. Припустімо, що дано дошку a×ba \times b з квадратних клітинок і NN з abab квадратних клітинок дошки позначено ✓\checkmark. Виявилося можливим позначити всі abab клітинок, повторюючи таку процедуру: Процедура: якщо в якомусь рядку або стовпці позначено всі клітинки, крім однієї, то позначте й цю останню клітинку. Виразіть найменше можливе значення NN, за якого це можливо, через aa і bb.
7–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-003

Шестикутник із квадратів на сторонах трикутника

Зовні трикутника ABCABC побудовано 3 квадрати PQBAPQBA, RSCBRSCB і TUACTUAC, кожен з яких має одну зі сторін трикутника як одну зі своїх сторін. Якщо AB=3AB = 3, BC=4BC = 4 і CA=3CA = 3, знайдіть площу шестикутника PQRSTUPQRSTU. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначаємо через XYXY.
7–9 класиПоворот
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-004

Паралельні відрізки в чотирикутнику

Точка EE лежить на стороні DADA чотирикутника ABCDABCD так, що прямі ABAB і ECEC паралельні. Якщо AB=3AB = 3, BC=3BC = 3, CD=5CD = 5, DE=3DE = 3 і EA=2EA = 2, знайдіть довжину відрізка ECEC. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначаємо через XYXY.
7–9 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-014

Трикутник з кутом 30° і кут PMQ

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ. Виберемо точку XX всередині трикутника ABCABC так, щоб ∠XBC=∠XCB=30∘\angle XBC = \angle XCB = 30^\circ. Також візьмемо точки PP і QQ на прямих BXBX і CXCX відповідно так, щоб виконувалися рівності AP=BPAP = BP і AQ=CQAQ = CQ. Нехай MM — середина відрізка BCBC. Доведіть, що ∠PMQ=90∘\angle PMQ = 90^\circ.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-005

Четвірки цифр із симетричним рівнянням

Скільки існує четвірок (a,b,c,d)(a, b, c, d) з одноцифрових натуральних чисел, які задовольняють a+bcd=ab+cda + bcd = ab + cd?
7–9 класиМетод факторизації (розкладання н…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.