Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

9 153 задачі
Закордонні олімпіади
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-034

Дисфеноїд з цілочисельними різносторонніми гранями

Дисфеноїд — це тетраедр, усі трикутні грані якого конгруентні між собою. Яка найменша площа повної поверхні дисфеноїда, грані якого є різносторонніми трикутниками з цілими довжинами сторін? (A) 3\sqrt{3} (B) 3153\sqrt{15} (C) 15 (D) 15715\sqrt{7} (E) 24624\sqrt{6}
10–11 класиПлоща трикутника
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-035

Симетрія графіка дробово-лінійної функції

Графік симетричний відносно прямої, якщо він не змінюється після відбиття відносно цієї прямої. Для скількох четвірок цілих чисел (a,b,c,d)(a, b, c, d), де ∣a∣,∣b∣,∣c∣,∣d∣≤5|a|, |b|, |c|, |d| \le 5 і cc та dd не дорівнюють одночасно 00, графік y=ax+bcx+dy = \frac{ax + b}{cx + d} симетричний відносно прямої y=xy = x?
10–11 класиСиметрія
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-036

Незалежність кольору та візерунка на кульках

Пабло прикрасить кожну з 6 однакових білих кульок смугастим або крапчастим візерунком, використовуючи червону або синю фарбу. Він вирішуватиме колір і візерунок для кожної кульки, підкидаючи чесну монету для кожного з 12 рішень, які він повинен прийняти. Після висихання фарби він помістить 6 кульок в урну. Фріда випадковим чином вибере одну кульку з урни і відзначить її колір і візерунок. Події «кулька, яку вибирає Фріда, червона» та «кулька, яку вибирає Фріда, смугаста» можуть бути або не бути незалежними, залежно від результату підкидань монети Пабло. Ймовірність того, що ці дві події є незалежними, може бути записана як mn\frac{m}{n}, де mm і nn — взаємно прості додатні цілі числа. Чому дорівнює mm? (Нагадаємо, що дві події AA і BB є незалежними, якщо P(A і B)=P(A)⋅P(B)P(A \text{ і } B) = P(A) \cdot P(B).) (A) 243 (B) 245 (C) 247 (D) 249 (E) 251
10–11 класиКомбінації
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2024-004

Многочлени з відношенням f(3x)/f(x) = 729(x-3)/(x-243)

Знайдіть усі многочлени ff, що задовольняють рівняння f(3x)f(x)=729(x−3)x−243\frac{f(3x)}{f(x)} = \frac{729(x-3)}{x-243} для нескінченно багатьох дійсних значень xx.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2024-005

Розселення кроликів на цілочисельній прямій

Підземна нора складається з нескінченної послідовності кімнат, занумерованих цілими числами …,−3,−2,−1,0,1,2,3,…\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots. Спочатку деякі з кімнат зайняті одним або кількома кроликами. Кожен кролик хоче бути сам. Тому, якщо в одній кімнаті (скажімо, в кімнаті mm) є двоє або більше кроликів, то половина кроликів (з округленням униз) втече до кімнати m−1m-1, а половина (також з округленням униз) — до кімнати m+1m+1. Раз на хвилину це відбувається одночасно в усіх кімнатах, де є двоє або більше кроликів. Наприклад, якщо спочатку всі кімнати порожні, крім 5 кроликів у кімнаті №12 і 2 кроликів у кімнаті №13, то через хвилину в кімнатах №11–№14 буде відповідно 2, 2, 2 і 1 кролики, а всі інші кімнати будуть порожні. Тепер припустимо, що спочатку в кімнаті kk є k+1k+1 кроликів для кожного k=0,1,2,…,9,10k=0,1,2, \ldots, 9,10, а всі інші кімнати порожні. a. Доведіть, що зрештою кролики перестануть рухатися. b. Визначте, які кімнати будуть зайняті, коли це станеться.
10–11 класиНапівінваріанти
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2024-007

Дві фігури з переліку та пряма, що ділить навпіл

Мама Амелії пропонує гру. «Вибери дві з наведених нижче фігур», — каже вона Амелії. (Фігури — це рівносторонній трикутник, паралелограм, рівнобічна трапеція, дельтоїд та еліпс. Фігури зображені в масштабі.) Мама Амелії продовжує: «Я намалюю ці дві фігури на аркуші паперу у будь-якому положенні та орієнтації, які сама оберу, так, щоб вони не перекривалися. Потім ти проведеш пряму лінію, що розрізає обидві фігури, причому кожна фігура має розділитися на дві рівні половини.» Які дві фігури слід вибрати Амелії, щоб вона гарантовано змогла це зробити? Для такого вибору фігур поясніть, як Амелія може провести свою пряму, яка властивість цих фігур дає їй таку змогу і чому це не спрацює з жодною іншою парою цих фігур.
6–8 класиСиметрія
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2024-006

Маніпуляція більшістю у двоетапних виборах

Школі потрібно обрати президента. У школі 121 учень, кожен з яких належить до одного з двох племен: Геометрів або Алгебраїстів. На посаду президента балотуються два кандидати: один Геометр і один Алгебраїст. Геометри голосують лише за Геометрів, а Алгебраїсти — лише за Алгебраїстів. Алгебраїстів більше, ніж Геометрів, але Геометри винахідливі. Вони переконують школу, що така двоетапна процедура є справедливішою: a. Школу поділяють на 11 груп, по 11 учнів у кожній групі. Кожна група обирає представника для етапу 2. b. 11 обраних представників обирають президента. Геометри не лише добиваються затвердження цієї двоетапної процедури, а й самі беруться розподілити учнів по групах для етапу 1. Яка найменша кількість Геометрів у школі гарантує, що вони зможуть обрати президентом Геометра? (На будь-якому етапі голосування перемагає більшість.)
6–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2024-001

Перемикання пентоміно на дошці n×n

Маємо дошку розміром n×nn \times n, де n≥3n \ge 3, кожне поле якої можна розфарбувати в білий або чорний колір окремо. Кожним ходом ми змінюємо колір п'яти обраних полів, що утворюють наступну фігуру пентоміно (її дозволено повертати). На початку всі поля білі. Визначте, для яких nn можливо зробити всі поля чорними за скінченну кількість ходів.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2024-001

Відбиття від бісектрис інцентра і перпендикулярність

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II. Припустімо, що пряма, симетрична прямій ABAB відносно CICI, і пряма, симетрична прямій ACAC відносно BIBI, перетинаються в точці XX. Доведіть, що пряма XIXI перпендикулярна до BCBC. (Інцентр — це точка перетину трьох бісектрис кутів.)
10–11 класиСиметрія
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2024-002

Факторіали як добутки сусідніх чисел на колі

Джейн записує 2024 натуральні числа по колу. Вона хоче, щоб 2024 добутки сусідніх пар чисел були саме множиною {1!,2!,…,2024!}\{1!, 2!, \ldots, 2024!\}. Чи зможе вона це зробити?
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2024-003

Кількість незвідних многочленів за десятизначними числами

Нехай NN — кількість натуральних чисел із 10 цифр d9d8⋯d1d0‾\overline{d_{9} d_{8} \cdots d_{1} d_{0}} у десятковому записі (де 0≤di≤90 \leq d_{i} \leq 9 для всіх ii і d9>0d_{9}>0), для яких многочлен d9x9+d8x8+⋯+d1x+d0d_{9} x^{9}+d_{8} x^{8}+\cdots+d_{1} x+d_{0} є незвідним над Q\mathbb{Q}. Доведіть, що NN — парне. (Многочлен є незвідним над Q\mathbb{Q}, якщо його не можна розкласти в добуток двох несталих многочленів з раціональними коефіцієнтами.)
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2024-004

Мінімальна кількість детекторів для пошуку скарбу на сітці

Багато століть тому пірат капітан Блекборд закопав величезний скарб в одній клітинці острова-сітки M×NM \times N (2≤M,N2 \leq M, N). Ви зі своєю командою дісталися острова і привезли спеціальні детектори скарбів, щоб знайти клітинку зі скарбом. Для кожного детектора ви можете налаштувати його на сканування конкретної підсітки [a,b]×[c,d][a, b] \times [c, d], де 1≤a≤b≤M1 \leq a \leq b \leq M і 1≤c≤d≤N1 \leq c \leq d \leq N. Запуск детектора повідомить вам, чи є скарб у цій області, чи ні, хоча він не може сказати, де саме в цій області виявлено скарб. Ви плануєте встановити QQ детекторів, які можна буде запустити одночасно лише після того, як усі QQ детекторів будуть готові. Знайдіть, залежно від MM і NN, мінімальне QQ, необхідне, щоб гарантувати, що ваша команда зможе визначити місцезнаходження легендарного скарбу Блекборда.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2024-005

Побудова ортоцентра паралельною лінійкою

Спочатку на площині позначено три неколінеарні точки AA, BB і CC. Ви маєте олівець і двобічну лінійку шириною 1. З їх допомогою ви можете виконувати такі операції: - Позначити довільну точку на площині. - Позначити довільну точку на вже проведеній прямій. - Якщо позначено дві точки P1P_1 і P2P_2, провести пряму, що сполучає P1P_1 і P2P_2. - Якщо проведено дві непаралельні прямі ℓ1\ell_1 і ℓ2\ell_2, позначити перетин прямих ℓ1\ell_1 і ℓ2\ell_2. - Якщо проведено пряму ℓ\ell, провести пряму, паралельну до ℓ\ell, що знаходиться на відстані 1 від ℓ\ell (зауважте, що можна провести дві такі прямі). Доведіть, що за допомогою цих операцій можна позначити ортоцентр трикутника ABCA B C.
10–11 класиЗадачі на побудову (алгоритмічна…2 розв’язки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-007

Розклад для учнів із попарними обмеженнями

Учителька хоче присвятити ранок розв'язуванню олімпіадних задач у командах разом із класом. Для цього вона підготувала шість великих столів. За кожним столом кілька учнів можуть разом працювати над задачею. Кожному столу відповідає задача; є три різні задачі, кожна на двох столах. Є три тури, у кожному з яких кожен учень сидить за одним зі столів. Учителька хоче скласти розклад так, щоб після трьох турів кожен учень попрацював над усіма задачами по одному разу. Крім того, вона хоче, щоб кожна пара учнів сиділа за одним столом не більше одного разу. Яка найбільша кількість учнів, для якої такий розклад можливий?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-005

Стрибки коника по відрізку від 1 до n

Нехай nn — натуральне число. Коник стоїть на числовій прямій у точці 11 і кожного разу може стрибнути на довжину 22 або на довжину 33. Щоразу коник повинен приземлятися на ціле число від 11 до nn, де він ще не бував. Коник хоче відвідати всі цілі числа від 11 до nn рівно по одному разу й завершити на числі nn. Доведіть, що це можна зробити для всіх n≥9n \ge 9.
10–11 класиОстача від ділення
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-001

Пари простих чисел з показниковим рівнянням

Знайдіть усі пари простих чисел (p,q)(p, q), для яких існують додатні цілі числа (m,n)(m, n) такі, що (p+q)m=(p−q)n(p+q)^{m} = (p-q)^{n}
10–11 класиНСД та НСК
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-006

Максимальна кількість ходів у бінарному слові

Єва розглядає «слова», що складаються з nn символів, кожен з яких дорівнює ‘L’ або ‘R’. За один хід Єва може замінити ‘RL’ будь-де у слові на ‘LR’. Наприклад, за два ходи вона перетворює слово ‘LRRLRRRLR’ на слово ‘LRLRRRLRR’. Якщо немає ‘L’ одразу праворуч від ‘R’, Єва не може зробити хід. a. Єва має таке слово довжини nn. Доведіть, що Єва може зробити лише скінченну кількість ходів. b. Нехай n>1n > 1 і ℓ\ell таке, що 0<ℓ<n0 < \ell < n. Для кожного слова довжини nn з рівно ℓ\ell символами ‘L’ Єва записує, скільки ходів щонайбільше вона може зробити. Яке найбільше число вона записала? (Відповідь дайте через nn і ℓ\ell.) Доведіть правильність вашої відповіді. Це означає: наведіть слово довжини nn з рівно ℓ\ell символами 'L', для якого досягається максимальна кількість ходів, і доведіть, що максимальна кількість ходів для всіх інших слів довжини nn з рівно ll символами 'L' не може бути більшою. c. Нехай n≥2n \ge 2. Для кожного слова довжини nn (з одним або більше символами 'L' та одним або більше символами 'R') Єва записує, скільки ходів щонайбільше вона може зробити. Скільки символів 'L' містить слово (або слова), для якого вона записала найбільше число? (Відповідь дайте через nn.)
10–11 класиНапівінваріанти
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-008

Шлях повернення зі стрибками

Міла стоїть на нескінченній дошці, поділеній на клітинки, і починає рухатися. nn-стрибок — це рух, під час якого Міла пересувається на одну клітинку вліво, вправо, вгору або вниз, а потім на nn клітинок у напрямку, перпендикулярному до попереднього. Нижче наведено приклад, де Міла починає із середньої клітинки зліва і спочатку робить 11-стрибок, потім 22-стрибок, а далі 33-стрибок, 44-стрибок і 55-стрибок. Припустімо, що Міла спочатку робить 11-стрибок, потім 22-стрибок, потім 33-стрибок, 44-стрибок і так далі. Нарешті вона робить mm-стрибок. Для яких натуральних чисел mm Міла може вибрати свої mm стрибків так, щоб повернутися у початкову клітинку?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-002

Послідовність з умовою на цілу частину

Означимо послідовність із a1=850a_{1}=850 і an+1=an2an−1a_{n+1} = \frac{a_{n}^{2}}{a_{n}-1} для n≥1n \geq 1. Знайдіть усі значення nn, для яких виконується ⌊an⌋=2024\left\lfloor a_{n}\right\rfloor=2024. При цьому ціла частина ⌊a⌋\lfloor a\rfloor дійсного числа aa означає найбільше ціле число, менше або рівне aa.
10–11 класиСуми послідовностей2 розв’язки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-009

Цілочисельні відношення степенів

Дано два натуральні числа aa і bb такі, що b3a4іa3b2\frac{b^3}{a^4} \quad \text{і} \quad \frac{a^3}{b^2} — обидва цілі числа, більші за 11. Яке найменше можливе значення суми a+ba + b?
10–11 класиКорені та степені
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-003

Функціональне рівняння з ітераціями

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел таких, що f(x)=xf(x)=x — єдина функція f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, яка задовольняє fa(x)fb(y)+fb(x)fa(y)=2xyf^{a}(x) f^{b}(y)+f^{b}(x) f^{a}(y)=2 x y для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Тут fn(x)f^{n}(x) позначає nn-разове застосування функції ff до xx, тобто f1(x)=f(x)f^{1}(x)=f(x) і fn+1(x)=f(fn(x))f^{n+1}(x)=f\left(f^{n}(x)\right).
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)2 розв’язки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-010

Рівносторонні трикутники на паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм з властивістю, що ∣AD∣=∣BD∣|AD| = |BD|. Нехай PP і QQ — точки такі, що △ADP\triangle ADP і △CDQ\triangle CDQ — рівносторонні трикутники, які не перетинаються з паралелограмом. Доведіть, що ∠PQD=30∘\angle PQD = 30^\circ.
10–11 класиОзнаки подібності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-011

Самоквадратичні коди та подільність

ℓ\ell-код — це ціле число n≥0n \ge 0, що має не більше ніж ℓ\ell цифр, за потреби доповнене нулями спереду, щоб загалом воно складалося з ℓ\ell цифр. Так, з 310 можна утворити 4-код, записавши його як 0310. ℓ\ell-код називається самоквадратичним, якщо останні ℓ\ell цифр квадрата цього коду утворюють саме вихідний ℓ\ell-код. Так, 1-коди 5 і 6 — самоквадратичні, а 3-код 006 — ні, бо 62=36=0366^2 = 36 = 036 не закінчується на 006. 2-код 76 — самоквадратичний, бо 762=577676^2 = 5776 закінчується на 76. a. Доведіть, що ℓ\ell-код nn є самоквадратичним тоді й лише тоді, коли n(n−1)n(n-1) ділиться на 10ℓ10^\ell. b. Доведіть, що будь-який самоквадратичний ℓ\ell-код n≥2n \ge 2 закінчується цифрою 5 або цифрою 6. c. Доведіть, що будь-який самоквадратичний ℓ\ell-код n≥2n \ge 2 можна продовжити до самоквадратичного (ℓ+1)(\ell+1)-коду рівно одним способом, дописавши спереду цифру. d. З (b) і (c) випливає, що для кожного ℓ\ell існує рівно два самоквадратичні ℓ\ell-коди m,n≥2m, n \ge 2. Чому дорівнює їхня сума m+nm+n (через ℓ\ell)?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-004

Точки на сторонах трикутника і рівні відрізки

Нехай △ABC\triangle A B C — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣<∣AC∣|A B|<|A C|. Дано точки DD і EE на відрізках ABA B і ACA C відповідно. Нехай PP — точка така, що ∣PB∣=∣PD∣|P B|=|P D| і ∣PC∣=∣PE∣|P C|=|P E|. Нехай XX — точка на дузі ACA C описаного кола трикутника △ABC\triangle A B C, яка не містить BB. Пряма XAX A перетинає описане коло трикутника △ADE\triangle A D E ще раз у точці YY. Доведіть, що ∣PX∣=∣PY∣|P X|=|P Y|.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-030

Найменша кількість з'їдених цукерок

У нерозкритій упаковці є червоні, зелені та сині цукерки, які важать 22 г, 55 г і 2525 г відповідно. Цукерок кожного кольору однакова кількість. Після того як Мері з'їла декілька цукерок із цієї упаковки, решта цукерок важить загалом рівно 787787 г. Знайдіть найменшу кількість цукерок, яку могла з'їсти Мері.
7 класДільники та кратні (базові власти…2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.