Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

9 153 задачі
Закордонні олімпіади
Відбіркові тести на IMOTST-2018-016

Функціональне рівняння із замкненістю множини

Дано множину AA функцій f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Для всіх f1,f2∈Af_1, f_2 \in A існує f3∈Af_3 \in A така, що f1(f2(y)−x)+2x=f3(x+y)f_1\left(f_2(y)-x\right)+2 x=f_3(x+y) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Доведіть, що для всіх f∈Af \in A виконується: f(x−f(x))=0f(x-f(x))=0
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-020

Дотик у трикутнику з вписаним колом

У нерівнобедреному трикутнику ABCABC точка II — центр вписаного кола. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає описане коло трикутника △ABC\triangle ABC ще раз у точці DD. Пряма через точку II, перпендикулярна до прямої ADAD, перетинає BCBC у точці FF. Середину дуги BCBC, на якій лежить AA, позначимо через MM. Пряма MIMI перетинає коло через B,IB, I і CC ще раз у точці NN. Доведіть, що пряма FNFN дотикається до кола через B,IB, I і CC.
10–11 класиТеорема про тризуб2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-017

Сума кутів у трикутнику з бісектрисою і центром описаного кола

У нерівнобедреному трикутнику △ABC\triangle A B C виконується ∠BAC=60∘\angle B A C=60^{\circ}. Нехай DD — точка перетину бісектриси кута ∠BAC\angle B A C зі стороною BCB C, OO — центр описаного кола трикутника △ABC\triangle A B C, а EE — точка перетину прямої AOA O з прямою BCB C. Доведіть, що ∠AED+∠ADO=90∘\angle A E D+\angle A D O=90^{\circ}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2018-018

Розбиття чисел до квадрата з відношенням сум

Нехай nn — парне натуральне число. Розіб'ємо числа 1,2,…,n21,2, \ldots, n^{2} на дві множини AA і BB з однаковою кількістю елементів так, щоб кожне з n2n^{2} чисел належало рівно одній з цих двох множин. Нехай SAS_{A} і SBS_{B} — суми всіх елементів множин AA і BB відповідно. Визначте всі nn, для яких існує таке розбиття, що SASB=3964\frac{S_{A}}{S_{B}}=\frac{39}{64}
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-033

Цілі корені квадратного тричлена з послідовними коефіцієнтами

Для цілого числа n>0n > 0 позначимо через F(n)\mathcal{F}(n) множину цілих чисел m>0m > 0, для яких многочлен p(x)=x2+mx+np(x) = x^2 + mx + n має цілий корінь. a. Нехай SS — множина цілих чисел n>0n > 0, для яких F(n)\mathcal{F}(n) містить два послідовні цілі числа. Доведіть, що SS нескінченна, але ∑n∈S1n≤1.\sum_{n \in S} \frac{1}{n} \le 1. b. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn, для яких F(n)\mathcal{F}(n) містить три послідовні цілі числа.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-039

Найбільше яскраве число з різними цифрами

Натуральне число nn, усі цифри якого різні, назвемо яскравим, якщо або nn — одноцифрове число, або існує дільник числа nn, який можна отримати викресленням однієї цифри числа nn і який сам є яскравим. Знайдіть найбільше яскраве натуральне число. (Вважаємо, що числа не починаються з нуля.)
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-021

Сума раціональних дробів дорівнює квадратному виразу

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть усі додатні дійсні числа xx, для яких nx2+22x+1+32x+2+…+(n+1)2x+n=nx+n(n+3)2.n x^{2} + \frac{2^{2}}{x+1} + \frac{3^{2}}{x+2} + \ldots + \frac{(n+1)^{2}}{x+n} = n x + \frac{n(n+3)}{2}.
10–11 класиПеретворення дробів
Відбіркові тести на IMOTST-2018-022

Оцінка кількості чорних клітинок на дошці

Нехай для натурального числа nn дано дошку n×nn \times n. Пофарбуємо kk клітинок у чорний колір так, щоб для будь-яких трьох стовпців існував щонайбільше один рядок, у якому всі клітинки на перетині з цими трьома стовпцями пофарбовано в чорний колір. Доведіть, що 2kn≤8n−7+1\frac{2 k}{n} \leq \sqrt{8 n-7}+1
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2018-034

Рівні кола з рівних хорд

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega, а HH — основа висоти, опущеної з AA на сторону BC‾\overline{BC}. Нехай PP і QQ — точки на колі ω\omega, для яких PA=PHPA = PH і QA=QHQA = QH. Дотична до кола ω\omega в точці PP перетинає прямі ACAC і ABAB у точках E1E_1 і F1F_1 відповідно; дотична до кола ω\omega в точці QQ перетинає прямі ACAC і ABAB у точках E2E_2 і F2F_2 відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників △AE1F1\triangle AE_1F_1 і △AE2F2\triangle AE_2F_2 рівні, а пряма, що проходить через їхні центри, паралельна дотичній до кола ω\omega в точці AA.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Відбіркові тести на IMOTST-2018-042

Послідовність фібоначчієвого типу з рекурентною сумою

Послідовність додатних дійсних чисел a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots задовольняє рівність an=an−1+an−2a_n = a_{n-1} + a_{n-2} при всіх n≥3n \ge 3. Послідовність b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \dots задана рівностями b1=a1b_1 = a_1, bn=an+(b1+b2+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_1 + b_2 + \dots + b_{n-1}) при парних n>1n > 1, bn=an+(b2+b4+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_2 + b_4 + \dots + b_{n-1}) при непарних n>1n > 1. Доведіть, що при n≥3n \ge 3 виконується 13<bnn⋅an<1\frac{1}{3} < \frac{b_n}{n \cdot a_n} < 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2018-023

Відношення хорд за умов про середини

Нехай AA, BB, CC і DD — чотири точки, що лежать на колі в цьому порядку. Припустимо, що існує точка KK на відрізку ABA B, така, що BDB D ділить навпіл відрізок KCK C, а ACA C ділить навпіл відрізок KDK D. Знайдіть найменше можливе значення, якого може набувати ∣ABCD∣\left|\frac{A B}{C D}\right|.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2018-035

Червоне розфарбування та парність кортежів

Нехай S={1,…,100}S = \{1, \dots, 100\}, і для кожного натурального числа nn визначимо Tn={(a1,…,an)∈Sn∣a1+⋯+an≡0(mod100)}.T_n = \{(a_1, \dots, a_n) \in S^n \mid a_1 + \dots + a_n \equiv 0 \pmod{100}\}. Визначте, для яких nn виконується така властивість: якщо пофарбувати будь-які 75 елементів множини SS у червоний колір, то принаймні половина nn-елементних кортежів із TnT_n має парну кількість координат із червоними елементами.
10–11 класиКомплексні числа
Відбіркові тести на IMOTST-2018-043

Сторони трикутника з позначеними точками та умовами з'єднання

Нехай kk — додатне ціле число. Знайдіть усі додатні цілі числа nn такі, що можна позначити nn точок на сторонах трикутника (відмінних від його вершин) і з'єднати деякі з них лініями таким чином, щоб виконувалися такі умови: 1) на кожній стороні є принаймні 1 позначена точка; 2) для кожної пари точок XX і YY, позначених на різних сторонах, на третій стороні існує рівно kk позначених точок, які з'єднані як з XX, так і з YY, і рівно kk точок, які не з'єднані ні з XX, ні з YY.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2018-024

Мінімальна кількість обмінів для збалансованих послідовностей

Нехай nn — натуральне число. Послідовність, що складається з 3n3 n літер, назвемо румунською, якщо літери I,MI, M і OO трапляються кожна рівно nn разів. Обмін — це переставлення двох сусідніх літер. Доведіть, що для кожної румунської послідовності XX існує румунська послідовність YY така, що для отримання послідовності YY з послідовності XX потрібно щонайменше 3n22\frac{3 n^{2}}{2} обмінів.
10–11 класиПерестановки2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-036

Найбільша сума стрибків, довжини яких — степені двійки

Нехай nn — натуральне число. Жаба стартує на числовій прямій у точці 00. Припустімо, вона робить скінченну послідовність стрибків за двох умов: жаба відвідує лише точки з {1,2,…,2n−1}\{1, 2, \dots, 2^n - 1\}, причому кожну щонайбільше один раз; довжина кожного стрибка належить множині {20,21,22,… }\{2^0, 2^1, 2^2, \dots\}. (Стрибки можуть бути в будь-який бік, ліворуч чи праворуч.) Нехай SS — сума (додатних) довжин усіх стрибків у послідовності. Яке найбільше можливе значення SS?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-044

Прості многочлени з подільними значеннями

Простим многочленом назвемо многочлен P(x)P(x), коефіцієнти якого належать множині {−1,0,1}\{-1, 0, 1\}. Нехай nn — натуральне число, n>1n > 1. Знайдіть найменшу можливу кількість ненульових коефіцієнтів у простому многочлені nn-го степеня, значення якого при всіх цілих аргументах діляться на nn.
10–11 класиТеорема Ейлера
Відбіркові тести на IMOTST-2018-025

Парність суми біноміальних коефіцієнтів за модулем два

Знайти всі натуральні числа n≥2n \geq 2 такі, що для всіх цілих чисел 0≤i,j≤n0 \leq i, j \leq n: i+j≡(ni)+(nj)( mod 2)i+j \equiv \binom{n}{i}+\binom{n}{j} \quad(\bmod 2)
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-037

Квадрати n², що ділять bⁿ + 1

Для яких натуральних чисел b>2b > 2 існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що n2n^2 ділить bn+1b^n + 1? Ця задача є своєрідним об'єднанням задач IMO 1990/3 та IMO 2000/5.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-026

Нерівність з добутками квадратних тричленів і різниць

Нехай aa, bb, cc, dd — дійсні числа. Доведіть: (a2−a+1)(b2−b+1)(c2−c+1)(d2−d+1)≥916(a−b)(b−c)(c−d)(d−a)\left(a^{2}-a+1\right)\left(b^{2}-b+1\right)\left(c^{2}-c+1\right)\left(d^{2}-d+1\right) \geq \frac{9}{16}(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2018-038

Паралельне перенесення многокутника, що мінімізує перекриття

Доведіть, що існує абсолютна стала c<1c < 1 з такою властивістю: для будь-якого многокутника P\mathcal{P} площі 1 на площині його можна перенести на відстань 1100\frac{1}{100} у деякому напрямку, отримавши многокутник Q\mathcal{Q}, для якого перетин внутрішностей P\mathcal{P} і Q\mathcal{Q} має сумарну площу, не більшу за cc.
10–11 класиПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-027

Перетин прямих у трикутнику з побудованими точками

Нехай ABCABC — трикутник, MM — середина відрізка BCBC, а DD — точка на прямій ABAB, така, що BB лежить між AA і DD. Нехай EE — точка з іншого боку від прямої CDCD, ніж BB, така, що ∠EDC=∠ACB\angle EDC = \angle ACB і ∠DCE=∠BAC\angle DCE = \angle BAC. Нехай FF — перетин прямої CECE з прямою, паралельною до DEDE, що проходить через AA, а ZZ — перетин прямих AEAE і DFDF. Доведіть, що прямі ACAC, BFBF і MZMZ перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2018-028

Функціональне рівняння з невід'ємною функцією

Знайдіть усі пари (f,g)(f, g) функцій f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} - f(x)≥0f(x) \geq 0, - f(x+g(y))=f(x)+f(y)+2yg(x)−f(y−g(y))f(x+g(y))=f(x)+f(y)+2 y g(x)-f(y-g(y)).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-029

Квадратні значення добутку дільників у грі

Давид і Лінус грають у таку гру: Давид вибирає підмножину QQ множини {1,…,2018}\{1, \ldots, 2018\}. Потім Лінус вибирає натуральне число a1a_{1} і обчислює числа a2,…,a2018a_{2}, \ldots, a_{2018} рекурсивно, причому an+1a_{n+1} — це добуток додатних дільників числа ana_{n}. Нехай PP — множина натуральних чисел k∈{1,…,2018}k \in\{1, \ldots, 2018\}, для яких aka_{k} є квадратом. Лінус виграє, якщо P=QP=Q. Інакше виграє Давид. Хто має виграшну стратегію?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-002

Двійкові послідовності, що містять 01

Скільки існує послідовностей чисел довжиною вісім, складених лише з 0 і 1, які містять код 01? (A) 64 (B) 128 (C) 192 (D) 247 (E) 255
10–11 класиПравила суму та добутку
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-009

Найменший дільник зсунутого числа

Нехай NN — ціле число, більше за 11. Позначимо через xx найменше додатне ціле число з такою властивістю: існує додатне ціле число yy, строго менше за x−1x-1, таке, що xx ділить N+yN+y. Доведіть, що xx є подвоєним простим числом або степенем простого числа. Зауваження: нагадаємо, що xx є степенем простого числа, якщо існують просте число pp і додатне ціле число n≥1n \geq 1 такі, що x=pnx=p^{n}.
10–11 класиОсновна теорема арифметики

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.