Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

9 153 задачі
Закордонні олімпіади
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-003

Функції з рівністю f(m) + f(n) = f(mn) + f(m + n + mn)

Знайдіть усі функції ff з дійсними значеннями, визначені на множині всіх цілих чисел, які задовольняють таку тотожність для довільної пари m,nm, n цілих чисел: f(m)+f(n)=f(mn)+f(m+n+mn).f(m) + f(n) = f(mn) + f(m + n + mn).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-004

Зростаюча послідовність із квадратними середніми

Нехай nn — ціле число, не менше за 22. Знайдіть найменше натуральне число mm, для якого існує послідовність a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n натуральних чисел, що задовольняє такі дві умови: a1<a2<⋯<an=ma_1 < a_2 < \dots < a_n = m. Усі n−1n-1 чисел a12+a222,…,an−12+an22\frac{a_1^2 + a_2^2}{2}, \dots, \frac{a_{n-1}^2 + a_n^2}{2} є повними квадратами.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-005

П'ятикутник, утворений перетином хорд

На колі радіуса 11 у вказаному порядку розміщено точки A1A_1, A2A_2, A3A_3, A4A_4, A5A_5, які задовольняють умову ∠A5A2A4=∠A1A3A5=∠A2A4A1=∠A3A5A2=30∘.\angle A_5A_2A_4 = \angle A_1A_3A_5 = \angle A_2A_4A_1 = \angle A_3A_5A_2 = 30^{\circ}. Нехай B1B_1, B2B_2, B3B_3, B4B_4, B5B_5 — точки перетину відрізків A2A4A_2A_4 і A3A5A_3A_5, A3A5A_3A_5 і A4A1A_4A_1, A4A1A_4A_1 і A5A2A_5A_2, A5A2A_5A_2 і A1A3A_1A_3, A1A3A_1A_3 і A2A4A_2A_4 відповідно. Знайдіть площу п'ятикутника B1B2B3B4B5B_1B_2B_3B_4B_5.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-006

Коефіцієнти при парних степенях добутку кубів

Нехай для kk, 0≤k≤90 \le k \le 9, aka_k — коефіцієнт при xkx^k у многочлені (x+1)3(x+2)3(x+3)3(x+1)^3(x+2)^3(x+3)^3. Знайдіть значення a2+a4+a6+a8a_2 + a_4 + a_6 + a_8.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-016

Рівні кути від основи до спільної хорди кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник і нехай HH — його ортоцентр. Припустімо, що коло, яке проходить через точки BB, CC, і коло, що має відрізок AHAH своїм діаметром, перетинаються у двох різних точках XX і YY. Нехай DD — основа перпендикуляра, проведеного з AA до прямої BCBC, а KK — основа перпендикуляра, проведеного з DD до прямої XYXY. Доведіть, що виконується рівність ∠BKD=∠CKD\angle BKD = \angle CKD.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-017

Перетини ортогональної замкненої ламаної

Нехай nn — натуральне число. Точки P1,P2,…,P4nP_1, P_2, \dots, P_{4n} розміщено на площині так, що жодні 3 точки серед них не лежать на одній прямій. Крім того, для кожного i=1,2,…,4ni = 1, 2, \dots, 4n, якщо півпряму PiPi−1P_i P_{i-1} з початком у точці PiP_i повернути навколо точки PiP_i на 90∘90^\circ за годинниковою стрілкою, то вона перейде у півпряму PiPi+1P_i P_{i+1} з початком у точці PiP_i. Визначте найбільшу можливу кількість пар (i,j)(i, j), для яких відрізки PiPi+1P_i P_{i+1} і PjPj+1P_j P_{j+1} перетинаються в точці, відмінній від кінців цих відрізків. Тут покладаємо P0=P4n,P4n+1=P1P_0 = P_{4n}, P_{4n+1} = P_1 і вважаємо, що 1≤i<j≤4n1 \le i < j \le 4n.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-012

Дотичні в точках перетину кіл і відношення радіусів

Два кола O1O_1 і O2O_2 перетинаються у двох різних точках PP і QQ. Дотична до кола O1O_1 в точці PP перетинає коло O2O_2 в точці RR, відмінній від PP, а дотична до кола O2O_2 в точці QQ перетинає коло O1O_1 в точці SS, відмінній від QQ. Нехай XX — точка перетину двох прямих PRPR і QSQS. Якщо XR=9XR = 9 і XS=2XS = 2, чому дорівнює відношення r1r2\frac{r_1}{r_2}, де r1r_1 і r2r_2 — радіуси кіл O1,O2O_1, O_2 відповідно? Тут через YZYZ позначено довжину відрізка YZYZ.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-007

Розподіл тортів з умовою мажорування

Є по 2424 шматки тортів двох різних видів AA і BB. Усі торти розподілять між трьома людьми XX, YY, ZZ. Допускаються розподіли, за яких хтось може не отримати жодного шматка торта певного виду. Скільки існує різних способів розподілити торти так, щоб для жодної пари людей не виникла описана нижче ситуація? Один з них отримує aa шматків AA і bb шматків BB, а інший — a′a' шматків AA і b′b' шматків BB, де виконуються всі умови a≤a′a \le a', b≤b′b \le b' і a+b<a′+b′a+b < a'+b'.
10–11 класиКомбінації
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-013

Невід'ємні розв'язки рівняння з сумою квадратів

Скільки існує наборів (x1,x2,…,x25)(x_1, x_2, \dots, x_{25}) із 25 невід'ємних цілих чисел, які задовольняють таку рівність? x12+x22+⋯+x252=2+x1x2+x2x3+⋯+x24x25.x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{25}^2 = 2 + x_1x_2 + x_2x_3 + \dots + x_{24}x_{25}.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-008

Коло, дотичне до чотирьох кіл з центрами у вершинах

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому відрізки ACAC і BDBD перетинаються в точці XX під прямим кутом. Припустімо, що AX=5AX = 5, BX=6BX = 6 і CX=20CX = 20. Позначимо через O1,O2,O3O_1, O_2, O_3 і O4O_4 відповідно коло з центром у точці AA і радіусом AXAX, коло з центром у точці BB і радіусом BXBX, коло з центром у точці CC і радіусом CXCX та коло з центром у точці DD і радіусом DXDX. Знайдіть значення DXDX, якщо існує коло, яке дотикається до всіх кіл O1,O2,O3O_1, O_2, O_3 і O4O_4. Тут через YZYZ позначено довжину відрізка YZYZ.
10–11 класиМетод координат
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-015

Малі дільники числа 10ⁿ−1

Знайдіть усі дільники kk числа 102013−110^{2013} - 1, для яких 1≤k≤1001 \le k \le 100.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-009

Перевертання карток з цілою частиною

Є 2013 карток з номерами 00, 11, 22, …\ldots, 20122012. Спочатку всі картки лежать числом, що на них написане, донизу. Далі для кожного i=1,2,…,2013i = 1, 2, \dots, 2013 виконуємо таку операцію ii, починаючи з i=1i = 1 у порядку зростання і закінчуючи i=2013i = 2013: Операція ii: перевернути кожну з ii карток з номером ⌊2013ji⌋\left\lfloor \frac{2013j}{i} \right\rfloor для j=0,1,…,i−1j = 0, 1, \dots, i - 1. Скільки карток наприкінці всіх операцій лежатимуть числами догори (показуючи свої номери)? Тут через ⌊r⌋\lfloor r \rfloor для кожного дійсного числа rr позначаємо найбільше ціле число, що не перевищує rr.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-010

Орієнтовані решіткові квадрати в кубі

Нехай nn — натуральне число. Під точкою решітки в xyzxyz-просторі розуміємо точку (k,l,m)(k, l, m), де k,l,mk, l, m — цілі числа. Відрізок, що сполучає дві точки решітки, які містяться в області 0≤x,y,z≤n0 \le x, y, z \le n і відстань між якими дорівнює 1, називається решітковим відрізком. Кожному решітковому відрізку можна надати напрям (наприклад, для решіткового відрізка з кінцями AA і BB надати один і лише один із напрямів A→BA \rightarrow B або A←BA \leftarrow B). Квадрат назвемо решітковим квадратом, якщо всі чотири його сторони є решітковими відрізками. Будемо казати, що два решіткові квадрати конгруентні, якщо поворотом і паралельним перенесенням один із квадратів можна накласти на інший квадрат з додатковою вимогою, щоб напрями всіх чотирьох сторін збігалися. Скільки існує способів надання напрямів решітковим відрізкам, які забезпечують, що всі решіткові квадрати конгруентні?
10–11 класиПарність і непарність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-011

Обмеження на відношення добутків членів послідовності

Нехай a1,a2,…a_1, a_2, \dots — нескінченна послідовність різних ненульових дійсних чисел, для якої ai+1ai+ai+1ai+2\frac{a_{i+1}}{a_i} + \frac{a_{i+1}}{a_{i+2}} набуває одного й того самого значення, що лежить між 0 і 2, для кожного i≥1i \ge 1. Виразіть через a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 найменше число cc, яке задовольняє таку умову: Умова: для будь-яких натуральних чисел x<yx < y виконується нерівність axax+1+ax+1ax+2+⋯+ay−1ayaxay≤c.\frac{a_x a_{x+1} + a_{x+1} a_{x+2} + \dots + a_{y-1} a_y}{a_x a_y} \le c.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-005

Рівні відстані від точки перетину

Нехай ABCABC — трикутник, для якого ∠B>∠C\angle B > \angle C, і нехай DD — точка на стороні ACAC така, що ∠ADC=∠C\angle ADC = \angle C. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, а EE — точка перетину описаного кола трикутника CDICDI з прямою AIAI, відмінна від II. Нехай PP — точка перетину прямої BDBD з прямою, паралельною ABAB, що проходить через EE. Нехай JJ — інцентр трикутника ABDABD, а A′A' — точка, симетрична точці AA відносно II. Припустімо, що прямі JPJP і A′CA'C перетинаються в точці QQ. Доведіть, що QJ=QA′QJ = QA'.
10–11 класиТеорема Менелая
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-001

Функціональне рівняння з квадратичною умовою

Знайдіть усі функції f:R→[0,∞)f : \mathbb{R} \to [0, \infty) такі, що для всіх дійсних чисел a,b,c,da, b, c, d, які задовольняють умову ab+bc+cd=0ab + bc + cd = 0, виконується рівність: f(a−b)+f(c−d)=f(a)+f(b+c)+f(d)f(a - b) + f(c - d) = f(a) + f(b + c) + f(d) (Тут R\mathbb{R} — множина дійсних чисел, а [0,∞)[0, \infty) — множина невід'ємних дійсних чисел.)
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-006

Максимум суми попарних добутків

Нехай n≥2n \ge 2 — натуральне число. Визначимо множину TT так: T={(i,j):1≤i<j≤n і i∣j}.T = \{ (i, j) : 1 \le i < j \le n \text{ і } i \mid j \}. Для невід’ємних дійсних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n, які задовольняють умову x1+x2+⋯+xn=1x_1 + x_2 + \dots + x_n = 1, знайдіть найбільше значення (як функцію від nn) виразу ∑(i,j)∈Txixj.\sum_{(i,j) \in T} x_i x_j.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-004

Хорда через центри зовнівписаних кіл і дотик до описаного кола

Нехай B1B_1, C1C_1 — центри зовнівписаних кіл трикутника ABCABC, що відповідають BB, CC відповідно. Пряма B1C1B_1C_1 перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці DD (≠A\neq A). Нехай EE — точка перетину перпендикуляра до прямої CACA, проведеного через B1B_1, і перпендикуляра до прямої ABAB, проведеного через C1C_1. Нехай ω\omega — описане коло трикутника ADEADE. Дотична до кола ω\omega у точці DD перетинає пряму AEAE у точці FF. Перпендикуляр з DD до прямої AEAE перетинає AEAE у точці GG, а коло ω\omega — вдруге у точці HH (≠D\neq D). Описане коло трикутника HGFHGF перетинає ω\omega у точці II (≠H\neq H). Нехай JJ — основа перпендикуляра з DD до прямої AHAH. Доведіть, що пряма AIAI проходить через середину відрізка DJDJ.
10–11 класиЗовнівписане коло
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-002

Прості дільники членів послідовності Пелля

Нехай aa, bb — взаємно прості натуральні числа, а послідовності цілих чисел ana_n і bnb_n задовольняють рівність (a+b2)2n=an+bn2(a + b\sqrt{2})^{2n} = a_n + b_n\sqrt{2}. Знайдіть усі прості числа pp такі, що існує натуральне число nn, що не перевищує pp, для якого bn≡0(modp)b_n \equiv 0 \pmod{p}.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-003

Тотожність для множин інверсій перестановки

Нехай f:{1,2,…,n}→{1,2,…,n}f : \{1, 2, \dots, n\} \to \{1, 2, \dots, n\} — взаємно однозначна відповідність для деякого натурального числа nn. Визначимо чотири множини AA, BB, CC, DD так: A={i∣i>f(i)}A = \{i \mid i > f(i)\} B={(i,j)∣i<j≤f(j)<f(i) або f(j)<f(i)<i<j}B = \{(i, j) \mid i < j \le f(j) < f(i) \text{ або } f(j) < f(i) < i < j\} C={(i,j)∣i<j≤f(i)<f(j) або f(i)<f(j)<i<j}C = \{(i, j) \mid i < j \le f(i) < f(j) \text{ або } f(i) < f(j) < i < j\} D={(i,j)∣i<j і f(i)>f(j)}D = \{(i, j) \mid i < j \text{ і } f(i) > f(j)\} Доведіть, що ∣A∣+2∣B∣+∣C∣=∣D∣|A| + 2|B| + |C| = |D|, де ∣X∣|X| — кількість усіх елементів множини XX.
10–11 класиПерестановки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-001

Магічний квадрат з непарних чисел

Магічний квадрат — це квадратна таблиця, в якій сума чисел у будь-якому рядку або стовпці є сталою. Наприклад, | 1 | 5 | 9 | |:--- |:--- |:--- | | 8 | 3 | 4 | | 6 | 7 | 2 | є магічним квадратом, який використовує числа від 1 до 9. Як читач може перевірити, сума в будь-якому рядку або стовпці завжди дорівнює 15. a) Квадрат нижче є частиною магічного квадрата, який використовує непарні числа від 1 до 17. З'ясуйте, яким має бути число XX. | | 1 | | |:---: |:---: |:---: | | 5 | | 13 | | XX | | 3 | b) Магічний квадрат називається гіпермагічним, коли сума в будь-якому рядку, стовпці або діагоналі є сталою. Запишіть числа від 1 до 9 у квадрат нижче так, щоб він став гіпермагічним.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-002

Трицифрові номери без цифр 0 і 8

Велосипедисти не люблять число нуль (бо воно овальне) і число вісім (бо такими стають колеса після аварій). Скільки членів можуть записатися до клубу велосипедистів, якщо кожен має отримати трицифровий ідентифікатор, у якому не використано ні цифру нуль, ні цифру вісім?
10–11 класиПравила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-003

Геометрія згинання і розрізання паперу

Прямокутний аркуш паперу має основу 20 см20~\text{см} і висоту 10 см10~\text{см}. Цей аркуш згинають по пунктирних лініях, як показано на рисунку нижче, а наприкінці розрізають ножицями по вказаній лінії, яка паралельна основі й проходить на половині висоти трикутника. а) Після розрізання у вказаному місці на скільки частин поділився аркуш? б) Яка площа найбільшої частини?
10–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-004

Підрахунок кіл і обгонів на круговій трасі

У місті Кордісбургу відбулася велосипедна гонка на круговому треку, в якій взяли участь троє велосипедистів — Гімарайнш, Роза і Жуан. За першу годину гонки Гімарайнш проїхав рівно 230 повних кіл, Жуан проїхав рівно 111 повних кіл, а скільки кіл проїхала Роза — невідомо, відомо лише, що це ціле число і що Роза проїхала більше кіл, ніж Жуан, і менше, ніж Гімарайнш. Крім того, кожен із них їхав зі сталою швидкістю, і всі стартували разом з однієї точки. Враховуючи також обгони, здійснені в початковий момент, скільки всього обгонів було здійснено за цю першу годину гонки?
10–11 класиІнші інваріанти
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-005

Кратні 3, що в сумі з 1 дають квадрат

Запишемо в порядку зростання всі кратні числа 33, сума яких із 11 є повним квадратом: 3,15,24,48,…3, 15, 24, 48, \ldots a) Яке наступне число з'явиться в цій послідовності після 4848? b) Яке восьме число цієї послідовності? c) Яке число з'явиться в цій послідовності на 20132013-й позиції?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.